Noether環とArtin環
Norther環の定義
ここでは環とは単位的可換環とする．
$(X,\le)$を空でない順序集合とする．次の(1),(2)は同値．
(1)（極大条件）任意の$\emptyset\ne Y\subset X$は極大元をもつ，つまり
$$\all Y\subset X,\ex x\in Y,\{y\in Y\mid y>x\}=\emptyset $$
(2)（昇鎖条件，ACC）$X$の元の昇鎖$x_1\le x_2\le\cdots$に対し，
$$\ex N\in\N,x_N=x_{N+1}=\cdots $$
昇鎖条件は真の上昇列が存在しないことと言い換えられる．
(1)$\too$(2) $X$の元の昇鎖$x_1\le x_2\le\cdots$に対し，$Y=\{x_1,x_2,\cd\}$とおけば
$\emptyset\ne Y\subset X$より極大元$y_N$が存在する．
このとき，$x_N=x_{N+1}=\cdots$．
(2)$\too$(1) $\emptyset\ne Y\subset X$に極大元が存在しないと仮定する．
$x_1\in Y$とすると$x_1$は極大元でないので，$\ex x_2\in Y,x_1< x_2$．$x_2$は極大元でないので，$\ex x_3\in Y,x_2< x_3$．これを繰り返して真の昇鎖$x_1< x_2< x_3\cd$を得るがこれは矛盾．
同様に極小条件と降鎖条件(DCC)の同値性も示される．
環$A$のイデアル全体を$\mathcal{I}(A)$と表す．$\mathcal{I}(A)$は包含に関する順序が入る．
$A$を環とする．次の(1)-(3)は同値．
(1) $(\mathcal{I}(A),\subset)$は昇鎖条件を充たす．
(2) $(\mathcal{I}(A),\subset)$は極大条件を充たす．
(3) $A$の任意のイデアルは有限生成．
言い換えると，
(1) $A$の任意のイデアルの昇鎖$I_1\subset I_2\subset \cd$に対し，
$$\ex N\in\N,I_N=I_{N+1}=\cd $$
(2) $A$のイデアルの集合$\emptyset\ne Y\subset\mathcal{I}(A)$は包含順序に関して極大元をもつ．
(1)$\Leftrightarrow$(2)は命題1から従う．
(1)$\too$(3) 有限生成でないイデアル$I\subset A$があったと仮定する．
$I\ne(0)$より$x_1\in I\setminus\{0\}$が取れる．
$I\ne(x_1)$より$x_2\in I\setminus(x_1)$が取れる．
$I\ne(x_1,x_2)$より$x_3\in I\setminus(x_1,x_2)$が取れる．
これを繰り返して真の昇鎖$I_1\subsetneq I_2\subsetneq \cd$を得るがこれは昇鎖条件に矛盾．
(3)$\too$(1) $I_1\subset I_2\subset \cd$をイデアルの昇鎖とする．
このとき$\dps I=\bigcup_{n=1}^\infty I_n$とおくとこれはイデアルである(下で証明)．$I$は有限生成なので，
$$\ex x_1,\cd,x_m\in I,I=(x_1,\cd,x_m)$$
充分大きい$N$を取れば，$x_1,\cd,x_m\in I_N$であり，$I\subset I_N$となる．このとき$I_N=I_{N+1}=\cd $である．
$a,b\in I$に対し充分大きい$j$を取れば，$a,b\in I_j$なので，
$$a-b\in I_j\subset I,ra\in I_j\subset I\ (\all r\in A)$$
よって$I$はイデアル．
命題2の条件を充たす環をNoether環という．
PIDはNoether環である．
命題2(3)からわかる．
Noether環とArtin環
$A$を環とする．$(\mathcal{I}(A),\subset)$が降鎖条件を充たす環をArtin環という．
つまり$A$がArtin環であるとは，任意のイデアルの降鎖$I_1\supset I_2\supset \cd$に対し，
$\ex N\in\N,I_N=I_{N+1}=\cd$
が成り立つこと，すなわちイデアルの真の降鎖がないことをいう．
$\Z$はPIDなのでNeother環である．しかしイデアル列
$$(2)\supsetneq(2^2)\supsetneq(2^3)\supsetneq\cd$$
は真の降鎖なのでArtin環ではない．
$\Z[T]$はPIDではないがNoether環である．PIDでないことは$(T,2)$が単項イデアルでないことから分かり，Noether環であることは次のHilbertの基底定理から分かる．また例1と同様にArtin環ではない．
$A$がNoether環ならば$A[T_1,\cd,T_n]$もNoether環である．
$\Z[T_1,T_2,\cdots]$はNoether環でもArtin環でもない．実際，イデアル列
$$(T_1)\subsetneq(T_1,T_2)\subsetneq(T_1,T_2,T_3)\subsetneq\cdots$$
$$(2)\supsetneq(2^2)\supsetneq(2^3)\supsetneq\cd$$
はそれぞれ真の昇鎖，降鎖となっている．
有限環や体はイデアルが有限個しかないのでNoether環かつArtin環である．
一方，Noether環でないArtin環の例は挙げられない．実際，次の定理が成立する．
可換環$A$について次は同値
(1) $A$はArtin環
(2) $A$はNoether環かつ$\dim(A)=0$
但し，$\dim$はKrull次元である．
つまり，Artin環はNoether環である．定義は対称的であるが実はArtinの方が強い条件となっている．
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