AMZVメモζ({1,1︦,1,1︦}ⁿ)

いきなり本題

まず次の等式が成り立つ

証明は ζ(1,3,・・・1,3)について を参照
$\\$

ここで$A=\frac{dt}{1+t}$$B=\frac{dt}{1-t}$として反復積分を考える
$$(AB)^r:=\int_{0\lt t_1 \lt \cdots \lt t_{2r}\lt 1}\prod_{i=1}^{r}\frac{dt_{2i}}{1+t_{2i}}\frac{dt_{2i-1}}{1-t_{2i-1}}=(-1)^r\zeta(\lbrace \bar{1} \rbrace^{2r})$$
$$(A^2B^2)^r:=\int_{0\lt t_1 \lt \cdots \lt t_{4r}\lt 1}\prod_{i=1}^{r}\frac{dt_{4i}}{1+t_{4i}}\frac{dt_{4i-1}}{1+t_{4i-1}}\frac{dt_{4i-2}}{1-t_{4i-2}}\frac{dt_{4i-3}}{1-t_{4i-3}}=\zeta(\lbrace 1,\bar{1},1,\bar{1} \rbrace^{r})$$
なので、これらと命題1より次が成り立つ

漸化式

調和積を用いて$\zeta(\lbrace \bar{1} \rbrace^{n})$$(1\leq n)$についての漸化式を立てると次のようになる。
\begin{align} (2n)\zeta(\lbrace \bar{1} \rbrace^{2n})&=\sum_{k=1}^{n}\Big(\zeta(\overline{2k-1})\zeta(\lbrace \bar{1} \rbrace^{2n-2k+1})-\zeta(2k)\zeta(\lbrace \bar{1} \rbrace^{2n-2k})\Big)\\ (2n+1)\zeta(\lbrace \bar{1} \rbrace^{2n+1})&=\zeta(\overline{2n+1})+\sum_{k=1}^{n}\Big(\zeta(\overline{2k-1})\zeta(\lbrace \bar{1} \rbrace^{2n-2k+2})-\zeta(2k)\zeta(\lbrace \bar{1} \rbrace^{2n-2k+1})\Big)\\ \end{align}

$\zeta(\bar{1})=-\ln2$であることを用いれば漸化式から$\zeta(\lbrace \bar{1} \rbrace^{n})$を求めることができる。

特殊値

\begin{align} \quad\zeta(\bar{1})&=-\ln2\\ \zeta(\bar{1},\bar{1})&=\frac{1}{2}\ln^{2}2-\frac{1}{2}\zeta(2)\\ \zeta(\bar{1},\bar{1},\bar{1})&=-\frac{1}{6}\ln^ {3}2+\frac{\pi^2}{12}\ln2-\frac{1}{4}\zeta(3)\\ \zeta(\bar{1},\bar{1},\bar{1},\bar{1})&=\frac{1}{24}\ln^{4}2-\frac{\pi^2}{24}\ln^{2}2+\frac{5}{16}\zeta(3)\ln2+\frac{\pi^4}{1440}\\ \\ \zeta(1,\bar{1},1,\bar{1})&=\frac{1}{24}\ln^{4}2+\frac{\pi^4}{720}-\frac{5}{32}\zeta(3)\ln2 \end{align}

手計算だと割ときつい