接続係数に関するAskey-Wilsonの公式

$c_{k,n}$を
\begin{align} p_n(x;\alpha,\beta,\gamma,d|q)&=\sum_{k=0}^nc_{k,n}p_k(x;a,b,c,d|q) \end{align}
によって決まるものとする. Askey-Wilson多項式の直交性 より, $x=\cos\theta$として
\begin{align} &\int_{0}^{\pi}p_n(x;\alpha,\beta,\gamma,d|q)p_k(x;a,b,c,d|q)\left|\frac{(e^{2i\theta};q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},de^{i\theta};q)_{\infty}}\right|^2\,d\theta\\ &=\frac{2\pi(1-abcdq^{k-1})(abcdq^k;q)_{\infty}}{(1-abcdq^{2k-1})(q^{k+1},abq^k,acq^k,adq^k,bcq^k,bdq^k,cdq^k;q)_{\infty}}c_{k,n} \end{align}
となる. 左辺は
\begin{align} &\int_{0}^{\pi}p_n(x;\alpha,\beta,\gamma,d|q)p_k(x;a,b,c,d|q)\left|\frac{(e^{2i\theta};q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},de^{i\theta};q)_{\infty}}\right|^2\,d\theta\\ &=d^{-n}(\alpha d,\beta d,\gamma d;q)_n\sum_{j=0}^{n}\frac{(q^{-n},\alpha\beta\gamma dq^{n-1};q)_j}{(\alpha d,\beta d,\gamma d,q;q)_j}q^j\\ &\qquad\cdot\int_{0}^{\pi}(de^{i\theta},de^{-i\theta};q)_jp_k(x;a,b,c,d|q)\left|\frac{(e^{2i\theta};q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},de^{i\theta};q)_{\infty}}\right|^2\,d\theta \end{align}
ここで, Askey-Wilson積分 より
\begin{align} &\int_{0}^{\pi}(de^{i\theta},de^{-i\theta};q)_jp_k(x;a,b,c,d|q)\left|\frac{(e^{2i\theta};q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},de^{i\theta};q)_{\infty}}\right|^2\,d\theta\\ &=a^{-k}(ab,ac,ad;q)_k\sum_{l=0}^k\frac{(q^{-k},abcdq^{k-1};q)_l}{(q,ab,ac,ad;q)_l}q^l\int_{0}^{\pi}\left|\frac{(e^{2i\theta};q)_{\infty}}{(ae^{i\theta}q^l,be^{i\theta},ce^{i\theta},de^{i\theta}q^j;q)_{\infty}}\right|^2\,d\theta\\ &=a^{-k}(ab,ac,ad;q)_k\sum_{l=0}^k\frac{(q^{-k},abcdq^{k-1};q)_l}{(q,ab,ac,ad;q)_l}q^l\frac{2\pi(abcdq^{j+l};q)_{\infty}}{(q,abq^l,acq^l,adq^{j+l},bc,bdq^j,cdq^j;q)_{\infty}}\\ &=a^{-k}(ab,ac,ad;q)_k\frac{2\pi(abcdq^{j};q)_{\infty}}{(q,ab,ac,adq^{j},bc,bdq^j,cdq^j;q)_{\infty}}\sum_{l=0}^k\frac{(q^{-k},abcdq^{k-1},adq^j;q)_l}{(q,ad,abcdq^j;q)_l}q^l\\ &=a^{-k}(ab,ac,ad;q)_k\frac{2\pi(abcdq^{j};q)_{\infty}}{(q,ab,ac,adq^{j},bc,bdq^j,cdq^j;q)_{\infty}}\frac{(q^{-j},bc;q)_k}{(ad,abcdq^j;q)_k}(adq^j)^k\\ &=\frac{2\pi(abcdq^k;q)_{\infty}}{(q,abq^k,acq^k,ad,bcq^k,bd,cd;q)_{\infty}}(-d)^kq^{\binom k2}\frac{(q,ad,bd,cd;q)_j}{(abcdq^k;q)_{j}(q;q)_{j-k}} \end{align}
である. ここで, 4行目の等号は $q$-Saalschützの和公式 による. これを代入して
\begin{align} &\int_{0}^{\pi}p_n(x;\alpha,\beta,\gamma,d|q)p_k(x;a,b,c,d|q)\left|\frac{(e^{2i\theta};q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},de^{i\theta};q)_{\infty}}\right|^2\,d\theta\\ &=\frac{2\pi(\alpha d,\beta d,\gamma d;q)_n(abcdq^k;q)_{\infty}}{(q,abq^k,acq^k,ad,bcq^k,bd,cd;q)_{\infty}}(-1)^kd^{k-n}q^{\binom k2}\sum_{j=0}^{n}\frac{(q^{-n},\alpha\beta\gamma dq^{n-1};q)_j}{(\alpha d,\beta d,\gamma d;q)_j}q^j\frac{(ad,bd,cd;q)_j}{(abcdq^k;q)_{j}(q;q)_{j-k}}\\ &=\frac{2\pi(\alpha d,\beta d,\gamma d;q)_n(abcdq^k;q)_{\infty}}{(q,abq^k,acq^k,ad,bcq^k,bd,cd;q)_{\infty}}(-1)^kd^{k-n}q^{\binom k2}\frac{(q^{-n},\alpha\beta\gamma dq^{n-1},ad,bd,cd;q)_k}{(\alpha d,\beta d,\gamma d,abcdq^k;q)_k}q^k\\ &\qquad\cdot\Q54{q^{k-n},\alpha\beta\gamma dq^{n+k-1},adq^k,bdq^k,cdq^k}{abcdq^{2k},\alpha dq^k,\beta dq^k,\gamma dq^k}q\\ &=\frac{2\pi(abcdq^k;q)_{\infty}}{(q,abq^k,acq^k,adq^k,bcq^k,bdq^k,cdq^k;q)_{\infty}}\frac{(\alpha d,\beta d,\gamma d,q;q)_n(\alpha\beta\gamma dq^{n-1};q)_k}{(\alpha d,\beta d,\gamma d,abcdq^k;q)_k(q;q)_{n-k}}d^{k-n}q^{k^2-nk}\\ &\qquad\cdot\Q54{q^{k-n},\alpha\beta\gamma dq^{n+k-1},adq^k,bdq^k,cdq^k}{abcdq^{2k},\alpha dq^k,\beta dq^k,\gamma dq^k}q \end{align}
よって,
\begin{align} &\frac{2\pi(1-abcdq^{k-1})(abcdq^k;q)_{\infty}}{(1-abcdq^{2k-1})(q^{k+1},abq^k,acq^k,adq^k,bcq^k,bdq^k,cdq^k;q)_{\infty}}c_{k,n}\\ &=\frac{2\pi(abcdq^k;q)_{\infty}}{(q,abq^k,acq^k,adq^k,bcq^k,bdq^k,cdq^k;q)_{\infty}}\frac{(\alpha d,\beta d,\gamma d,q;q)_n(\alpha\beta\gamma dq^{n-1};q)_k}{(\alpha d,\beta d,\gamma d,abcdq^k;q)_k(q;q)_{n-k}}d^{k-n}q^{k^2-nk}\\ &\qquad\cdot\Q54{q^{k-n},\alpha\beta\gamma dq^{n+k-1},adq^k,bdq^k,cdq^k}{abcdq^{2k},\alpha dq^k,\beta dq^k,\gamma dq^k}q \end{align}
つまり,
\begin{align} c_{k,n}&=\frac{1-abcdq^{2k-1}}{1-abcdq^{k-1}}\frac{(\alpha d,\beta d,\gamma d,q;q)_n(\alpha\beta\gamma dq^{n-1};q)_k}{(\alpha d,\beta d,\gamma d,q,abcdq^k;q)_k(q;q)_{n-k}}d^{k-n}q^{k^2-nk}\\ &\qquad\cdot\Q54{q^{k-n},\alpha\beta\gamma dq^{n+k-1},adq^k,bdq^k,cdq^k}{abcdq^{2k},\alpha dq^k,\beta dq^k,\gamma dq^k}q\\ &=\frac{(\alpha d,\beta d,\gamma d,q;q)_n(\alpha\beta\gamma dq^{n-1};q)_k}{(\alpha d,\beta d,\gamma d,q,abcdq^{k-1};q)_k(q;q)_{n-k}}d^{k-n}q^{k^2-nk}\Q54{q^{k-n},\alpha\beta\gamma dq^{n+k-1},adq^k,bdq^k,cdq^k}{abcdq^{2k},\alpha dq^k,\beta dq^k,\gamma dq^k}q \end{align}
となって示すべき等式を得る.