文献あり

「数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方」に出てくる、解析幾何の問題と練習問題その1

問題5.2

省略。

テレンス・タオさんの考えすぎですね。
題意のように、大長方形の少なくとも1辺が整数の長さであることをX、または成り立つとする。ある辺の長さが整数ならa、整数でないならbとする。
まず、長方形を垂直な線分、水平な線分で4分割したら、成り立たないように長さを取ろうとすると、同じ辺がaかつbなので矛盾する。ゆえに必ず成り立つ。
水平または垂直な線分の位置を、水平または垂直を保つように動かしても、結局矛盾するので同様に必ず成り立つ。
このように成り立つ場合をYとする。
ただの長方形の2分割でも、同じことが起きる。
長方形を垂直に2分割した、本に載っていた図形で考える。
一番上から一番したまで、1つの長方形の（というより2つの長方形の）1辺である。
従って、その辺を持つ2つの長方形の、垂直な1辺はb。
すると、分割された水平な辺は両方a。
これを何とかしてXでないようにしようとして、片方の長方形を2分割しても、同じことが起きる。
更に分割した方の片方を2分割しても、初めに2分割され最後に分割されなかった線分か、最後に分割された線分の長さの和（一番多い回数分割された長方形のより分割された辺の和）が整数となる。つまり、分割した場合に、結局最後に分割しなかった辺と、「最後に分割した辺の和」のどちらかが整数なのは変わらないので、分割しても、分割しなくても、同じように考えることができる。
従って、2分割された長方形を「結合」することができる。
どんな場合でも、Yまたは長方形が1つの自明なXに帰着することができる。