二項係数付きマクローリン級数の微分方程式の導出および moment の計算

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　記法： $β_{r} = 2^{- 2 r} (\binom{2 r}{r})$

定義１

$F_{A}^{(r)} (x), Q_{A}^{(r)} (x)$ を次のように定義します．

\begin{aligned} F_{A}^{(r)} (x) & = F (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} β_{n}^{r} x^{2 n} \sum_{k = 0}^{n - 1} A_{k}^{} \\ Q_{A}^{(r)} (x) & = Q (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} β_{n}^{r} A_{n}^{} x^{2 n} \end{aligned}

$A_{n}^{}$ をなくす場合は $A_{n}^{} = {\begin{cases} 1 (n = 0) \\ 0 (n \geq 1) \end{cases}$ とすればよいです．

微分方程式１

$F_{A}^{(r)} (x)$ の微分方程式を導出します．

\begin{aligned} {(x \frac{d}{d x})}^{r} F (x) & = \sum_{n = 0}^{\infty} (2 n)^{r} β_{n}^{r} x^{2 n} \sum_{k = 0}^{n - 1} A_{k}^{} \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} (2 n)^{r} β_{n}^{r} x^{2 n} \sum_{k = 0}^{n - 1} A_{k}^{} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} (2 n + 1)^{r} β_{n}^{r} x^{2 n + 2} (\sum_{k = 0}^{n - 1} A_{k}^{} + A_{n}^{}) \\ = x^{2} {(\frac{d}{d x} x)}^{r} (F (x) + Q (x)) \end{aligned}

よって

\begin{matrix} (1) & {(x \frac{d}{d x})}^{r} F (x) = x^{2} {(\frac{d}{d x} x)}^{r} (F (x) + Q (x)) \end{matrix}

となります．

$M o m e n t$ １

微分方程式 $(1)$ を用いて $F (x)$ の $m o m e n t$

\begin{array}{r} \int x^{n} F (x) d x \end{array}

を計算することができます．ただし， $Q (x)$ の $m o m e n t$ が既知である必要があります．一般の $A_{n}^{}$ に対して $Q (x)$ の微分方程式を求めるのは少し難しいので，そこはそれぞれの $A_{n}^{}$ に対して適宜求めていくことになるかもしれません． $F (x), Q (x)$ の $m o m e n t$ をそれぞれ

\begin{aligned} F_{n}^{} & = \int_{0}^{z} x^{n} F (x) d x \\ Q_{n}^{} & = \int_{0}^{z} x^{n} Q (x) d x \end{aligned}

と書くことにします． $(1)$ の両辺に $x^{n}$ を掛けて部分積分を繰り返すことで $F_{n}^{}$ の漸化式を求めることができます．

$r = 2$

$(1)$ で $r = 2$ として整理すると

\begin{array}{r} x F (x) = \frac{d}{d x} x (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} F (x) - x {(\frac{d}{d x} x)}^{2} Q (x) \end{array}

となります．この式をもって $m o m e n t$ の計算をしてみます．

\begin{aligned} F_{n} & = \int_{0}^{z} x^{n} F (x) d x \\ = \int_{0}^{z} x^{n - 1} \cdot x F (x) d x \\ = \int_{0}^{z} x^{n - 1} (\frac{d}{d x} x (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} F (x) - x {(\frac{d}{d x} x)}^{2} Q (x)) d x \\ = z^{n} (1 - z^{2}) \frac{d}{d z} F (z) - (n - 1) \int_{0}^{z} x^{n - 1} (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} F (x) d x - \int_{0}^{z} x^{n} {(\frac{d}{d x} x)}^{2} Q (x) d x \\ = z^{n} (1 - z^{2}) \frac{d}{d z} F (z) - (n - 1) z^{n - 1} (1 - z^{2}) F (z) + (n - 1) \int_{0}^{z} ((n - 1) x^{n - 2} - (n + 1) x^{n}) F (x) d x - \int_{0}^{z} x^{n} {(\frac{d}{d x} x)}^{2} Q (x) d x \\ = - z (1 - z^{2}) F (z)^{2} \frac{d}{d z} \frac{z^{n - 1}}{F (z)} + (n - 1)^{2} F_{n - 2}^{} - (n^{2} - 1) F_{n}^{} - \int_{0}^{z} x^{n} {(\frac{d}{d x} x)}^{2} Q (x) d x \end{aligned}

よって

\begin{array}{r} n^{2} F_{n}^{} - (n - 1)^{2} F_{n - 2}^{} = - z (1 - z^{2}) F (z)^{2} \frac{d}{d z} \frac{z^{n - 1}}{F (z)} - \int_{0}^{z} x^{n} {(\frac{d}{d x} x)}^{2} Q (x) d x \end{array}

となります．

$A_{n} = \frac{1}{(2 n + 1)^{2} β_{n}^{2}}$ とすれば

\begin{array}{r} Q (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n + 1)^{2}}, x {(\frac{d}{d x} x)}^{2} Q (x) = \frac{x}{1 - x^{2}} \end{array}

となります． $A_{n}^{} = \frac{1}{(2 n + 1)^{3} β_{n}^{3}}$ とした場合は，

\begin{array}{r} Q (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n + 1)^{3} β_{n}^{}}, x {(\frac{d}{d x} x)}^{2} Q (x) = \frac{\sin^{- 1} x}{\sqrt{1 - x^{2}}} \end{array}

となります．

$r = 3$

微分方程式 $(1)$ で $r = 3$ のとき，

\begin{array}{r} {(x \frac{d}{d x})}^{3} F (x) = x^{2} {(\frac{d}{d x} x)}^{3} F (x) + x^{2} {(\frac{d}{d x} x)}^{3} Q (x) \end{array}

であり，

\begin{array}{r} (n + 1)^{3} F_{n}^{} - (n + 2)^{3} F_{n + 2}^{} = z^{n + 1} (((n + 1)^{2} - (n^{2} + 3 n + 3) z^{2}) F (z) - z (n - (n - 1) z^{2}) \frac{d}{d z} F (z) + z^{2} (1 - z^{2}) \frac{d^{2}}{d z^{2}} F (z)) - \int_{0}^{z} x^{n + 2} {(\frac{d}{d x} x)}^{2} Q (x) d x \end{array}

となります． $z \to 1$ とした場合はどうなるでしょうか．右辺第１項のみで考えます．

\begin{aligned} lim_{z \to 1} z^{n + 1} (((n + 1)^{2} - (n^{2} + 3 n + 3) z^{2}) F (z) - z (n - (n - 1) z^{2}) \frac{d}{d z} F (z) + z^{2} (1 - z^{2}) \frac{d^{2}}{d z^{2}} F (z)) \\ = & - (n + 2) F (1) + lim_{z \to 1} (- z (n (1 - z^{2}) + z^{2}) \frac{d}{d z} F (z) + z^{2} (1 - z^{2}) \frac{d^{2}}{d z^{2}} F (z)) \\ = & - (n + 2) F (1) + lim_{z \to 1} (- z^{3} \frac{d}{d z} F (z) + z^{2} (1 - z^{2}) \frac{d^{2}}{d z^{2}} F (z)) \\ = & - (n + 2) F (1) + lim_{z \to 1} (- z \frac{d}{d z} F (z) + (1 - z^{2}) \frac{d^{2}}{d z^{2}} F (z)) \\ = & - (n + 2) F (1) + lim_{z \to 1} (- \sum_{n = 0}^{\infty} β_{n}^{3} \cdot 2 n z^{2 n} \sum_{k = 0}^{n - 1} A_{k}^{} + (1 - z^{2}) \sum_{n = 0}^{\infty} β_{n}^{3} \cdot 2 n (2 n - 1) z^{2 n - 2} \sum_{k = 0}^{n - 1} A_{k}^{}) \\ = & - (n + 2) F (1) + lim_{z \to 1} (- \sum_{n = 0}^{\infty} β_{n}^{3} \cdot 2 n z^{2 n} \sum_{k = 0}^{n - 1} A_{k}^{} + \sum_{n = 0}^{\infty} β_{n + 1}^{3} \cdot (2 n + 1) (2 n + 2) z^{2 n} \sum_{k = 0}^{n} A_{k}^{} - \sum_{n = 0}^{\infty} β_{n}^{3} \cdot 2 n (2 n - 1) z^{2 n} \sum_{k = 0}^{n - 1} A_{k}^{}) \\ = & - (n + 2) F (1) + lim_{z \to 1} \sum_{n = 0}^{\infty} z^{2 n} (β_{n + 1}^{3} \cdot (2 n + 1) (2 n + 2) \sum_{k = 0}^{n} A_{k}^{} - β_{n}^{3} \cdot (2 n)^{2} \sum_{k = 0}^{n - 1} A_{k}^{}) \\ = & - (n + 2) F (1) + \sum_{n = 0}^{\infty} ((2 n + 1) (2 n + 2) β_{n + 1}^{3} \sum_{k = 0}^{n} A_{k}^{} - (2 n)^{2} β_{n}^{3} \sum_{k = 0}^{n - 1} A_{k}^{}) \\ = & - (n + 2) F (1) + \sum_{n = 0}^{\infty} (- (2 n + 2) β_{n + 1}^{3} \sum_{k = 0}^{n} A_{k}^{} + (2 n + 2)^{2} β_{n + 1}^{3} \sum_{k = 0}^{n} A_{k}^{} - (2 n)^{2} β_{n}^{3} \sum_{k = 0}^{n - 1} A_{k}^{}) \\ = & - (n + 2) F (1) + lim_{N \to \infty} (- \sum_{n = 0}^{N} (2 n + 2) β_{n + 1}^{3} \sum_{k = 0}^{n} A_{k}^{} + (2 N + 2)^{2} β_{N + 1}^{3} \sum_{k = 0}^{N} A_{k}^{}) \\ = & - (n + 2) F (1) + lim_{N \to \infty} ((2 N)^{2} β_{N}^{3} \sum_{k = 0}^{N - 1} A_{k}^{} - \sum_{n = 1}^{N} (2 n) β_{n}^{3} \sum_{k = 0}^{n - 1} A_{k}^{}) \end{aligned}

ちょっとよくわからないです．

定義２

ここまで， $x$ の係数に $β_{n}^{r}$ が付くタイプを計算しましたが，分母につく場合はどうなるでしょうか．すなわち

\begin{aligned} H_{A}^{(r)} (x) = H (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n + 1)^{r} β_{n}^{r}} \sum_{k = 0}^{n - 1} A_{k}^{} \\ J_{A}^{(r)} (x) = J (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{A_{n}^{} x^{2 n}}{(2 n + 1)^{r} β_{n}^{r}} \end{aligned}

と定義します．

微分方程式２

$H_{A}^{(r)} (x)$ の微分方程式は

\begin{aligned} {(\frac{d}{d x} x)}^{r} H (x) & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{β_{n}^{r}} \sum_{k = 0}^{n - 1} A_{k}^{} \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{β_{n}^{r}} \sum_{k = 0}^{n - 1} A_{k}^{} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(2 n + 2)}^{r} x^{2 n + 2}}{(2 n + 1)^{r} β_{n}^{r}} (\sum_{k = 0}^{n - 1} A_{k}^{} + A_{n}^{}) \\ = x {(\frac{d}{d x} x)}^{r} x (H (x) + J (x)) \end{aligned}

よって

\begin{array}{r} (2) & {(\frac{d}{d x} x)}^{r} H (x) = x {(\frac{d}{d x} x)}^{r} x (H (x) + J (x)) \end{array}

となります． $(F (x), Q (x))$ が満たす微分方程式と $(x H (x), x J (x))$ が満たす微分方程式が一致していることになります．

$M o m e n t$ ２

\begin{array}{r} H (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n + 1)^{3} β_{n}^{3}} \end{array}

について考えてみます．
微分方程式は

\begin{array}{r} {(\frac{d}{d x} x)}^{3} H (x) = 1 + x {(\frac{d}{d x} x)}^{3} x H (x) \end{array}

です．これを用いて $m o m e n t$ を計算すると，

\begin{array}{r} n^{3} H_{n + 1}^{} - (n - 1)^{3} H_{n - 1}^{} = \frac{z^{n}}{n} + z^{n + 1} {(\frac{d}{d z} z)}^{2} z H (z) - n z^{n + 1} (\frac{d}{d z} z) z H (z) + n^{2} z^{n + 1} z H (z) - z^{n} {(\frac{d}{d z} z)}^{2} H (z) + (n - 1) z^{n} (\frac{d}{d z} z) H (z) - (n - 1)^{2} z^{n} H (z) \end{array}

となります．ここで $z \to 1^{-}$ とします．明らかに収束する部分は無視しつつ，右辺の2,3,5,6項を $n$ の係数とそうでない部分を分けます．すなわち

\begin{aligned} a & = lim_{z \to 1^{-}} (z^{n + 1} {(\frac{d}{d z} z)}^{2} z H (z) - z^{n} {(\frac{d}{d z} z)}^{2} H (z) - z^{n} (\frac{d}{d z} z) H (z)) \\ b & = lim_{z \to 1^{-}} (- z^{n + 1} (\frac{d}{d z} z) z H (z) + z^{n} (\frac{d}{d z} z) H (z)) \end{aligned}

の二つを考えます．他の項が収束するので，この二つはそれぞれ収束するのではないでしょうか．

\begin{aligned} a & = lim_{z \to 1^{-}} (z^{n + 1} {(\frac{d}{d z} z)}^{2} z H (z) - z^{n} {(\frac{d}{d z} z)}^{2} H (z) - z^{n} (\frac{d}{d z} z) H (z)) \\ = lim_{z \to 1^{-}} (z {(\frac{d}{d z} z)}^{2} z H (z) - {(\frac{d}{d z} z)}^{2} H (z) - (\frac{d}{d z} z) H (z)) \\ = lim_{z \to 1^{-}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(2 n + 2)^{2} z^{2 n + 2} - (2 n + 1)^{2} z^{2 n} - (2 n + 1) z^{2 n}}{(2 n + 1)^{3} β_{n}^{3}} \\ = lim_{z \to 1^{-}} \sum_{n = 0}^{\infty} z^{2 n} \frac{(2 n + 2) ((2 n + 2) z^{2} - (2 n + 1))}{(2 n + 1)^{3} β_{n}^{3}} \\ = - 2 + lim_{z \to 1^{-}} \sum_{n = 1}^{\infty} z^{2 n} (\frac{1}{2 n} - \frac{2 n + 2}{(2 n + 1)^{2}}) \frac{1}{β_{n}^{3}} \\ = - 2 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2 n (2 n + 1)^{2} β_{n}^{3}} \\ b & = lim_{z \to 1^{-}} (- z^{n + 1} (\frac{d}{d z} z) z H (z) + z^{n} (\frac{d}{d z} z) H (z)) \\ = lim_{z \to 1^{-}} (- z (\frac{d}{d z} z) z H (z) + (\frac{d}{d z} z) H (z)) \\ = lim_{z \to 1^{-}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{- (2 n + 2) z^{2 n + 2} + (2 n + 1) z^{2 n}}{(2 n + 1)^{3} β_{n}^{3}} \\ = lim_{z \to 1^{-}} \sum_{n = 0}^{\infty} z^{2 n} \frac{- (2 n + 2) z^{2} + (2 n + 1)}{(2 n + 1)^{3} β_{n}^{3}} \\ = 1 + lim_{z \to 1^{-}} \sum_{n = 1}^{\infty} z^{2 n} (- \frac{1}{(2 n)^{2}} + \frac{1}{(2 n + 1)^{2}}) \frac{1}{β_{n}^{3}} \\ = 1 - \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{4 n + 1}{(2 n)^{2} (2 n + 1)^{2} β_{n}^{3}} \end{aligned}

これらの級数をWolfram Alphaに入力してもいい結果は出力されません．なのでなんとか多少秩序を孕んだ表示にしてみました．
先ず $a$ について，

\begin{array}{r} \frac{{(2 n + 2)}^{2}}{(2 n + 1)^{3} β_{n}^{3}} - \frac{{(2 n)}^{2}}{(2 n - 1)^{3} β_{n - 1}^{3}} = \frac{2 n + 2}{(2 n + 1)^{3} β_{n}^{3}} - \frac{1}{2 n (2 n + 1)^{2} β_{n}^{3}} \end{array}

ので，

\begin{aligned} a & = - 2 + lim_{N \to \infty} \sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{2 n (2 n + 1)^{2} β_{n}^{3}} \\ = - 2 + lim_{N \to \infty} \sum_{n = 1}^{N} (\frac{2 n + 2}{(2 n + 1)^{3} β_{n}^{3}} - \frac{{(2 n + 2)}^{2}}{(2 n + 1)^{3} β_{n}^{3}} + \frac{{(2 n)}^{2}}{(2 n - 1)^{3} β_{n - 1}^{3}}) \\ = - 2 + lim_{N \to \infty} (\sum_{n = 1}^{N} \frac{2 n + 2}{(2 n + 1)^{3} β_{n}^{3}} - \frac{{(2 N + 2)}^{2}}{(2 N + 1)^{3} β_{N}^{3}} + 4) \\ = - lim_{N \to \infty} (\frac{1}{2 N β_{N}^{3}} - \sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{(2 n)^{2} β_{n}^{3}}) . \end{aligned}

また， $b$ については

\begin{array}{r} \frac{1}{(2 n - 1)^{2} β_{n - 1}^{3}} - \frac{1}{(2 n + 1)^{2} β_{n}^{3}} = \frac{4 n + 1}{(2 n)^{2} (2 n + 1)^{2} β_{n}^{3}} - \frac{1}{(2 n)^{3} β_{n}^{3}} \end{array}

ので，

\begin{aligned} b & = 1 - lim_{N \to \infty} \sum_{n = 1}^{N} \frac{4 n + 1}{(2 n)^{2} (2 n + 1)^{2} β_{n}^{3}} \\ = 1 - lim_{N \to \infty} \sum_{n = 1}^{N} (\frac{1}{(2 n - 1)^{2} β_{n - 1}^{3}} - \frac{1}{(2 n + 1)^{2} β_{n}^{3}} + \frac{1}{(2 n)^{3} β_{n}^{3}}) \\ = 1 - lim_{N \to \infty} (1 - \frac{1}{(2 N + 1)^{2} β_{N}^{3}} + \sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{(2 n)^{3} β_{n}^{3}}) \\ = - H (1) \end{aligned}

となります．したがって $m o m e n t$ の漸化式は

\begin{array}{r} n^{3} H_{n + 1}^{} - (n - 1)^{3} H_{n - 1}^{} = \frac{1}{n} + (2 n - 1) H (1) + a + b n = \frac{1}{n} + (n - 1) H (1) + a \end{array}

となり，

\begin{aligned} H_{2 n}^{} & = \frac{1}{(2 n)^{3} β_{n}^{3}} \sum_{k = 0}^{n - 1} β_{k}^{3} (\frac{1}{2 k + 1} + 2 k H (1) + a) \\ H_{2 n + 1}^{} & = β_{n}^{3} (H_{1} + \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{(2 k)^{3} β_{k}^{3}} (\frac{1}{2 k} + (2 k - 1) H (1) + a)) \end{aligned}

となります．

多重級数

冒頭の定義のようにすれば，一般の多重級数となりますが，ここでは基になる単級数で計算できればそれ以降も連鎖的に定義および計算できる多重級数を考えます．そこで，次の性質を用います．

　
マクローリン級数 $F (x), G (x)$ を
$\begin{array}{r} F (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} f_{n}^{} x^{2 n}, G (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2 n - 1}}{(2 n)^{r} β_{n}^{r}} \sum_{m = 0}^{n - 1} β_{m}^{r} f_{m}^{} \end{array}$
と定義すれば，
$\begin{array}{r} {(x \frac{d}{d x})}^{r} G (x) - x^{2} {(\frac{d}{d x} x)}^{r} G (x) = x F (x) . \end{array}$
また，
$\begin{array}{r} G (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} g_{n}^{} x^{2 n - 1}, F (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} β_{n}^{r} x^{2 n} \sum_{m = 1}^{n} \frac{g_{m}^{}}{(2 m)^{r} β_{m}^{r}} \end{array}$
と定義すれば，
$\begin{array}{r} {(x \frac{d}{d x})}^{r} F (x) - x^{2} {(\frac{d}{d x} x)}^{r} F (x) = x G (x) . \end{array}$
　

証明は次のようになります．

\begin{aligned} {(x \frac{d}{d x})}^{r} G (x) - x^{2} {(\frac{d}{d x} x)}^{r} G (x) & = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(2 n - 1)^{r} x^{2 n - 1}}{(2 n)^{r} β_{n}^{r}} \sum_{m = 0}^{n - 1} β_{m}^{r} f_{m}^{} - \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2 n + 1}}{β_{n}^{r}} \sum_{m = 0}^{n - 1} β_{m}^{r} f_{m}^{} \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2 n - 1}}{β_{n - 1}^{r}} \sum_{m = 0}^{n - 1} β_{m}^{r} f_{m}^{} - \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2 n + 1}}{β_{n}^{r}} (\sum_{m = 0}^{n} β_{m}^{r} f_{m}^{} - β_{n}^{r} f_{n}^{}) \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n}^{} x^{2 n + 1} - \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{x^{2 n + 1}}{β_{n}^{r}} \sum_{m = 0}^{n} β_{m}^{r} f_{m}^{} - \frac{x^{2 n - 1}}{β_{n - 1}^{r}} \sum_{m = 0}^{n - 1} β_{m}^{r} f_{m}^{}) \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n}^{} x^{2 n + 1} - lim_{N \to \infty} (\frac{x^{2 N + 1}}{β_{N}^{r}} \sum_{m = 0}^{N} β_{m}^{r} f_{m}^{} - f_{0}^{} x) \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} f_{n}^{} x^{2 n + 1} \\ = x F (x) \\ {(x \frac{d}{d x})}^{r} F (x) - x^{2} {(\frac{d}{d x} x)}^{r} F (x) & = \sum_{n = 0}^{\infty} (2 n)^{r} β_{n}^{r} x^{2 n} \sum_{m = 1}^{n} \frac{f_{m}^{}}{(2 m)^{r} β_{m}^{r}} - \sum_{n = 0}^{\infty} (2 n + 1)^{r} β_{n}^{r} x^{2 n + 2} \sum_{m = 1}^{n} \frac{f_{m}^{}}{(2 m)^{r} β_{m}^{r}} \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} (2 n)^{r} β_{n}^{r} x^{2 n} (\sum_{m = 1}^{n - 1} \frac{f_{m}^{}}{(2 m)^{r} β_{m}^{r}} + \frac{f_{n}^{}}{(2 n)^{r} β_{n}^{r}}) - \sum_{n = 1}^{\infty} (2 n + 2)^{r} β_{n + 1}^{r} x^{2 n + 2} \sum_{m = 1}^{n} \frac{f_{m}^{}}{(2 m)^{r} β_{m}^{r}} \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n}^{} x^{2 n} + \sum_{n = 1}^{\infty} ((2 n)^{r} β_{n}^{r} x^{2 n} \sum_{m = 1}^{n - 1} \frac{f_{m}^{}}{(2 m)^{r} β_{m}^{r}} - (2 n + 2)^{r} β_{n + 1}^{r} x^{2 n + 2} \sum_{m = 1}^{n} \frac{f_{m}^{}}{(2 m)^{r} β_{m}^{r}}) \\ = x G (x) + lim_{N \to \infty} (0 - (2 N)^{r} β_{N}^{r} x^{2 N} \sum_{m = 1}^{N - 1} \frac{f_{m}^{}}{(2 m)^{r} β_{m}^{r}}) \\ = x G (x) \end{aligned}

また，これにより $\sum_{n = 0}^{\infty} f_{n}^{} x^{2 n}$ の moment が計算できれば，

\begin{array}{r} \sum_{0 \leq n_{0}^{} < m_{0}^{} \leq \dots \leq n_{p - 1}^{} < m_{p - 1}^{} \leq n_{p}^{}} β_{n_{p}^{}}^{r} x^{2 n_{p}^{}} (\prod_{j = 0}^{p - 1} \frac{β_{n_{j}^{}}^{2 r}}{(2 m_{j}^{})^{2 r} β_{m_{j}^{}}^{2 r}}) \frac{f_{n_{0}^{}}^{}}{β_{n_{0}^{}}^{r}} \end{array}

などの多重級数の moment を計算できることになります．

$(\binom{3 n}{n})$ を含む

これまでは中央二項係数 $(\binom{2 n}{n})$ でしたが，次は $(\binom{3 n}{n})$ を含む級数を定義してその微分方程式および $m o m e n t$ を探っていこうと思います．

${(\binom{2 n}{n})}^{2} (\binom{3 n}{n}) = \frac{(2 n)! (3 n)!}{n!^{5}}$

$F (x)$ を

\begin{array}{r} F (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(\binom{2 n}{n})}^{2} (\binom{3 n}{n})}{2^{2 n} 3^{3 n}} x^{6 n} \end{array}

と定義します． $F (x)$ の微分方程式は

\begin{array}{r} x^{4} {(\frac{d}{d x})}^{3} x^{4} F (x) = {(x \frac{d}{d x})}^{3} F (x) \end{array}

となります．同様に $F (x)$ の $m o m e n t$ を計算すると

\begin{aligned} (n - 1)^{3} F_{n - 2}^{} - (n + 1) (n + 2) (n + 3) F_{n + 4}^{} = & z^{n - 1} {(z \frac{d}{d z})}^{2} F (z) - (n - 1) z^{n - 1} (z \frac{d}{d z}) F (z) + (n - 1)^{2} z^{n - 1} F (z) \\ - z^{n + 3} {(\frac{d}{d z})}^{2} z^{4} F (z) + (n + 3) z^{n + 2} (\frac{d}{d z}) z^{4} F (z) - (n + 2) (n + 3) z^{n + 1} z^{4} F (z) \end{aligned}

となります． $z \to 1^{-}$ とし，右辺第1,2,4,5項を $n$ の係数とそうでない部分に分けて考えます．すなわち

\begin{aligned} a & = lim_{z \to 1^{-}} (z^{n - 1} {(z \frac{d}{d z})}^{2} F (z) + z^{n - 1} (z \frac{d}{d z}) F (z) - z^{n + 3} {(\frac{d}{d z})}^{2} z^{4} F (z) + 3 z^{n + 2} (\frac{d}{d z}) z^{4} F (z)) \\ b & = lim_{z \to 1^{-}} (- z^{n - 1} (z \frac{d}{d z}) F (z) + z^{n + 2} (\frac{d}{d z}) z^{4} F (z)) \end{aligned}

とします．

\begin{aligned} a & = lim_{z \to 1^{-}} (z^{n - 1} {(z \frac{d}{d z})}^{2} F (z) + z^{n - 1} (z \frac{d}{d z}) F (z) - z^{n + 3} {(\frac{d}{d z})}^{2} z^{4} F (z) + 3 z^{n + 2} (\frac{d}{d z}) z^{4} F (z)) \\ = lim_{z \to 1^{-}} (\frac{d}{d z} z \frac{d}{d z} F (z) + \frac{d}{d z} F (z) - z^{3} {(\frac{d}{d z})}^{2} z^{4} F (z) + 3 z^{2} (\frac{d}{d z}) z^{4} F (z)) \\ = lim_{z \to 1^{-}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(\binom{2 n}{n})}^{2} (\binom{3 n}{n})}{2^{2 n} 3^{3 n}} ((6 n)^{2} z^{6 n - 1} + 6 n z^{6 n - 1} - (6 n + 3) (6 n + 4) z^{6 n + 5} + 3 (6 n + 4) z^{6 n + 5}) \\ = lim_{z \to 1^{-}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(\binom{2 n}{n})}^{2} (\binom{3 n}{n})}{2^{2 n} 3^{3 n}} (6 n (6 n + 1) z^{6 n - 1} - 6 n (6 n + 4) z^{6 n + 5}) \\ = lim_{z \to 1^{-}} \sum_{n = 0}^{\infty} ((6 n + 6) (6 n + 7) \frac{{(\binom{2 n + 2}{n + 1})}^{2} (\binom{3 n + 3}{n + 1})}{2^{2 n + 2} 3^{3 n + 3}} z^{6 n + 5} - 6 n (6 n + 4) \frac{{(\binom{2 n}{n})}^{2} (\binom{3 n}{n})}{2^{2 n} 3^{3 n}} z^{6 n + 5}) \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} ((6 n + 7) \frac{(2 n + 1) (3 n + 2) (3 n + 1)}{3 (n + 1)^{2}} - 6 n (6 n + 4)) \frac{{(\binom{2 n}{n})}^{2} (\binom{3 n}{n})}{2^{2 n} 3^{3 n}} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(3 n + 2) (5 n + 7)}{3 (n + 1)^{2}} \frac{{(\binom{2 n}{n})}^{2} (\binom{3 n}{n})}{2^{2 n} 3^{3 n}} \\ b & = lim_{z \to 1^{-}} (- z^{n - 1} (z \frac{d}{d z}) F (z) + z^{n + 2} (\frac{d}{d z}) z^{4} F (z)) \\ = lim_{z \to 1^{-}} (- \frac{d}{d z} F (z) + z^{2} \frac{d}{d z} z^{4} F (z)) \\ = lim_{z \to 1^{-}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(\binom{2 n}{n})}^{2} (\binom{3 n}{n})}{2^{2 n} 3^{3 n}} (- 6 n z^{6 n - 1} + (6 n + 4) z^{6 n + 5}) \\ = lim_{z \to 1^{-}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(\binom{2 n}{n})}^{2} (\binom{3 n}{n})}{2^{2 n} 3^{3 n}} (- \frac{(2 n + 1) (3 n + 1) (3 n + 2)}{3 (n + 1)^{2}} z^{6 n + 5} + (6 n + 4) z^{6 n + 5}) \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(3 n + 2) (7 n + 5)}{3 (n + 1)^{2}} \frac{{(\binom{2 n}{n})}^{2} (\binom{3 n}{n})}{2^{2 n} 3^{3 n}} . \end{aligned}

$a, b$ を求めるために，次の等式を用います．

\begin{array}{r} 0 = \sum_{n = 0}^{\infty} (n - n) \frac{{(\binom{2 n}{n})}^{2} (\binom{3 n}{n})}{2^{2 n} 3^{3 n}} = \sum_{n = 0}^{\infty} (n - \frac{(2 n + 1) (3 n + 1) (3 n + 2)}{2 \cdot 3^{2} (n + 1)^{2}}) \frac{{(\binom{2 n}{n})}^{2} (\binom{3 n}{n})}{2^{2 n} 3^{3 n}} = \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{1}{2} - \frac{13}{18 (n + 1)} + \frac{1}{9 (n + 1)^{2}}) \frac{{(\binom{2 n}{n})}^{2} (\binom{3 n}{n})}{2^{2 n} 3^{3 n}} \end{array}

\begin{array}{r} ∴ \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(n + 1)^{2}} \frac{{(\binom{2 n}{n})}^{2} (\binom{3 n}{n})}{2^{2 n} 3^{3 n}} = - \frac{9}{2} F (1) + 39 F_{5}^{} \end{array}

\begin{aligned} a & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(3 n + 2) (5 n + 7)}{3 (n + 1)^{2}} \frac{{(\binom{2 n}{n})}^{2} (\binom{3 n}{n})}{2^{2 n} 3^{3 n}} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} (5 + \frac{1}{3 (n + 1)} - \frac{2}{3 (n + 1)^{2}}) \frac{{(\binom{2 n}{n})}^{2} (\binom{3 n}{n})}{2^{2 n} 3^{3 n}} \\ = 5 F (1) + 2 F_{5}^{} - \frac{2}{3} (- \frac{9}{2} F (1) + 39 F_{5}^{}) \\ = 8 F (1) - 24 F_{5}^{} \\ b & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(3 n + 2) (7 n + 5)}{3 (n + 1)^{2}} \frac{{(\binom{2 n}{n})}^{2} (\binom{3 n}{n})}{2^{2 n} 3^{3 n}} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} (7 - \frac{13}{3 (n + 1)} + \frac{2}{3 (n + 1)^{2}}) \frac{{(\binom{2 n}{n})}^{2} (\binom{3 n}{n})}{2^{2 n} 3^{3 n}} \\ = 7 F (1) - 26 F_{5}^{} + \frac{2}{3} (- \frac{9}{2} F (1) + 39 F_{5}^{}) \\ = 4 F (1) . \end{aligned}

したがって，漸化式は

\begin{array}{r} (n - 1)^{3} F_{n - 2}^{} - (n + 1) (n + 2) (n + 3) F_{n + 4}^{} = 8 F (1) - 24 F_{5}^{} + 4 n F (1) - (7 n + 5) F (1) = - 3 (n - 1) F (1) - 24 F_{5}^{} \end{array}

となります．例えば $n \equiv 1 (m o d 6)$ の場合

\begin{array}{r} (6 n)^{3} F_{6 n - 1}^{} - (6 n + 2) (6 n + 3) (6 n + 4) F_{6 n + 5}^{} = - 18 n F (1) - 24 F_{5}^{} \end{array}

であり

\begin{array}{r} F_{6 n - 1}^{} = \frac{2^{2 n + 1} 3^{3 n + 1}}{{(6 n)}^{3} {(\binom{2 n}{n})}^{2} (\binom{3 n}{n})} \sum_{m = 0}^{n - 1} \frac{{(\binom{2 m}{m})}^{2} (\binom{3 m}{m})}{2^{2 m} 3^{3 m}} (3 m F (1) + 4 F_{5}^{}) \end{array}

となります．Wolfram Alphaによれば $F (1) = \frac{π}{Γ {(\frac{2}{3})}^{2} Γ {(\frac{5}{6})}^{2}}$ です．

有限級数

$F (N; x)$

微分方程式の導出方法から，有限級数でもほぼほぼ同じ計算ができそうな気がします．例えば

\begin{array}{r} F (N; x) = \sum_{k = 0}^{N} β_{k}^{r} x^{2 k} \end{array}

と定義します．微分方程式は

\begin{array}{r} {(x \frac{d}{d x})}^{r} F (N; x) = x^{2} {(\frac{d}{d x} x)}^{r} F (N - 1; x) \end{array}

です．
$r = 3$ の場合， $m o m e n t$ $F_{n} (N)$ は

\begin{aligned} n^{3} F_{n - 1}^{} (N) - (n + 1)^{3} F_{n + 1}^{} (N - 1) = & z^{n} {(z \frac{d}{d z})}^{2} F (N; z) - n z^{n} (z \frac{d}{d z}) F (N; z) + n^{2} z^{n} F (N; z) \\ - z^{n + 2} {(\frac{d}{d z} z)}^{2} F (N - 1; z) + (n + 1) z^{n + 2} (\frac{d}{d z} z) F (N - 1; z) - (n + 1)^{2} z^{n + 2} F (N - 1; z) \\ = & \sum_{k = 0}^{N} \frac{(2 k)^{3} + n^{3}}{2 k + n} β_{k}^{3} z^{2 k + n} - \sum_{k = 0}^{N - 1} \frac{(2 k + 1)^{3} + (n + 1)^{3}}{(2 k + 1) + (n + 1)} β_{k}^{3} z^{2 k + n + 2} \\ = & \sum_{k = 0}^{N} (\frac{(2 k)^{3} + n^{3}}{2 k + n} - \frac{(2 k + 1)^{3} + (n + 1)^{3}}{(2 k + 1) + (n + 1)} z^{2}) β_{k}^{3} z^{2 k + n} + \frac{(2 N + 1)^{3} + (n + 1)^{3}}{(2 N + 1) + (n + 1)} β_{N}^{3} z^{2 N + n + 2} \end{aligned}

となります．これをみると全く自明な式です． $N \to \infty$ や $z \to 1^{-}$ で多少その自明さがマスクされるのでしょう．一般の $r$ では

\begin{array}{r} n^{r} F_{n - 1}^{} (N) - (n + 1)^{r} F_{n + 1}^{} (N - 1) = \sum_{k = 0}^{N} (\frac{(2 k)^{r} + n^{r}}{2 k + n} - \frac{(2 k + 1)^{r} + (n + 1)^{r}}{(2 k + 1) + (n + 1)} z^{2}) β_{k}^{r} z^{2 k + n} + \frac{(2 N + 1)^{r} + (n + 1)^{r}}{(2 N + 1) + (n + 1)} β_{N}^{r} z^{2 N + n + 2} \end{array}

となります． $\frac{(2 k)^{r} + n^{r}}{2 k + n}$ を多項式にする場合は $n^{r}$ を $(- n)^{r}$ となるようにすればいいです．
$F_{n}^{} (N)$ を実際に書くと

\begin{array}{r} F_{n}^{} (N) = \sum_{k = 0}^{N} \frac{β_{k}^{r} z^{2 k + n + 1}}{2 k + n + 1} \end{array}

です．これを受けて， $n$ が負の場合も考えてみます．すなわち

\begin{array}{r} \tilde{F} (N; x) = \sum_{k = 0}^{N} β_{k}^{r} x^{- 2 k - 1} \end{array}

と定義します．このとき $\tilde{F} (N; x)$ の $m o m e n t$ ${\tilde{F}}_{n} (N)$ を

\begin{array}{r} {\tilde{F}}_{n} (N) = \int_{0}^{z} x^{n} \tilde{F} (N; x) d x = \sum_{k = 0}^{N} \frac{β_{k}^{r} z^{n - 2 k}}{n - 2 k} \end{array}

とします． $\tilde{F} (N; x)$ の微分方程式は

\begin{array}{r} {(x \frac{d}{d x})}^{r} \tilde{F} (N - 1; x) = x^{2} {(\frac{d}{d x} x)}^{r} \tilde{F} (N; x) \end{array}

となり，一般の $r$ で

\begin{array}{r} n^{r} {\tilde{F}}_{n - 1}^{} (N - 1) - (n + 1)^{r} {\tilde{F}}_{n + 1}^{} (N) = \sum_{k = 0}^{N} (\frac{n^{r} - (2 k + 1)^{r}}{n - (2 k + 1)} - \frac{(n + 1)^{r} - (2 k)^{r}}{(n + 1) - 2 k} z^{2}) β_{k}^{r} z^{n - 2 k - 1} - \frac{n^{r} - (2 N + 1)^{r}}{n - (2 N + 1)} β_{N}^{r} z^{n - 2 N - 1} \end{array}

となります．この式において $n$ を $2 n - 1$ とした後 $N = n - 1$ とすれば

\begin{aligned} (2 n - 1)^{r} {\tilde{F}}_{2 n - 2}^{} (n - 2) - (2 n)^{r} {\tilde{F}}_{2 n}^{} (n - 1) = \sum_{k = 0}^{n - 1} (\frac{(2 n - 1)^{r} - (2 k + 1)^{r}}{(2 n - 1) - (2 k + 1)} - \frac{(2 n)^{r} - (2 k)^{r}}{(2 n) - (2 k)} z^{2}) β_{k}^{r} z^{2 n - 2 k - 2} - r (2 n - 1)^{r - 1} β_{n - 1}^{r} \\ ⟺ & \frac{{\tilde{F}}_{2 n - 2}^{} (n - 2)}{β_{n - 1}^{r}} - \frac{{\tilde{F}}_{2 n}^{} (n - 1)}{β_{n}^{r}} = \frac{1}{(2 n)^{r} β_{n}^{r}} \sum_{k = 0}^{n - 1} (\frac{(2 n - 1)^{r} - (2 k + 1)^{r}}{(2 n - 1) - (2 k + 1)} - \frac{(2 n)^{r} - (2 k)^{r}}{(2 n) - (2 k)} z^{2}) β_{k}^{r} z^{2 n - 2 k - 2} - \frac{r}{2 n - 1} \\ ⟺ & {\tilde{F}}_{2 n}^{} (n - 1) = - β_{n}^{r} \sum_{m = 1}^{n} (\frac{1}{(2 m)^{r} β_{m}^{r}} \sum_{k = 0}^{m - 1} (\frac{(2 m - 1)^{r} - (2 k + 1)^{r}}{(2 m - 1) - (2 k + 1)} - \frac{(2 m)^{r} - (2 k)^{r}}{(2 m) - (2 k)} z^{2}) β_{k}^{r} z^{2 m - 2 k - 2} - \frac{r}{2 m - 1}) \\ ⟺ & {\tilde{F}}_{2 n}^{} (n - 1) = β_{n}^{r} \sum_{m = 1}^{n} (\frac{r}{2 m - 1} - \frac{1}{(2 m)^{r} β_{m}^{r}} \sum_{k = 0}^{m - 1} (\frac{(2 m - 1)^{r} - (2 k + 1)^{r}}{(2 m - 1) - (2 k + 1)} - \frac{(2 m)^{r} - (2 k)^{r}}{(2 m) - (2 k)} z^{2}) β_{k}^{r} z^{2 m - 2 k - 2}) \end{aligned}

を得ます． $r = 2, z = 1$ の場合，

\begin{aligned} {\tilde{F}}_{2 n}^{} (n - 1) & = β_{n}^{2} \sum_{m = 1}^{n} (\frac{2}{2 m - 1} - \frac{1}{(2 m)^{2} β_{m}^{2}} \sum_{k = 0}^{m - 1} (\frac{(2 m - 1)^{2} - (2 k + 1)^{2}}{(2 m - 1) - (2 k + 1)} - \frac{(2 m)^{2} - (2 k)^{2}}{(2 m) - (2 k)}) β_{k}^{2}) \\ = β_{n}^{2} \sum_{m = 1}^{n} \frac{2}{2 m - 1} \end{aligned}

であり，両辺の母関数を考えると

\begin{array}{r} \ln \frac{1}{1 - x^{2}} \sum_{n = 0}^{\infty} β_{n}^{2} x^{2 n} = 4 \sum_{n = 0}^{\infty} β_{n}^{2} x^{2 n} \sum_{m = 0}^{n - 1} \frac{1}{2 m + 1} \end{array}

となります． $r = 3, z = 1$ の場合は，

\begin{array}{r} \ln \frac{1}{1 - x^{2}} \sum_{n = 0}^{\infty} β_{n}^{3} x^{2 n} = \sum_{n = 0}^{\infty} β_{n}^{3} x^{2 n} \sum_{m = 1}^{n} (\frac{6}{2 m - 1} - \frac{2}{(2 m)^{3} β_{m}^{3}} \sum_{k = 0}^{m - 1} (2 k - 2 m + 1) β_{k}^{3}), \end{array}

$r = 2, z = \sqrt{- 1}$ の場合は

\begin{aligned} {\tilde{F}}_{2 n}^{} (n - 1) & = β_{n}^{2} \sum_{m = 1}^{n} (\frac{2}{2 m - 1} - \frac{4}{(2 m)^{2} β_{m}^{2}} \sum_{k = 0}^{m - 1} (- 1)^{m - k - 1} (k + m) β_{k}^{2}) \\ \ln (1 + x^{2}) \sum_{n = 0}^{\infty} β_{n}^{2} x^{2 n} & = \sum_{n = 0}^{\infty} β_{n}^{2} x^{2 n} \sum_{m = 1}^{n} (- \frac{4}{2 m - 1} + \frac{8}{(2 m)^{2} β_{m}^{2}} \sum_{k = 0}^{m - 1} (- 1)^{m - k - 1} (k + m) β_{k}^{2}), \end{aligned}

$r = 3, z = \sqrt{- 1}$ の場合は

\begin{aligned} {\tilde{F}}_{2 n}^{} (n - 1) & = β_{n}^{3} \sum_{m = 1}^{n} (\frac{3}{2 m - 1} - \frac{1}{2 (2 m)^{3} β_{m}^{3}} \sum_{k = 0}^{m - 1} (- 1)^{m - k - 1} ((4 k + 1)^{2} + (4 m - 1)^{2} + (4 k + 1) (4 m - 1) + 1) β_{k}^{3}) \\ \ln (1 + x^{2}) \sum_{n = 0}^{\infty} β_{n}^{3} x^{2 n} & = \sum_{n = 0}^{\infty} β_{n}^{3} x^{2 n} \sum_{m = 1}^{n} (- \frac{6}{2 m - 1} + \frac{1}{(2 m)^{3} β_{m}^{3}} \sum_{k = 0}^{m - 1} (- 1)^{m - k - 1} ((4 k + 1)^{2} + (4 m - 1)^{2} + (4 k + 1) (4 m - 1) + 1) β_{k}^{3}) \end{aligned}

となります．
また

\begin{array}{r} n^{r} {\tilde{F}}_{n - 1}^{} (N - 1) - (n + 1)^{r} {\tilde{F}}_{n + 1}^{} (N) = \sum_{k = 0}^{N} (\frac{n^{r} - (2 k + 1)^{r}}{n - (2 k + 1)} - \frac{(n + 1)^{r} - (2 k)^{r}}{(n + 1) - (2 k)} z^{2}) β_{k}^{r} z^{n - 2 k - 1} - \frac{n^{r} - (2 N + 1)^{r}}{n - (2 N + 1)} β_{N}^{r} z^{n - 2 N - 1} \end{array}

において， $n$ を $2 n$ とした後 $N = n$ とすれば

\begin{aligned} (2 n)^{r} {\tilde{F}}_{2 n - 1}^{} (n - 1) - (2 n + 1)^{r} {\tilde{F}}_{2 n + 1}^{} (n) = \sum_{k = 0}^{n} (\frac{(2 n)^{r} - (2 k + 1)^{r}}{(2 n) - (2 k + 1)} - \frac{(2 n + 1)^{r} - (2 k)^{r}}{(2 n + 1) - (2 k)} z^{2}) β_{k}^{r} z^{2 n - 2 k - 1} - ((2 n + 1)^{r} - (2 n)^{r}) β_{n}^{r} z^{- 1} \\ ⟺ & (2 n - 1)^{r} β_{n - 1}^{r} {\tilde{F}}_{2 n - 1}^{} (n - 1) - (2 n + 1)^{r} β_{n}^{r} {\tilde{F}}_{2 n + 1}^{} (n) = β_{n}^{r} \sum_{k = 0}^{n} (\frac{(2 n)^{r} - (2 k + 1)^{r}}{(2 n) - (2 k + 1)} - \frac{(2 n + 1)^{r} - (2 k)^{r}}{(2 n + 1) - (2 k)} z^{2}) β_{k}^{r} z^{2 n - 2 k - 1} - ((2 n + 1)^{r} - (2 n)^{r}) β_{n}^{2 r} z^{- 1} \\ ⟺ & {\tilde{F}}_{2 n + 1}^{} (n) = \frac{1}{(2 n + 1)^{r} β_{n}^{r}} \sum_{m = 0}^{n} (((2 m + 1)^{r} - (2 m)^{r}) β_{m}^{2 r} z^{- 1} - β_{m}^{r} \sum_{k = 0}^{m} (\frac{(2 m)^{r} - (2 k + 1)^{r}}{(2 m) - (2 k + 1)} - \frac{(2 m + 1)^{r} - (2 k)^{r}}{(2 m + 1) - (2 k)} z^{2}) β_{k}^{r} z^{2 m - 2 k - 1}) \end{aligned}

を得ます． $r = 2, z = 1$ の場合，

\begin{aligned} {\tilde{F}}_{2 n + 1}^{} (n) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{β_{k}^{2}}{2 n + 1 - 2 k} & = \frac{1}{(2 n + 1)^{2} β_{n}^{2}} \sum_{m = 0}^{n} (4 m + 1) β_{m}^{4} \\ \tanh^{- 1} x \sum_{n = 0}^{\infty} β_{n}^{2} x^{2 n} & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)^{2} β_{n}^{2}} \sum_{m = 0}^{n} (4 m + 1) β_{m}^{4} . \end{aligned}

$r = 2, z = \sqrt{- 1}$ の場合，

\begin{aligned} {\tilde{F}}_{2 n + 1}^{} (n) = \sqrt{- 1} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{n - k} β_{k}^{2}}{2 n + 1 - 2 k} & = \frac{- \sqrt{- 1}}{(2 n + 1)^{2} β_{n}^{2}} \sum_{m = 0}^{n} ((4 m + 1) β_{m}^{4} - β_{m}^{2} \sum_{k = 0}^{m} (- 1)^{m - k} (4 k + 4 m + 2) β_{k}^{2}) \\ \tan^{- 1} x \sum_{n = 0}^{\infty} β_{n}^{2} x^{2 n} & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)^{2} β_{n}^{2}} \sum_{m = 0}^{n} (- (4 m + 1) β_{m}^{4} + β_{m}^{2} \sum_{k = 0}^{m} (- 1)^{m - k} (4 k + 4 m + 2) β_{k}^{2}) . \end{aligned}

$r = 3, z = 1$ の場合，

\begin{aligned} {\tilde{F}}_{2 n + 1} (n) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{β_{k}^{3}}{2 n + 1 - 2 k} & = \frac{1}{(2 n + 1)^{3} β_{n}^{3}} \sum_{m = 0}^{n} (\frac{1}{4} (3 (4 m + 1)^{2} + 1) β_{m}^{6} - β_{m}^{3} \sum_{k = 0}^{m} (2 k - 2 m) β_{k}^{3}) \\ \tanh^{- 1} x \sum_{n = 0}^{\infty} β_{n}^{3} x^{2 n} & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)^{3} β_{n}^{3}} \sum_{m = 0}^{n} (\frac{1}{4} (3 (4 m + 1)^{2} + 1) β_{m}^{6} - β_{m}^{3} \sum_{k = 0}^{m} (2 k - 2 m) β_{k}^{3}) \end{aligned}

となります．
分母のべき指数を上げる場合は， $n, N$ をいじる前に $n$ で微分すればいいと思います．すなわち

\begin{array}{r} {\tilde{F}}_{n}^{'} (N) = \frac{d}{d n} {\tilde{F}}_{n} (N) = - \sum_{k = 0}^{N} \frac{β_{k}^{r}}{{(n - 2 k)}^{2}} \end{array}

とおき，簡単の為 $z = 1$ とした

\begin{array}{r} n^{r} {\tilde{F}}_{n - 1}^{} (N - 1) - (n + 1)^{r} {\tilde{F}}_{n + 1}^{} (N) = \sum_{k = 0}^{N} (\frac{n^{r} - (2 k + 1)^{r}}{n - (2 k + 1)} - \frac{(n + 1)^{r} - (2 k)^{r}}{(n + 1) - (2 k)}) β_{k}^{r} - \frac{n^{r} - (2 N + 1)^{r}}{n - (2 N + 1)} β_{N}^{r} \end{array}

の両辺を微分すれば

\begin{array}{r} r n^{r - 1} {\tilde{F}}_{n - 1}^{} (N - 1) - r (n + 1)^{r - 1} {\tilde{F}}_{n + 1}^{} (N) + n^{r} {\tilde{F}}_{n - 1}^{'} (N - 1) - (n + 1)^{r} {\tilde{F}}_{n + 1}^{'} (N) = \sum_{k = 0}^{N} \frac{d}{d n} (\frac{n^{r} - (2 k + 1)^{r}}{n - (2 k + 1)} - \frac{(n + 1)^{r} - (2 k)^{r}}{(n + 1) - (2 k)}) β_{k}^{r} - \frac{d}{d n} \frac{n^{r} - (2 N + 1)^{r}}{n - (2 N + 1)} β_{N}^{r} \end{array}

となります．ここから $n$ 偶奇でわけて $N = n$ など代入すれば ${\tilde{F}}_{2 n}^{'} (n - 1), {\tilde{F}}_{2 n + 1}^{'} (n)$ が求まります．具体的に $r = 2$ の場合は，

\begin{aligned} 2 n {\tilde{F}}_{n - 1}^{} (N - 1) - 2 (n + 1) {\tilde{F}}_{n + 1}^{} (N) + n^{2} {\tilde{F}}_{n - 1}^{'} (N - 1) - (n + 1)^{2} {\tilde{F}}_{n + 1}^{'} (N) & = \sum_{k = 0}^{N} \frac{d}{d n} (\frac{n^{2} - (2 k + 1)^{2}}{n - (2 k + 1)} - \frac{(n + 1)^{2} - (2 k)^{2}}{(n + 1) - (2 k)}) β_{k}^{2} - \frac{d}{d n} \frac{n^{2} - (2 N + 1)^{2}}{n - (2 N + 1)} β_{N}^{2} \\ = - β_{N}^{2} \end{aligned}

であり，

\begin{aligned} (2 n - 1)^{2} {\tilde{F}}_{2 n - 2}^{'} (n - 2) - (2 n)^{2} {\tilde{F}}_{2 n}^{'} (n - 1) & = - 2 (2 n - 1) {\tilde{F}}_{2 n - 2}^{} (n - 2) + 4 n {\tilde{F}}_{2 n}^{} (n - 1) - β_{n - 1}^{2} \\ = - 2 (2 n - 1) β_{n - 1}^{2} \sum_{m = 1}^{n - 1} \frac{2}{2 m - 1} + 4 n β_{n}^{2} \sum_{m = 1}^{n} \frac{2}{2 m - 1} - β_{n - 1}^{2} \\ = 3 β_{n - 1}^{2} - \frac{8 n}{2 n - 1} β_{n}^{2} \sum_{m = 1}^{n} \frac{1}{2 m - 1} \\ \frac{{\tilde{F}}_{2 n - 2}^{'} (n - 2)}{β_{n - 1}^{2}} - \frac{{\tilde{F}}_{2 n}^{'} (n - 1)}{β_{n}^{2}} & = \frac{3}{(2 n - 1)^{2}} - \frac{4}{(2 n) (2 n - 1)} \sum_{m = 1}^{n} \frac{1}{2 m - 1} \\ - {\tilde{F}}_{2 n}^{'} (n - 1) & = β_{n}^{2} \sum_{m = 1}^{n} (\frac{3}{(2 m - 1)^{2}} - \frac{4}{(2 m) (2 m - 1)} \sum_{l = 1}^{m} \frac{1}{2 l - 1}) \end{aligned}

のように計算できます．

$H (N; x)$

同様に

\begin{array}{r} H (N; x) = \sum_{k = 0}^{N} \frac{x^{2 k}}{(2 k + 1)^{r} β_{k}^{r}} \end{array}

でも計算できると思います．すなわち，

\begin{aligned} H (N; x) & = \sum_{k = 0}^{N} \frac{x^{2 k}}{(2 k + 1)^{r} β_{k}^{r}} \\ H_{n} (N) & = \sum_{k = 0}^{N} \frac{z^{2 k + n + 1}}{(2 k + n + 1) (2 k + 1)^{r} β_{k}^{r}} \end{aligned}

とすれば

\begin{array}{r} (n - 1)^{r} H_{n - 1}^{} (N) - n^{r} H_{n + 1}^{} (N - 1) = \frac{z^{n}}{n} - \frac{(2 N + 1)^{r} - (n - 1)^{r}}{(2 N + 1) + (n - 1)} \frac{z^{2 N + n}}{(2 N + 1)^{r} β_{N}^{r}} + \sum_{k = 0}^{N - 1} (\frac{(2 k + 2)^{r} - n^{r}}{(2 k + 2) + n} z^{2} - \frac{(2 k + 1)^{r} - (n - 1)^{r}}{(2 k + 1) + (n - 1)}) \frac{z^{2 k + n}}{(2 k + 1)^{r} β_{k}^{r}} \end{array}

が成り立ち，

\begin{aligned} \tilde{H} (N; x) & = \sum_{k = 0}^{N} \frac{x^{- 2 k - 2}}{(2 k + 1)^{r} β_{k}^{r}} \\ {\tilde{H}}_{n} (N) & = \sum_{k = 0}^{N} \frac{z^{n - 1 - 2 k}}{(n - 1 - 2 k) (2 k + 1)^{r} β_{k}^{r}} \end{aligned}

とすれば

\begin{array}{r} n^{r} H_{n - 1}^{} (N - 1) - (n + 1)^{r} H_{n + 1}^{} (N) = - \frac{z^{n}}{n} - \frac{(n + 1)^{r} - (2 N + 1)^{r}}{(n + 1) - (2 N + 1)} \frac{z^{n - 2 N}}{(2 N + 1)^{r} β_{N}^{r}} + \sum_{k = 0}^{N - 1} (\frac{n^{r} - (2 k + 2)^{r}}{n - (2 k + 2)} - \frac{(n + 1)^{r} - (2 k + 1)^{r}}{(n + 1) - (2 k + 1)} z^{2}) \frac{z^{n - 2 k - 2}}{(2 k + 1)^{r} β_{k}^{r}} \end{array}

が成り立ちます．

ニ重化

定義１のように，二重級数の有限和を定義することもできそうです．すなわち

\begin{aligned} F_{A}^{} (N; x) & = \sum_{l = 0}^{N} β_{l}^{r} x^{2 l} \sum_{k = 0}^{l - 1} A_{k}^{} \\ Q_{A}^{} (N; x) & = \sum_{n = 0}^{N} β_{l}^{r} A_{l}^{} x^{2 l} \\ {\tilde{F}}_{A}^{} (N; x) & = \sum_{l = 0}^{N} β_{l}^{r} x^{- 2 l - 1} \sum_{k = 0}^{l - 1} A_{k}^{} \\ {\tilde{Q}}_{A}^{} (N; x) & = \sum_{l = 0}^{N} β_{l}^{r} A_{n}^{} x^{- 2 l - 1} \end{aligned}

とします．畳み込みとなる ${\tilde{F}}_{A}^{} (N; x), {\tilde{Q}}_{A}^{} (N; x)$ について微分方程式は

\begin{array}{r} x^{2} {(\frac{d}{d x} x)}^{r} F_{A}^{} (N; x) = {(x \frac{d}{d x})}^{r} ({\tilde{F}}_{A}^{} (N - 1; x) + {\tilde{Q}}_{A}^{} (N - 1; x)) \end{array}

であり， $m o m e n t$ は

\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{N} \frac{(n + 1)^{r}}{(n + 1) - (2 k)} β_{k}^{r} z^{n + 1 - 2 k} \sum_{k = 0}^{l - 1} A_{k}^{} - \sum_{k = 0}^{N - 1} \frac{n^{r}}{n - (2 k + 1)} β_{k}^{r} z^{n - (2 k + 1)} \sum_{k = 0}^{l - 1} A_{k}^{} - \sum_{k = 0}^{N - 1} \frac{n^{r}}{n - (2 k + 1)} β_{k}^{r} A_{k}^{} z^{n - (2 k + 1)} \\ = & \sum_{k = 0}^{N} \frac{(n + 1)^{r} - (2 k)^{r}}{(n + 1) - (2 k)} β_{k}^{r} z^{n + 1 - 2 k} \sum_{k = 0}^{l - 1} A_{k}^{} - \sum_{k = 0}^{N - 1} \frac{n^{r} - (2 k + 1)^{r}}{n - (2 k + 1)} β_{k}^{r} z^{n - (2 k + 1)} \sum_{k = 0}^{l - 1} A_{k}^{} - \sum_{k = 0}^{N - 1} \frac{n^{r} - (2 k + 1)^{r}}{n - (2 k + 1)} β_{k}^{r} A_{k}^{} z^{n - (2 k + 1)} \end{aligned}

で計算できます．

投稿日：2023年10月7日

更新日：2023年11月6日

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二項係数付きマクローリン級数の微分方程式の導出および moment の計算

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$\rm Moment$１
定義２
微分方程式２
$\rm Moment$２
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二項係数付きマクローリン級数の微分方程式の導出および moment の計算

定義１

微分方程式１

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多重級数

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