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二項係数付きマクローリン級数の微分方程式の導出および moment の計算

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 記法:βr=22r(2rr)

定義1

FA(r)(x),QA(r)(x)を次のように定義します.

FA(r)(x)=F(x)=n=0βnrx2nk=0n1AkQA(r)(x)=Q(x)=n=0βnrAnx2n

Anをなくす場合はAn={1(n=0)0(n1) とすればよいです.

微分方程式1

FA(r)(x)の微分方程式を導出します.

(xddx)rF(x)=n=0(2n)rβnrx2nk=0n1Ak=n=1(2n)rβnrx2nk=0n1Ak=n=0(2n+1)rβnrx2n+2(k=0n1Ak+An)=x2(ddxx)r(F(x)+Q(x))

よって

(1)(xddx)rF(x)=x2(ddxx)r(F(x)+Q(x))

となります.

Moment

微分方程式(1)を用いてF(x)moment

xnF(x)dx

を計算することができます.ただし,Q(x)momentが既知である必要があります.一般のAnに対してQ(x)の微分方程式を求めるのは少し難しいので,そこはそれぞれのAnに対して適宜求めていくことになるかもしれません.F(x),Q(x)momentをそれぞれ

Fn=0zxnF(x)dxQn=0zxnQ(x)dx

と書くことにします.(1)の両辺にxnを掛けて部分積分を繰り返すことでFnの漸化式を求めることができます.

r=2

(1)r=2として整理すると

xF(x)=ddxx(1x2)ddxF(x)x(ddxx)2Q(x)

となります.この式をもってmomentの計算をしてみます.

Fn=0zxnF(x)dx=0zxn1xF(x)dx=0zxn1(ddxx(1x2)ddxF(x)x(ddxx)2Q(x))dx=zn(1z2)ddzF(z)(n1)0zxn1(1x2)ddxF(x)dx0zxn(ddxx)2Q(x)dx=zn(1z2)ddzF(z)(n1)zn1(1z2)F(z)+(n1)0z((n1)xn2(n+1)xn)F(x)dx0zxn(ddxx)2Q(x)dx=z(1z2)F(z)2ddzzn1F(z)+(n1)2Fn2(n21)Fn0zxn(ddxx)2Q(x)dx

よって

n2Fn(n1)2Fn2=z(1z2)F(z)2ddzzn1F(z)0zxn(ddxx)2Q(x)dx

となります.

An=1(2n+1)2βn2とすれば

Q(x)=n=0x2n(2n+1)2,x(ddxx)2Q(x)=x1x2

となります.An=1(2n+1)3βn3とした場合は,

Q(x)=n=0x2n(2n+1)3βn,x(ddxx)2Q(x)=sin1x1x2

となります.

r=3

微分方程式(1)r=3のとき,

(xddx)3F(x)=x2(ddxx)3F(x)+x2(ddxx)3Q(x)

であり,

(n+1)3Fn(n+2)3Fn+2=zn+1(((n+1)2(n2+3n+3)z2)F(z)z(n(n1)z2)ddzF(z)+z2(1z2)d2dz2F(z))0zxn+2(ddxx)2Q(x)dx

となります.z1とした場合はどうなるでしょうか.右辺第1項のみで考えます.

limz1zn+1(((n+1)2(n2+3n+3)z2)F(z)z(n(n1)z2)ddzF(z)+z2(1z2)d2dz2F(z))=(n+2)F(1)+limz1(z(n(1z2)+z2)ddzF(z)+z2(1z2)d2dz2F(z))=(n+2)F(1)+limz1(z3ddzF(z)+z2(1z2)d2dz2F(z))=(n+2)F(1)+limz1(zddzF(z)+(1z2)d2dz2F(z))=(n+2)F(1)+limz1(n=0βn32nz2nk=0n1Ak+(1z2)n=0βn32n(2n1)z2n2k=0n1Ak)=(n+2)F(1)+limz1(n=0βn32nz2nk=0n1Ak+n=0βn+13(2n+1)(2n+2)z2nk=0nAkn=0βn32n(2n1)z2nk=0n1Ak)=(n+2)F(1)+limz1n=0z2n(βn+13(2n+1)(2n+2)k=0nAkβn3(2n)2k=0n1Ak)=(n+2)F(1)+n=0((2n+1)(2n+2)βn+13k=0nAk(2n)2βn3k=0n1Ak)=(n+2)F(1)+n=0((2n+2)βn+13k=0nAk+(2n+2)2βn+13k=0nAk(2n)2βn3k=0n1Ak)=(n+2)F(1)+limN(n=0N(2n+2)βn+13k=0nAk+(2N+2)2βN+13k=0NAk)=(n+2)F(1)+limN((2N)2βN3k=0N1Akn=1N(2n)βn3k=0n1Ak)

ちょっとよくわからないです.

定義2

ここまで,xの係数にβnrが付くタイプを計算しましたが,分母につく場合はどうなるでしょうか.すなわち

HA(r)(x)=H(x)=n=0x2n(2n+1)rβnrk=0n1AkJA(r)(x)=J(x)=n=0Anx2n(2n+1)rβnr

と定義します.

微分方程式2

HA(r)(x)の微分方程式は

(ddxx)rH(x)=n=0x2nβnrk=0n1Ak=n=1x2nβnrk=0n1Ak=n=0(2n+2)rx2n+2(2n+1)rβnr(k=0n1Ak+An)=x(ddxx)rx(H(x)+J(x))

よって

(2)(ddxx)rH(x)=x(ddxx)rx(H(x)+J(x))

となります.(F(x),Q(x))が満たす微分方程式と(xH(x),xJ(x))が満たす微分方程式が一致していることになります.

Moment

H(x)=n=0x2n(2n+1)3βn3

について考えてみます.
微分方程式は

(ddxx)3H(x)=1+x(ddxx)3xH(x)

です.これを用いてmomentを計算すると,

n3Hn+1(n1)3Hn1=znn+zn+1(ddzz)2zH(z)nzn+1(ddzz)zH(z)+n2zn+1zH(z)zn(ddzz)2H(z)+(n1)zn(ddzz)H(z)(n1)2znH(z)

となります.ここでz1とします.明らかに収束する部分は無視しつつ,右辺の2,3,5,6項をnの係数とそうでない部分を分けます.すなわち

a=limz1(zn+1(ddzz)2zH(z)zn(ddzz)2H(z)zn(ddzz)H(z))b=limz1(zn+1(ddzz)zH(z)+zn(ddzz)H(z))

の二つを考えます.他の項が収束するので,この二つはそれぞれ収束するのではないでしょうか.

a=limz1(zn+1(ddzz)2zH(z)zn(ddzz)2H(z)zn(ddzz)H(z))=limz1(z(ddzz)2zH(z)(ddzz)2H(z)(ddzz)H(z))=limz1n=0(2n+2)2z2n+2(2n+1)2z2n(2n+1)z2n(2n+1)3βn3=limz1n=0z2n(2n+2)((2n+2)z2(2n+1))(2n+1)3βn3=2+limz1n=1z2n(12n2n+2(2n+1)2)1βn3=2+n=112n(2n+1)2βn3b=limz1(zn+1(ddzz)zH(z)+zn(ddzz)H(z))=limz1(z(ddzz)zH(z)+(ddzz)H(z))=limz1n=0(2n+2)z2n+2+(2n+1)z2n(2n+1)3βn3=limz1n=0z2n(2n+2)z2+(2n+1)(2n+1)3βn3=1+limz1n=1z2n(1(2n)2+1(2n+1)2)1βn3=1n=14n+1(2n)2(2n+1)2βn3

これらの級数をWolfram Alphaに入力してもいい結果は出力されません.なのでなんとか多少秩序を孕んだ表示にしてみました.
先ずaについて,

(2n+2)2(2n+1)3βn3(2n)2(2n1)3βn13=2n+2(2n+1)3βn312n(2n+1)2βn3

ので,

a=2+limNn=1N12n(2n+1)2βn3=2+limNn=1N(2n+2(2n+1)3βn3(2n+2)2(2n+1)3βn3+(2n)2(2n1)3βn13)=2+limN(n=1N2n+2(2n+1)3βn3(2N+2)2(2N+1)3βN3+4)=limN(12NβN3n=1N1(2n)2βn3).

また,bについては

1(2n1)2βn131(2n+1)2βn3=4n+1(2n)2(2n+1)2βn31(2n)3βn3

ので,

b=1limNn=1N4n+1(2n)2(2n+1)2βn3=1limNn=1N(1(2n1)2βn131(2n+1)2βn3+1(2n)3βn3)=1limN(11(2N+1)2βN3+n=1N1(2n)3βn3)=H(1)

となります.したがってmomentの漸化式は

n3Hn+1(n1)3Hn1=1n+(2n1)H(1)+a+bn=1n+(n1)H(1)+a

となり,

H2n=1(2n)3βn3k=0n1βk3(12k+1+2kH(1)+a)H2n+1=βn3(H1+k=1n1(2k)3βk3(12k+(2k1)H(1)+a))

となります.

多重級数

冒頭の定義のようにすれば,一般の多重級数となりますが,ここでは基になる単級数で計算できればそれ以降も連鎖的に定義および計算できる多重級数を考えます.そこで,次の性質を用います.

 
マクローリン級数F(x),G(x)

F(x)=n=0fnx2n,G(x)=n=1x2n1(2n)rβnrm=0n1βmrfm
と定義すれば,
(xddx)rG(x)x2(ddxx)rG(x)=xF(x).
また,
G(x)=n=1gnx2n1,F(x)=n=0βnrx2nm=1ngm(2m)rβmr
と定義すれば,
(xddx)rF(x)x2(ddxx)rF(x)=xG(x).
 

証明は次のようになります.

(xddx)rG(x)x2(ddxx)rG(x)=n=1(2n1)rx2n1(2n)rβnrm=0n1βmrfmn=1x2n+1βnrm=0n1βmrfm=n=1x2n1βn1rm=0n1βmrfmn=1x2n+1βnr(m=0nβmrfmβnrfn)=n=1fnx2n+1n=1(x2n+1βnrm=0nβmrfmx2n1βn1rm=0n1βmrfm)=n=1fnx2n+1limN(x2N+1βNrm=0Nβmrfmf0x)=n=0fnx2n+1=xF(x)(xddx)rF(x)x2(ddxx)rF(x)=n=0(2n)rβnrx2nm=1nfm(2m)rβmrn=0(2n+1)rβnrx2n+2m=1nfm(2m)rβmr=n=1(2n)rβnrx2n(m=1n1fm(2m)rβmr+fn(2n)rβnr)n=1(2n+2)rβn+1rx2n+2m=1nfm(2m)rβmr=n=1fnx2n+n=1((2n)rβnrx2nm=1n1fm(2m)rβmr(2n+2)rβn+1rx2n+2m=1nfm(2m)rβmr)=xG(x)+limN(0(2N)rβNrx2Nm=1N1fm(2m)rβmr)=xG(x)

また,これによりn=0fnx2nの moment が計算できれば,

0n0<m0np1<mp1npβnprx2np(j=0p1βnj2r(2mj)2rβmj2r)fn0βn0r

などの多重級数の moment を計算できることになります.

(3nn)を含む

これまでは中央二項係数(2nn)でしたが,次は(3nn)を含む級数を定義してその微分方程式およびmomentを探っていこうと思います.

(2nn)2(3nn)=(2n)!(3n)!n!5

F(x)

F(x)=n=0(2nn)2(3nn)22n33nx6n

と定義します.F(x)の微分方程式は

x4(ddx)3x4F(x)=(xddx)3F(x)

となります.同様にF(x)momentを計算すると

(n1)3Fn2(n+1)(n+2)(n+3)Fn+4=zn1(zddz)2F(z)(n1)zn1(zddz)F(z)+(n1)2zn1F(z)zn+3(ddz)2z4F(z)+(n+3)zn+2(ddz)z4F(z)(n+2)(n+3)zn+1z4F(z)

となります.z1とし,右辺第1,2,4,5項をnの係数とそうでない部分に分けて考えます.すなわち

a=limz1(zn1(zddz)2F(z)+zn1(zddz)F(z)zn+3(ddz)2z4F(z)+3zn+2(ddz)z4F(z))b=limz1(zn1(zddz)F(z)+zn+2(ddz)z4F(z))

とします.

a=limz1(zn1(zddz)2F(z)+zn1(zddz)F(z)zn+3(ddz)2z4F(z)+3zn+2(ddz)z4F(z))=limz1(ddzzddzF(z)+ddzF(z)z3(ddz)2z4F(z)+3z2(ddz)z4F(z))=limz1n=0(2nn)2(3nn)22n33n((6n)2z6n1+6nz6n1(6n+3)(6n+4)z6n+5+3(6n+4)z6n+5)=limz1n=0(2nn)2(3nn)22n33n(6n(6n+1)z6n16n(6n+4)z6n+5)=limz1n=0((6n+6)(6n+7)(2n+2n+1)2(3n+3n+1)22n+233n+3z6n+56n(6n+4)(2nn)2(3nn)22n33nz6n+5)=n=0((6n+7)(2n+1)(3n+2)(3n+1)3(n+1)26n(6n+4))(2nn)2(3nn)22n33n=n=0(3n+2)(5n+7)3(n+1)2(2nn)2(3nn)22n33nb=limz1(zn1(zddz)F(z)+zn+2(ddz)z4F(z))=limz1(ddzF(z)+z2ddzz4F(z))=limz1n=0(2nn)2(3nn)22n33n(6nz6n1+(6n+4)z6n+5)=limz1n=0(2nn)2(3nn)22n33n((2n+1)(3n+1)(3n+2)3(n+1)2z6n+5+(6n+4)z6n+5)=n=0(3n+2)(7n+5)3(n+1)2(2nn)2(3nn)22n33n.

a,bを求めるために,次の等式を用います.

0=n=0(nn)(2nn)2(3nn)22n33n=n=0(n(2n+1)(3n+1)(3n+2)232(n+1)2)(2nn)2(3nn)22n33n=n=0(121318(n+1)+19(n+1)2)(2nn)2(3nn)22n33n
n=01(n+1)2(2nn)2(3nn)22n33n=92F(1)+39F5
a=n=0(3n+2)(5n+7)3(n+1)2(2nn)2(3nn)22n33n=n=0(5+13(n+1)23(n+1)2)(2nn)2(3nn)22n33n=5F(1)+2F523(92F(1)+39F5)=8F(1)24F5b=n=0(3n+2)(7n+5)3(n+1)2(2nn)2(3nn)22n33n=n=0(7133(n+1)+23(n+1)2)(2nn)2(3nn)22n33n=7F(1)26F5+23(92F(1)+39F5)=4F(1).

したがって,漸化式は

(n1)3Fn2(n+1)(n+2)(n+3)Fn+4=8F(1)24F5+4nF(1)(7n+5)F(1)=3(n1)F(1)24F5

となります.例えばn1 (mod6)の場合

(6n)3F6n1(6n+2)(6n+3)(6n+4)F6n+5=18nF(1)24F5

であり

F6n1=22n+133n+1(6n)3(2nn)2(3nn)m=0n1(2mm)2(3mm)22m33m(3mF(1)+4F5)

となります.Wolfram AlphaによればF(1)=πΓ(23)2Γ(56)2です.

有限級数

F(N;x)

微分方程式の導出方法から,有限級数でもほぼほぼ同じ計算ができそうな気がします.例えば

F(N;x)=k=0Nβkrx2k

と定義します.微分方程式は

(xddx)rF(N;x)=x2(ddxx)rF(N1;x)

です.
r=3の場合,momentFn(N)

n3Fn1(N)(n+1)3Fn+1(N1)=zn(zddz)2F(N;z)nzn(zddz)F(N;z)+n2znF(N;z)zn+2(ddzz)2F(N1;z)+(n+1)zn+2(ddzz)F(N1;z)(n+1)2zn+2F(N1;z)=k=0N(2k)3+n32k+nβk3z2k+nk=0N1(2k+1)3+(n+1)3(2k+1)+(n+1)βk3z2k+n+2=k=0N((2k)3+n32k+n(2k+1)3+(n+1)3(2k+1)+(n+1)z2)βk3z2k+n+(2N+1)3+(n+1)3(2N+1)+(n+1)βN3z2N+n+2

となります.これをみると全く自明な式です.Nz1で多少その自明さがマスクされるのでしょう.一般のrでは

nrFn1(N)(n+1)rFn+1(N1)=k=0N((2k)r+nr2k+n(2k+1)r+(n+1)r(2k+1)+(n+1)z2)βkrz2k+n+(2N+1)r+(n+1)r(2N+1)+(n+1)βNrz2N+n+2

となります.(2k)r+nr2k+nを多項式にする場合はnr(n)rとなるようにすればいいです.
Fn(N)を実際に書くと

Fn(N)=k=0Nβkrz2k+n+12k+n+1

です.これを受けて,nが負の場合も考えてみます.すなわち

F~(N;x)=k=0Nβkrx2k1

と定義します.このときF~(N;x)momentF~n(N)

F~n(N)=0zxnF~(N;x)dx=k=0Nβkrzn2kn2k

とします.F~(N;x)の微分方程式は

(xddx)rF~(N1;x)=x2(ddxx)rF~(N;x)

となり,一般のr

nrF~n1(N1)(n+1)rF~n+1(N)=k=0N(nr(2k+1)rn(2k+1)(n+1)r(2k)r(n+1)2kz2)βkrzn2k1nr(2N+1)rn(2N+1)βNrzn2N1

となります.この式においてn2n1とした後N=n1とすれば

(2n1)rF~2n2(n2)(2n)rF~2n(n1)=k=0n1((2n1)r(2k+1)r(2n1)(2k+1)(2n)r(2k)r(2n)(2k)z2)βkrz2n2k2r(2n1)r1βn1rF~2n2(n2)βn1rF~2n(n1)βnr=1(2n)rβnrk=0n1((2n1)r(2k+1)r(2n1)(2k+1)(2n)r(2k)r(2n)(2k)z2)βkrz2n2k2r2n1F~2n(n1)=βnrm=1n(1(2m)rβmrk=0m1((2m1)r(2k+1)r(2m1)(2k+1)(2m)r(2k)r(2m)(2k)z2)βkrz2m2k2r2m1)F~2n(n1)=βnrm=1n(r2m11(2m)rβmrk=0m1((2m1)r(2k+1)r(2m1)(2k+1)(2m)r(2k)r(2m)(2k)z2)βkrz2m2k2)

を得ます.r=2,z=1の場合,

F~2n(n1)=βn2m=1n(22m11(2m)2βm2k=0m1((2m1)2(2k+1)2(2m1)(2k+1)(2m)2(2k)2(2m)(2k))βk2)=βn2m=1n22m1

であり,両辺の母関数を考えると

ln11x2n=0βn2x2n=4n=0βn2x2nm=0n112m+1

となります.r=3,z=1の場合は,

ln11x2n=0βn3x2n=n=0βn3x2nm=1n(62m12(2m)3βm3k=0m1(2k2m+1)βk3),

r=2,z=1の場合は

F~2n(n1)=βn2m=1n(22m14(2m)2βm2k=0m1(1)mk1(k+m)βk2)ln(1+x2)n=0βn2x2n=n=0βn2x2nm=1n(42m1+8(2m)2βm2k=0m1(1)mk1(k+m)βk2),

r=3,z=1の場合は

F~2n(n1)=βn3m=1n(32m112(2m)3βm3k=0m1(1)mk1((4k+1)2+(4m1)2+(4k+1)(4m1)+1)βk3)ln(1+x2)n=0βn3x2n=n=0βn3x2nm=1n(62m1+1(2m)3βm3k=0m1(1)mk1((4k+1)2+(4m1)2+(4k+1)(4m1)+1)βk3)

となります.
また

nrF~n1(N1)(n+1)rF~n+1(N)=k=0N(nr(2k+1)rn(2k+1)(n+1)r(2k)r(n+1)(2k)z2)βkrzn2k1nr(2N+1)rn(2N+1)βNrzn2N1

において,n2nとした後N=nとすれば

(2n)rF~2n1(n1)(2n+1)rF~2n+1(n)=k=0n((2n)r(2k+1)r(2n)(2k+1)(2n+1)r(2k)r(2n+1)(2k)z2)βkrz2n2k1((2n+1)r(2n)r)βnrz1(2n1)rβn1rF~2n1(n1)(2n+1)rβnrF~2n+1(n)=βnrk=0n((2n)r(2k+1)r(2n)(2k+1)(2n+1)r(2k)r(2n+1)(2k)z2)βkrz2n2k1((2n+1)r(2n)r)βn2rz1F~2n+1(n)=1(2n+1)rβnrm=0n(((2m+1)r(2m)r)βm2rz1βmrk=0m((2m)r(2k+1)r(2m)(2k+1)(2m+1)r(2k)r(2m+1)(2k)z2)βkrz2m2k1)

を得ます.r=2,z=1の場合,

F~2n+1(n)=k=0nβk22n+12k=1(2n+1)2βn2m=0n(4m+1)βm4tanh1xn=0βn2x2n=n=0x2n+1(2n+1)2βn2m=0n(4m+1)βm4.

r=2,z=1の場合,

F~2n+1(n)=1k=0n(1)nkβk22n+12k=1(2n+1)2βn2m=0n((4m+1)βm4βm2k=0m(1)mk(4k+4m+2)βk2)tan1xn=0βn2x2n=n=0x2n+1(2n+1)2βn2m=0n((4m+1)βm4+βm2k=0m(1)mk(4k+4m+2)βk2).

r=3,z=1の場合,

F~2n+1(n)=k=0nβk32n+12k=1(2n+1)3βn3m=0n(14(3(4m+1)2+1)βm6βm3k=0m(2k2m)βk3)tanh1xn=0βn3x2n=n=0x2n+1(2n+1)3βn3m=0n(14(3(4m+1)2+1)βm6βm3k=0m(2k2m)βk3)

となります.
分母のべき指数を上げる場合は,n,Nをいじる前にnで微分すればいいと思います.すなわち

F~n(N)=ddnF~n(N)=k=0Nβkr(n2k)2

とおき,簡単の為z=1とした

nrF~n1(N1)(n+1)rF~n+1(N)=k=0N(nr(2k+1)rn(2k+1)(n+1)r(2k)r(n+1)(2k))βkrnr(2N+1)rn(2N+1)βNr

の両辺を微分すれば

rnr1F~n1(N1)r(n+1)r1F~n+1(N)+nrF~n1(N1)(n+1)rF~n+1(N)=k=0Nddn(nr(2k+1)rn(2k+1)(n+1)r(2k)r(n+1)(2k))βkrddnnr(2N+1)rn(2N+1)βNr

となります.ここからn偶奇でわけてN=nなど代入すればF~2n(n1),F~2n+1(n)が求まります.具体的にr=2の場合は,

2nF~n1(N1)2(n+1)F~n+1(N)+n2F~n1(N1)(n+1)2F~n+1(N)=k=0Nddn(n2(2k+1)2n(2k+1)(n+1)2(2k)2(n+1)(2k))βk2ddnn2(2N+1)2n(2N+1)βN2=βN2

であり,

(2n1)2F~2n2(n2)(2n)2F~2n(n1)=2(2n1)F~2n2(n2)+4nF~2n(n1)βn12=2(2n1)βn12m=1n122m1+4nβn2m=1n22m1βn12=3βn128n2n1βn2m=1n12m1F~2n2(n2)βn12F~2n(n1)βn2=3(2n1)24(2n)(2n1)m=1n12m1F~2n(n1)=βn2m=1n(3(2m1)24(2m)(2m1)l=1m12l1)

のように計算できます.

H(N;x)

同様に

H(N;x)=k=0Nx2k(2k+1)rβkr

でも計算できると思います.すなわち,

H(N;x)=k=0Nx2k(2k+1)rβkrHn(N)=k=0Nz2k+n+1(2k+n+1)(2k+1)rβkr

とすれば

(n1)rHn1(N)nrHn+1(N1)=znn(2N+1)r(n1)r(2N+1)+(n1)z2N+n(2N+1)rβNr+k=0N1((2k+2)rnr(2k+2)+nz2(2k+1)r(n1)r(2k+1)+(n1))z2k+n(2k+1)rβkr

が成り立ち,

H~(N;x)=k=0Nx2k2(2k+1)rβkrH~n(N)=k=0Nzn12k(n12k)(2k+1)rβkr

とすれば

nrHn1(N1)(n+1)rHn+1(N)=znn(n+1)r(2N+1)r(n+1)(2N+1)zn2N(2N+1)rβNr+k=0N1(nr(2k+2)rn(2k+2)(n+1)r(2k+1)r(n+1)(2k+1)z2)zn2k2(2k+1)rβkr

が成り立ちます.

ニ重化

定義1のように,二重級数の有限和を定義することもできそうです.すなわち

FA(N;x)=l=0Nβlrx2lk=0l1AkQA(N;x)=n=0NβlrAlx2lF~A(N;x)=l=0Nβlrx2l1k=0l1AkQ~A(N;x)=l=0NβlrAnx2l1

とします.畳み込みとなるF~A(N;x),Q~A(N;x)について微分方程式は

x2(ddxx)rFA(N;x)=(xddx)r(F~A(N1;x)+Q~A(N1;x))

であり,moment

k=0N(n+1)r(n+1)(2k)βkrzn+12kk=0l1Akk=0N1nrn(2k+1)βkrzn(2k+1)k=0l1Akk=0N1nrn(2k+1)βkrAkzn(2k+1)=k=0N(n+1)r(2k)r(n+1)(2k)βkrzn+12kk=0l1Akk=0N1nr(2k+1)rn(2k+1)βkrzn(2k+1)k=0l1Akk=0N1nr(2k+1)rn(2k+1)βkrAkzn(2k+1)

で計算できます.

投稿日:2023107
更新日:2023116
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