連続q-Jacobi多項式の接続係数

$x:=\cos\theta$とする. Askey-Wilson多項式を
\begin{align} r_n(x;a,b,c,d)&:=\Q43{q^{-n},abcdq^{n-1},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac,ad}{q}\\ p_n(x;a,b,c,d)&:=a^{-n}(ab,ac,ad;q)_nr_n(x;a,b,c,d) \end{align}
として, 連続$q$-Jacobi多項式を
\begin{align} P_n^{(a,b)}(x;q)&:=\frac{(q^{a+1},-q^{b+1};q)_n}{(q,-q;q)_n}r_n(x;q^{\frac 12},q^{a+\frac 12},-q^{b+\frac 12},-q^{\frac 12})\\ &=\frac{q^{\frac n2}}{(q,-q,-q;q)_n}p_n(x;q^{\frac 12},q^{a+\frac 12},-q^{b+\frac 12},-q^{\frac 12}) \end{align}
によって定義する.　今回は異なるパラメータに関する連続$q$-Jacobi多項式の間の接続公式
\begin{align} P_n^{(a,b)}(x;q)&=\sum_{k=0}^nc_{k,n}P_k^{(\alpha,\beta)}(x;q) \end{align}
について, この接続係数$c_{k,n}$の明示式を与えたいと思う.

導出

前の記事 でAskey-Wilsonの公式を示した. それは
\begin{align} p_n(x;\alpha,\beta,\gamma,d|q)&=\sum_{k=0}^nc_{k,n}p_k(x;a,b,c,d|q) \end{align}
となる接続係数$c_{k,n}$が
\begin{align} c_{k,n}&=\frac{(\alpha d,\beta d,\gamma d,q;q)_n(\alpha\beta\gamma dq^{n-1};q)_k}{(\alpha d,\beta d,\gamma d,q,abcdq^{k-1};q)_k(q;q)_{n-k}}q^{k^2-nk}d^{k-n}\\ &\qquad\cdot\Q54{q^{k-n},\alpha\beta\gamma dq^{n+k-1},adq^k,bdq^k,cdq^k}{abcdq^{2k},\alpha dq^k,\beta dq^k,\gamma dq^k}q \end{align}
と与えられるというものである. ここで, $a=\alpha=q^{\frac 12}, d=-q^{\frac 12}$とすると,
\begin{align} p_n(x;q^{\frac 12},\beta,\gamma,-q^{\frac 12}|q)&=\sum_{k=0}^nc_{k,n}p_k(x;q^{\frac 12},b,c,-q^{\frac 12}|q) \end{align}
となる接続係数$c_{k,n}$が
\begin{align} c_{k,n}&=\frac{(-q,-\beta q^{\frac 12},-\gamma q^{\frac 12},q;q)_n(-\beta\gamma q^{n};q)_k}{(-q,-\beta q^{\frac 12},-\gamma q^{\frac 12},q,-bcq^{k};q)_k(q;q)_{n-k}}(-1)^{n+k}q^{k^2-nk+\frac 12(k-n)}\\ &\qquad\cdot\Q43{q^{k-n},-\beta\gamma q^{n+k},-bq^{k+\frac 12},-cq^{k+\frac 12}}{-bcq^{2k+1},-\beta q^{k+\frac 12},-\gamma q^{k+\frac 12}}q \end{align}
と表されることが分かる. $\beta=q^{a+\frac 12},\gamma=-q^{b+\frac 12},b=q^{\alpha+\frac 12},c=-q^{\beta+\frac 12}$とすると,
\begin{align} p_n(x;q^{\frac 12},q^{a+1},-q^{b+1}|q)&=\sum_{k=0}^nc_{k,n}p_k(x;q^{\frac 12},q^{\alpha+1},-q^{\beta+1},-q^{\frac 12}|q)\\ c_{k,n}&=\frac{(-q,-q^{a+1},q^{b+1},q;q)_n(q^{a+b+n+1};q)_k}{(-q,-q^{a+1},q^{b+1},q,q^{\alpha+\beta+k+1};q)_k(q;q)_{n-k}}(-1)^{n+k}q^{k^2-nk+\frac 12(k-n)}\\ &\qquad\cdot\Q43{q^{k-n},q^{a+b+n+k+1},-q^{\alpha+k+1},q^{\beta+k+1}}{q^{2k+\alpha+\beta+2},-q^{a+k+1},q^{b+k+1}}q \end{align}
となる. これは
\begin{align} P_n^{(a,b)}(x;q)&=\sum_{k=0}^nd_{k,n}P_k^{(\alpha,\beta)}(x;q)\\ d_{k,n}&=\frac{(-q^{a+1},q^{b+1};q)_n(q^{a+b+n+1},-q;q)_k}{(-q;q)_n(-q^{a+1},q^{b+1},q^{\alpha+\beta+k+1};q)_k(q;q)_{n-k}}(-1)^{n+k}q^{k^2-nk}\\ &\qquad\cdot\Q43{q^{k-n},q^{a+b+n+k+1},-q^{\alpha+k+1},q^{\beta+k+1}}{q^{2k+\alpha+\beta+2},-q^{a+k+1},q^{b+k+1}}q \end{align}
記法を改めて, 以下を得る.

ここに現れている${}_4\phi_3$はbalanced${}_4\phi_3$であるため, この係数は$k$や$n$に関する三項漸化式を満たすことが分かる.

対称性による書き換え

Askey-Wilson多項式の対称性から,
\begin{align} P_n^{(a,b)}(-x;q)&=\frac{(q^{a+1},-q^{b+1};q)_n}{(q,-q;q)_n}r_n(-x;q^{\frac 12},q^{a+\frac 12},-q^{b+\frac 12},-q^{\frac 12})\\ &=\frac{(q^{a+1},-q^{b+1};q)_n}{(q,-q;q)_n}\Q43{q^{-n},q^{a+b+n+1},-e^{i\theta}q^{\frac 12},-e^{-i\theta}q^{\frac 12}}{q^{a+1},-q^{b+1},-q}q\\ &=\frac{(q^{a+1},-q^{b+1};q)_n}{(q,-q;q)_n}r_n(x;-q^{\frac 12},-q^{a+\frac 12},q^{b+\frac 12},q^{\frac 12})\\ &=\frac{(-1)^nq^{\frac n2}}{(q,-q,-q;q)_n}p_n(x;-q^{\frac 12},-q^{a+\frac 12},q^{b+\frac 12},q^{\frac 12})\\ &=\frac{(-1)^nq^{\frac n2}}{(q,-q,-q;q)_n}p_n(x;q^{\frac 12},q^{b+\frac 12},-q^{a+\frac 12},-q^{\frac 12})\\ &=(-1)^nP_n^{(b,a)}(x;q) \end{align}
となって連続$q$-Jacobi多項式の対称性
\begin{align} P_n^{(a,b)}(-x;q)=(-1)^nP^{(b,a)}_n(x;q) \end{align}
が得られるこれを用いると定理1は以下のようにも書き換えられる.

この公式は, Rahmanによって$q$-Feldheimの公式を用いた別証明も与えられている.

特別な場合

定理2において特に$\alpha=a$の場合, $q$-Saalschützの和公式より,
\begin{align} c_{k,n}&=\frac{(q^{a+1},-q^{b+1};q)_n(q^{a+b+n+1},-q;q)_k}{(-q;q)_n(q^{a+1},-q^{b+1},q^{a+\beta+k+1};q)_k(q;q)_{n-k}}q^{k^2-nk}\\ &\qquad\cdot\Q32{q^{k-n},q^{a+b+n+k+1},-q^{\beta+k+1}}{q^{2k+a+\beta+2},-q^{b+k+1}}q\\ &=\frac{(q^{a+1},-q^{b+1};q)_n(q^{a+b+n+1},-q;q)_k}{(-q;q)_n(q^{a+1},-q^{b+1},q^{a+\beta+k+1};q)_k(q;q)_{n-k}}q^{k^2-nk}\\ &\qquad\cdot\frac{(-q^{a+k+1},q^{b-\beta};q)_{n-k}}{(q^{2k+a+\beta+2},-q^{b+k+1};q)_{n-k}}\left(-q^{\beta+k+1}\right)^{n-k}\\ &=\frac{(q^{a+1},-q^{a+1};q)_n(q^{a+b+n+1},q^{a+\beta+k+2},-q;q)_k(q^{b-\beta};q)_{n-k}}{(q^{a+\beta+k+2},-q;q)_n(q^{a+1},-q^{a+1},q^{a+\beta+k+1};q)_k(q;q)_{n-k}}\left(-q^{\beta+1}\right)^{n-k} \end{align}
つまり, 以下を得る.

古典極限

連続$q$-Jacobi多項式の古典極限
\begin{align} \lim_{q\to 1}P_n^{(a,b)}(x;q)&=\lim_{q\to 1}\frac{(q^{a+1},-q^{b+1};q)_n}{(q,-q;q)_n}\Q43{q^{-n},q^{a+b+n+1},e^{i\theta}q^{\frac 12},e^{-i\theta}q^{\frac 12}}{q^{a+1},-q^{b+1},-q}q\\ &=\frac{(a+1)_n}{n!}\F21{-n,a+b+n+1}{a+1}{\frac{(1-e^{i\theta})(1-e^{-i\theta})}4}\\ &=\frac{(a+1)_n}{n!}\F21{-n,a+b+n+1}{a+1}{\frac{1-x}2}\\ &=P_n^{(a,b)}(x) \end{align}
となって通常のJacobi多項式に一致する. 定理2の古典極限を考えることによって以下を得る.

系1の古典極限を考えると以下を得る.