AMZVメモζ({1,1︦,1,1︦}ⁿ)

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いきなり本題

まず次の等式が成り立つ

$\begin{array}{r} \sum_{r = - n}^{n} (- 1)^{r} {(A B)^{n - r} ш (A B)^{n + r}} = 4^{n} (A^{2} B^{2})^{n} \end{array}$

ここで $A = \frac{d t}{1 + t}$ $B = \frac{d t}{1 - t}$ として反復積分を考える
$(A B)^{r} := \int_{0 < t_{1} < \dots < t_{2 r} < 1} \prod_{i = 1}^{r} \frac{d t_{2 i}}{1 + t_{2 i}} \frac{d t_{2 i - 1}}{1 - t_{2 i - 1}} = (- 1)^{r} ζ ({\bar{1}}^{2 r})$
$(A^{2} B^{2})^{r} := \int_{0 < t_{1} < \dots < t_{4 r} < 1} \prod_{i = 1}^{r} \frac{d t_{4 i}}{1 + t_{4 i}} \frac{d t_{4 i - 1}}{1 + t_{4 i - 1}} \frac{d t_{4 i - 2}}{1 - t_{4 i - 2}} \frac{d t_{4 i - 3}}{1 - t_{4 i - 3}} = ζ ({1, \bar{1}, 1, \bar{1}}^{r})$
なので、これらと命題1より次が成り立つ

$\sum_{r = - n}^{n} (- 1)^{r} (ζ ({\bar{1}}^{2 n - 2 r}) ζ ({\bar{1}}^{2 n + 2 r})) = 4^{n} ζ ({1, \bar{1}, 1, \bar{1}}^{n})$

漸化式

調和積を用いて $ζ ({\bar{1}}^{n})$ $(1 \leq n)$ についての漸化式を立てると次のようになる。
$\begin{aligned} (2 n) ζ ({\bar{1}}^{2 n}) & = \sum_{k = 1}^{n} (ζ (\overset{―}{2 k - 1}) ζ ({\bar{1}}^{2 n - 2 k + 1}) - ζ (2 k) ζ ({\bar{1}}^{2 n - 2 k})) \\ (2 n + 1) ζ ({\bar{1}}^{2 n + 1}) & = ζ (\overset{―}{2 n + 1}) + \sum_{k = 1}^{n} (ζ (\overset{―}{2 k - 1}) ζ ({\bar{1}}^{2 n - 2 k + 2}) - ζ (2 k) ζ ({\bar{1}}^{2 n - 2 k + 1})) \end{aligned}$

$ζ (\bar{1}) = - \ln 2$ であることを用いれば漸化式から $ζ ({\bar{1}}^{n})$ を求めることができる。

特殊値

$\begin{aligned} ζ (\bar{1}) & = - \ln 2 \\ ζ (\bar{1}, \bar{1}) & = \frac{1}{2} \ln^{2} 2 - \frac{1}{2} ζ (2) \\ ζ (\bar{1}, \bar{1}, \bar{1}) & = - \frac{1}{6} \ln^{3} 2 + \frac{π^{2}}{12} \ln 2 - \frac{1}{4} ζ (3) \\ ζ (\bar{1}, \bar{1}, \bar{1}, \bar{1}) & = \frac{1}{24} \ln^{4} 2 - \frac{π^{2}}{24} \ln^{2} 2 + \frac{5}{16} ζ (3) \ln 2 + \frac{π^{4}}{1440} \\ ζ (1, \bar{1}, 1, \bar{1}) & = \frac{1}{24} \ln^{4} 2 + \frac{π^{4}}{720} - \frac{5}{32} ζ (3) \ln 2 \end{aligned}$