東大数理院試過去問解答例(2019A05)
ここでは東大数理の修士課程の院試の2019A05の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
方程式$z^6+6z+20=0$の解のうち、第一象限
$$
D=\left\{z\in\mathbb{C}\middle|\mathrm{Re}(z)>0,\mathrm{Im}(z)>0\right\}
$$
上にあるものの個数を求めなさい。
$f=z^6+6z+20$と置いたとき、これは実数根を持たない。また根全体の集合は共役で閉じている。よって$f$の第一象限に於ける根の個数は$0,1,2,3$のいずれかである。
ここで$\mathbb{C}$上の閉路$C_1(L)$を
$$
C_{11}=[0,L]
$$
$$
C_{12}=\left\{Le^{i\theta}\middle|0\leq\theta\leq\frac{\pi}{3}\right\}
$$
$$
C_{13}=\left\{re^{i\theta}\middle|0\leq r\leq L\right\}
$$
の和集合に反時計回りに向きを入れた閉路とする。このときまず
$$
\int_{C_{11}}\frac{dz}{f}=\int_0^L \frac{dz}{f}
$$
は$L\to\infty$である正の値に収束する。次に$L$を十分に大きくしたとき不等式
$$
\begin{split}
\left|\int_{C_{12}}\frac{dz}{f}\right|&\leq\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\left|\frac{iLe^{i\theta}}{L^6e^{i6\theta}+6Le^{i\theta}+20}\right|d\theta\\
&\leq\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\left|\frac{L}{L^6-6L-20}\right|d\theta\\
\end{split}
$$
が成り立つから、この式の右辺は(従って左辺も)$L\to\infty$で$0$に収束する。次に
$$
\begin{split}
\int_{C_{13}}\frac{dz}{f}&=-\int_0^{L}\frac{e^{i\frac{\pi}{3}}}{r^6+6re^{i\frac{\pi}{3}}+20}dr\\
&=-\int_0^{L}\frac{e^{i\frac{\pi}{3}}(r^6+6re^{-i\frac{\pi}{3}}+20)}{(r^6+6re^{i\frac{\pi}{3}}+20)(r^6+6re^{-i\frac{\pi}{3}}+20)}dr\\
&=-\int_0^L\frac{6r}{\left|(r^6+6re^{i\frac{\pi}{3}}+20)(r^6+6re^{-i\frac{\pi}{3}}+20)\right|^2}+\frac{r^6+20}{\left|(r^6+6re^{i\frac{\pi}{3}}+20)(r^6+6re^{-i\frac{\pi}{3}}+20)\right|^2}e^{i\frac{\pi}{3}}dr
\end{split}
$$
であり、この$L\to\infty$に於ける極限の虚部は負である。以上をまとめると
$$
\mathrm{Im}\left(\lim_{L\to\infty}\int_{C_1(L)}\frac{dz}{f}\right)<0
$$
がわかるから、特に$f$は、充分大きな$L$に対して、$C_1(L)$で囲まれた領域に少なくとも$1$つ根を持つ。
次に$C_2(L)$を
$$
C_{21}:=\{ir|0\leq r\leq L\}
$$
$$
C_{22}:=\left\{re^{i\theta}\middle|\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{2\pi}{3}\right\}
$$
$$
C_{23}:=\left\{re^{i\frac{2\pi}{3}}\right|0\leq r\leq L\}
$$
の和集合に反時計回りの向きを入れた閉路とすると、
$$
\begin{split}
\int_{C_{21}}\frac{idr}{-r^6+6ir+20}&=\int_0^L\frac{-r^6-6ir+20}{\left|(-r^6+6ir+20)(-r^6-6ir+20)\right|}idr\\
&=\int_0^L\frac{6r}{\left|-r^6+6ir+20\right|^2}-i\frac{r^6-20}{\left|-r^6+6ir+20\right|^2}dr
\end{split}
$$
$$
\begin{split}
\left|\int_{C_{22}}\frac{dz}{f}\right|&\leq\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{2\pi}{3}}\left|\frac{iLe^{i\theta}}{L^6e^{i6\theta}+6Le^{i\theta}+20}\right|d\theta\\
&\leq\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{2\pi}{3}}\left|\frac{L}{L^6-6L-20}\right|d\theta&\xrightarrow{L\to\infty}0\\
\end{split}
$$
$$
\begin{split}
\int_{C_{23}}\frac{dz}{f}&=-\int_0^{L}\frac{e^{i\frac{2\pi}{3}}}{r^6+6re^{i\frac{2\pi}{3}}+20}dr\\
&=-\int_0^{L}\frac{e^{i\frac{2\pi}{3}}(r^6+6re^{-i\frac{2\pi}{3}}+20)}{(r^6+6re^{i\frac{2\pi}{3}}+20)(r^6+6re^{-i\frac{2\pi}{3}}+20)}dr\\
&=\int_0^L\frac{\frac{r^6}{2}-6r+10}{\left|(r^6+6re^{i\frac{\pi}{3}}+20)(r^6+6re^{-i\frac{\pi}{3}}+20)\right|^2}-i\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}(r^6+20)}{\left|(r^6+6re^{i\frac{\pi}{3}}+20)(r^6+6re^{-i\frac{\pi}{3}}+20)\right|^2}dr
\end{split}
$$
であることから
$$
\mathrm{Re}\left(\lim_{L\to\infty}\int_{C_2(L)}\frac{dz}{f}\right)>0
$$
がわかり、特に$f$は、充分大きな$L$に対して、$C_2(L)$で囲まれた領域に少なくとも$1$つ根を持つ。
次に
$$
C_{31}=C_{23}
$$
$$
C_{32}:=\left\{re^{i\theta}\middle|\frac{2\pi}{3}\leq\theta\leq\pi\right\}
$$
$$
C_{33}:=[-L,0]
$$
の和集合に反時計回りの向きを入れた閉路$C_3(L)$に上の$2$つと同様の計算を行うことにより
$$
\mathrm{Im}\left(\lim_{L\to\infty}\int_{C_1(L)}\frac{dz}{f}\right)>0
$$
であること、特に$f$は、充分大きな$L$に対して、$C_3(L)$で囲まれた領域に少なくとも$1$つ根を持つ。
以上から$D$内にある$f$の根は${\color{red}1}$個である。
