ウェッジ積とホッジ双対で外積についてのあれこれ
ウェッジ積とホッジ双対で遊びます。具体的には、外積をウェッジ積とホッジ双対を用いて定義し、外積の色々な性質を成分を使わずに証明します。
ウェッジ積については既知とします。
(本当はウェッジ積の導入から書くつもりでしたが、思い切ってバッサリ削りました。真面目に書くとかなりの分量になってしまい、中途半端に書いたところで「分かる人はすでに知ってる、分からない人は分からない」という意味の無いものになりそうだったので……)
ただし、外積代数における内積、ホッジ双対に関してはおさらいします。
以下、$V$を実ベクトル空間とします。$\bigwedge^k(V) = V \wedge \cdots \wedge V$ ($k$個) を$V$の$k$次外冪と言い、その元を$k$-ベクトルと呼ぶのでした。
内積
$V$に内積 $( \ , \ )$ が入っているとします。このとき $k$-ベクトルの内積も定まります。
$\bm a_1, \ldots, \bm a_k, \bm b_1, \ldots, \bm b_k \in V$に対し、$\bm a_1 \wedge \cdots \wedge \bm a_k$ と $\bm b_1 \wedge \cdots \wedge \bm b_k$ の 内積 を
$$ (\bm a_1 \wedge \cdots \wedge \bm a_k, \bm b_1 \wedge \cdots \wedge \bm b_k) = \det \matcc{(\bm a_1, \bm b_1)}{\cdots}{(\bm a_1, \bm b_k)}{\vdots}{}{\vdots}{(\bm a_k, \bm b_1)}{\cdots}{(\bm a_k, \bm b_k)}$$
で定める。一般の$k$-ベクトルに対しても、線形に拡張することで内積を定義する。
この内積は well-defined であり、実際に内積の公理を満たします。
1-ベクトルの場合は通常の内積に一致します。
$k$-ベクトル $\alpha \in \bigwedge^k(V)$ の 大きさ を $||\alpha|| := \sqrt{(\alpha, \alpha)}$ で定める。
ホッジ双対
$V$が有限次元であるとし、$\dim_{\mathbb R} V = n$とします。$0$でない$n$-ベクトルを1つ固定し、$\omega$ とします ($V= \mathbb R^n$ の場合は、$\bm e_1, \ldots, \bm e_n$ を基本ベクトルとして $\omega = \bm e_1 \wedge \cdots \wedge \bm e_n$ としておくことが多い)。
$\alpha$を$k$-ベクトルとする。このとき、以下を満たす$(n-k)$-ベクトル$\beta$が一意に存在する:
$$ \text{任意の $k$-ベクトル $\gamma$ に対し、}\gamma \wedge \beta = (\gamma, \alpha)\omega$$
この$\beta$を$\alpha$の ホッジ双対 と言い、$\star \alpha$で表す。
ホッジ双対は、写像 $\star : \bigwedge^k(V) \to \bigwedge^{n-k}(V)$ を与えます。
以下の性質が知られています。
ホッジ双対は線形同型写像である。
任意の$k$-ベクトル$\alpha$に対し、$\star(\star \alpha) = (-1)^{k(n-k)}\alpha$ が成り立つ。
以下では主に $\dim V = 3$ の場合を扱いますが、$k(3-k)$ は常に偶数なので、任意の$k$-ベクトル$\alpha$に対して $\star(\star \alpha) = \alpha$ となります。
また、ホッジ双対が内積を保つことを見ておきます。
任意の$k$-ベクトル$\alpha, \beta$に対し、
$$ (\star \alpha, \star \beta) = (\alpha, \beta)$$
が成り立つ。
$$ \begin{aligned}
(\star \alpha, \star \beta)\omega &= \star \alpha \wedge \star(\star \beta)\\
&= (-1)^{k(n-k)} (\star \alpha) \wedge \beta\\
&= \beta \wedge \star\alpha\\
&= (\beta, \alpha)\omega\\
&= (\alpha, \beta)\omega
\end{aligned}$$
より、$(\star \alpha, \star \beta) = (\alpha, \beta)$ を得る。
行列式
$\dim_{\mathbb R} V = n < \infty$ とし、$0$でない$n$-ベクトル$\omega$を1つ固定すると、以下のようにして行列式が定義できます(あまり一般的ではないかもしれません)。
$\bm a_1, \ldots, \bm a_n \in V$ に対し、
$$ \bm a_1 \wedge \cdots \wedge \bm a_n = r \omega$$
を満たす実数$r$が一意に存在するので、その$r$を $\matac{\bm a_1}{\cdots}{\bm a_n}$ の行列式と呼び、$\det \matac{\bm a_1}{\cdots}{\bm a_n}$ で表す。
$V = \mathbb R^n, \ \omega = \bm e_1 \wedge \cdots \wedge \bm e_n$ とすれば、通常の行列式に一致します。
基底を取ることを徹底して避けるため、このような記号を準備しました。
外積の性質をウェッジ積、ホッジ双対で示す
ここからが本題です。以下では$V$を3次元実ベクトル空間、$( \ , \ )$ を$V$上の内積とします。$0$でない$3$-ベクトル $\omega \in \bigwedge^3(V)$ を1つ固定し、これを用いてホッジ双対、行列式を定めます。
外積は、以下のように定義されます。
任意の$\bm a, \bm b \in V$に対し、
$$ \bm a \times \bm b := \star(\bm a \wedge \bm b)$$
と定め、これを$\bm a$と$\bm b$の外積と呼ぶ。
$\bm a \times \bm b$は$2$-ベクトルのホッジ双対なので$1$-ベクトル、すなわち$V$の元になります。
この定義をもとにして、外積のいろいろな性質を示していきましょう。まずは通常の外積と一致することを見ます。
$\bm a, \bm b \in V$に対し、
- $\bm a \times \bm b$は$\bm a, \bm b$と直交する。
- $\bm a, \bm b$のなす角を$\theta$とするとき、$||\bm a \times \bm b|| = ||\bm a|| ||\bm b|| \sin \theta$ である。
- $\bm a, \bm b$が1次独立であるとき、$\bm a, \bm b, \bm a \times \bm b$ は右手系をなす。
ここで、直交するとは内積が0であること、$\bm a, \bm b$のなす角とは $(\bm a, \bm b) = ||\bm a|| ||\bm b|| \cos \theta$ を満たす$\theta$ (ただし $0 \leq \theta \leq \pi$) のこと、$\bm a, \bm b, \bm c$が右手系をなすとは、$\det \matac{\bm a}{\bm b}{\bm c}>0$ であることを言います。
-
$$ \begin{aligned} (\bm a, \bm a \times \bm b)\omega &= (\bm a, \star(\bm a \wedge \bm b))\omega\\ &= \bm a \wedge \star(\star(\bm a \wedge \bm b))\\ &= \bm a \wedge \bm a \wedge \bm b = 0 \end{aligned}$$
より、$(\bm a, \bm a \times \bm b) = 0$ を得る。$(\bm b, \bm a \times \bm b) = 0$ も同様。
(2)
$$ \begin{aligned}
||\bm a \times \bm b||^2 &= (\star(\bm a \wedge \bm b), \star(\bm a \wedge \bm b))\\
&= (\bm a \wedge \bm b, \bm a \wedge \bm b)\\
&= \det \matbb{(\bm a, \bm a)}{(\bm a, \bm b)}{(\bm b, \bm a)}{(\bm b, \bm b)}\\
&= (\bm a, \bm a)(\bm b, \bm b) - (\bm a, \bm b)^2\\
&= ||\bm a||^2||\bm b||^2 - ||\bm a||^2||\bm b^2||\cos^2 \theta\\
&= ||\bm a||^2||\bm b^2||\sin^2 \theta
\end{aligned}$$
であり、$\sin \theta \geq 0$ であるから$||\bm a \times \bm b|| = ||\bm a|| ||\bm b|| \sin \theta$ を得る。
(3)
$$ \begin{aligned}
\det \matac{\bm a}{\bm b}{\bm a \times \bm b}\omega &= \bm a \wedge \bm b \wedge \star(\bm a \wedge \bm b)\\
&= (\bm a \wedge \bm b, \bm a \wedge \bm b)\omega\\
&= ||\bm a \wedge \bm b||^2 \omega
\end{aligned}$$
である。一般に、$\bm a, \bm b$が1次独立であるとき $\bm a \wedge \bm b \neq 0$ であるので、$\det \matac{\bm a}{\bm b}{\bm a \times \bm b} = ||\bm a \wedge \bm b||^2 > 0$ を得る。
これで、ここでの外積が通常の外積と一致することが確かめられました。この時点で他の外積の性質も従うのですが、せっかくなのでもっと色々証明していきます。
任意の$\bm a, \bm b, \bm c \in V$および$k,l \in \mathbb R$に対し、
- $(k\bm a + l \bm b) \times \bm c = k \bm a \times \bm c + l \bm b \times \bm c$
- $\bm a \times (k \bm b + l \bm c) = k \bm a \times \bm b + l \bm a \times \bm c$
- $\bm a \times \bm b = - \bm b \times \bm a$
- $\bm a \times \bm a = \mathbf 0$
これらはウェッジ積の多重線形性と交代性、ホッジ双対が線形であることから明らかですね。一応1つ書いておきます。
(1)の証明
$$ \begin{aligned} (k\bm a + l \bm b) \times \bm c &= \star((k \bm a + l \bm b) \wedge \bm c)\\ &= \star(k \bm a \wedge \bm c + l \bm b \wedge \bm c)\\ &= k (\star(\bm a \wedge \bm c)) + l (\star(\bm b \wedge \bm c))\\ &= k \bm a \times \bm c + l \bm b \times \bm c \end{aligned}$$
他も同様です。
あとは外積の公式といえば三重積、四重積でしょう。
任意の$\bm a, \bm b, \bm c \in V$に対し、
$$ (\bm a, \bm b \times \bm c) = \det \matac{\bm a}{\bm b}{\bm c}$$
$$ \begin{aligned}
(\bm a, \bm b \times \bm c)\omega &= (\bm a, \star(\bm b \wedge \bm c))\omega\\
&= \bm a \wedge \star(\star(\bm b \wedge \bm c))\\
&= \bm a \wedge \bm b \wedge \bm c\\
&= \det \matac{\bm a}{\bm b}{\bm c}\omega
\end{aligned}$$
より、$(\bm a, \bm b \times \bm c) = \det \matac{\bm a}{\bm b}{\bm c}$ を得る。
任意の$\bm a, \bm b, \bm c \in V$に対し、
$$ \bm a \times (\bm b \times \bm c) = (\bm a, \bm c)\bm b - (\bm a, \bm b)\bm c$$
これは一工夫必要でした。
$\bm a \times (\bm b \times \bm c) = \bm x$ とおく。すると
$$ \star(\bm a \wedge \star(\bm b \wedge \bm c)) = \bm x$$
より
$$ \bm a \wedge \star(\bm b \wedge \bm c) = \star \bm x$$
である。任意に$\bm y \in V$をとれば
$$ \bm y \wedge \bm a \wedge \star(\bm b \wedge \bm c) = \bm y \wedge \star \bm x$$
が成り立ち、これを変形していけば
$$ (\bm y \wedge \bm a, \bm b \wedge \bm c)\omega = (\bm y, \bm x)\omega$$
$$ (\bm y \wedge \bm a, \bm b \wedge \bm c) = (\bm y, \bm x)$$
$$ \det \matbb{(\bm y, \bm b)}{(\bm y, \bm c)}{(\bm a, \bm b)}{(\bm a, \bm c)} = (\bm y, \bm x)$$
$$ (\bm y, \bm b)(\bm a, \bm c)-(\bm y, \bm c)(\bm a, \bm b) = (\bm y, \bm x)$$
$$ (\bm y, (\bm a, \bm c)\bm b - (\bm a, \bm b)\bm c) = (\bm y, \bm x)$$
となる。$\bm y$は任意だったから $\bm x = (\bm a, \bm c)\bm b - (\bm a, \bm b)\bm c$ を得る。
任意の$\bm a, \bm b, \bm c, \bm d \in V$に対し、
$$ (\bm a \times \bm b, \bm c \times \bm d) = (\bm a, \bm c)(\bm b, \bm d)-(\bm a, \bm d)(\bm b, \bm c)$$
スカラー三重積、ベクトル三重積から導くこともできますが、直接示してみます。
$$ \begin{aligned} (\bm a \times \bm b, \bm c \times \bm d) &= (\star(\bm a \wedge \bm b), \star(\bm c \wedge \bm d))\\ &= (\bm a \wedge \bm b, \bm c \wedge \bm d)\\ &= \det \matbb{(\bm a, \bm c)}{(\bm a, \bm d)}{(\bm b, \bm c)}{(\bm b, \bm d)}\\ &= (\bm a, \bm c)(\bm b, \bm d)-(\bm a, \bm d)(\bm b, \bm c) \end{aligned}$$
内積の定義がピッタリはまって気持ちいいですね。
任意の$\bm a, \bm b, \bm c, \bm d \in V$に対し、
$$ (\bm a \times \bm b) \times (\bm c \times \bm d) = \det \matac{\bm a}{\bm b}{\bm d}\bm c - \det \matac{\bm a}{\bm b}{\bm c}\bm d$$
三重積と同じ作戦で示してみます。
$(\bm a \times \bm b) \times (\bm c \times \bm d) = \bm x$ とおく。すると
$$ \star(\star(\bm a \wedge \bm b) \wedge \star(\bm c \wedge \bm d)) = \bm x$$
より
$$ \star(\bm a \wedge \bm b) \wedge \star(\bm c \wedge \bm d) = \star \bm x$$
である。任意に$\bm y \in V$をとれば
$$ \bm y \wedge \star(\bm a \wedge \bm b) \wedge \star(\bm c \wedge \bm d) = \bm y \wedge \star \bm x$$
が成り立ち、これを変形していけば
$$ (\bm y \wedge \star(\bm a \wedge \bm b), \bm c \wedge \bm d)\omega = (\bm y, \bm x)\omega$$
$$ (\bm y \wedge \star(\bm a \wedge \bm b), \bm c \wedge \bm d) = (\bm y, \bm x)$$
$$ \det \matbb{(\bm y, \bm c)}{(\bm y, \bm d)}{(\star(\bm a \wedge \bm b), \bm c)}{(\star(\bm a \wedge \bm b), \bm d)} = (\bm y, \bm x)$$
$$ (\bm y, \bm c)(\star(\bm a \wedge \bm b), \bm d)-(\bm y, \bm d)(\star(\bm a \wedge \bm b), \bm c) = (\bm y, \bm x)$$
$$ (\bm y, \det \matac{\bm a}{\bm b}{\bm d} \bm c - \det \matac{\bm a}{\bm b}{\bm c}\bm d) = (\bm y, \bm x)$$
となる。なお、途中でスカラー三重積の公式を用いた。$\bm y$は任意だったから $\bm x = \det \matac{\bm a}{\bm b}{\bm d}\bm c - \det \matac{\bm a}{\bm b}{\bm c}\bm d$ を得る。
途中でスカラー三重積を使ってしまったのがイマイチですね。これを許してしまうと、スカラー三重積、ベクトル三重積だけで済ます証明も許されてしまい、わざわざウェッジ積を使う理由がなくなってしまいます。
ウェッジ積を使ったもっと良い証明は無いですかね?
終わりに
今回は基底を使わないという縛りで進めてみましたが、$\star(\bm a \wedge \bm b)$が通常の外積に等しいことを言うには基底を使うのが最も手っ取り早いと思います。また、通常の外積に等しいことを示した時点で他の性質も自動的に従うので、命題5～9についてウェッジ積とホッジ双対を使った証明というのは結構珍しいのでは？と思ったり思わなかったり。
良い頭の体操になりました。三重積、四重積とちょっと仲良くなれた気がします。
ではまた。
