初めまして、Mathlogというものを見つけたので試しに記事を書いてみます。宜しくお願いします。
Wikipedia のモノイドのページに以下のような記述がありました。
モノイドはただひとつの対象をもつ圏(単一対象圏)と本質的に同じものである。もっとはっきり述べれば、モノイド (M, •) はただひとつの対象をもち、M の元を射として小さい圏を成す(射の合成はモノイド演算 • で与えられる)。
これを確かめるために、具体的にモノイドから圏を構成する例として
モノイド
+ | 0 | 1 | 2 |
---|---|---|---|
0 | 0 | 1 | 2 |
1 | 1 | 2 | 0 |
2 | 2 | 0 | 1 |
この演算は可換かつ可逆のため、
まず、求める圏は対象を1つ持ち、射を3個持っている。このような圏を構成していく。
このとき、圏の唯一の対象を
圏の唯一の対象を
従って、最低でも元の個数を3個にする必要があることがわかる。以下では圏の唯一の対象を
このとき可能な射は
これが圏であるためには、まず射の合成が
以上より、射の合成が定義できた。また、写像の合成は結合法則を満たすため、圏としての結合法則も満たす。加えて、上記の結果より、
最後にこれが
以上より、モノイド