ある積分を解く

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\log x}{x^2+1}dx$$

$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\log x}{x^2+1}dx\\ & ={\int }_0^1\frac{\log x}{x^2+1}dx+{\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{\log x}{x^2+1}dx\\ & ={\int }_0^1\frac{\log x}{x^2+1}dx+{\int }_1^0\frac{\log \frac{1}{t}}{{\left(\frac{1}{t}\right)}^2+1}(-\frac{1}{t^2})dt(x\mapsto \frac{1}{t}(t>0))\\ & ={\int }_0^1\frac{\log x}{x^2+1}-{\int }_0^1\frac{\log t}{t^2+1}dt\\ & =0\end{array}$$

$${\int }_a^{\frac{1}{a}}\frac{f(x)}{x^2+1}dx={\int }_a^{\frac{1}{a}}\frac{f\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2+1}dx$$
$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{f(x)}{x^2+1}dx={\int }_0^1\frac{f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2+1}dx$$

$$I={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\log x}{x^2+1}dx$$
$$f(z)=\frac{\log x}{x^2+1}$$
として計算していく、②ではこの$f(z)$を変えて計算する。
後に使うので$f(-z)$を計算する。
$$\begin{array}{rl}f(-z)& =\frac{\log z+\pi i}{z^2+1}\\ & =f(z)+\frac{\pi i}{z^2+1}\end{array}$$
次のような積分経路で積分する。
考える積分経路
0を避けている理由は、$\log 0$は未定義で考えられないから
一周した経路を$C$とする。
$C_2$と$C_4$は絶対値による評価で0になる。(やってみてね)
あとは$C_1とC_3$と$C$を計算すればいいことになる。
それぞれ計算していく。
$$\begin{array}{rl}{\int }_{C_1}& ={\int }_{\epsilon }^{R}f(x)dx\\ & =I(\epsilon \to 0R\to \mathrm{\infty })\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}{\int }_{C_3}& ={\int }_{-R}^{-\epsilon }f(x)dx\\ & ={\int }_{\epsilon }^{R}f(-x)dx\\ & ={\int }_{\epsilon }^{R}f(x)dx+{\int }_{\epsilon }^R\frac{i\pi }{x^2+1}dx\\ & =I+\frac{{\pi }^2}{2}i(\epsilon \to 0R\to \mathrm{\infty })\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}{\oint }_C& =2\pi i\underset{z=i}{\mathrm{Res}}f(z)\\ & =2\pi i\underset{z\to i}{lim}\frac{(z-i)\log z}{(z+i)(z-i)}\\ & =\frac{{\pi }^2}{2}i\end{array}$$
$$I+I+\frac{{\pi }^2}{2}i=\frac{{\pi }^2}{2}i$$
$$I=0$$

$$I={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{{\log }^{2}x}{x^2+1}dx$$
この積分を計算していくと、求めたい1乗の積分がでできます。
$$f(z)=\frac{{\log }^{2}z}{z^2+1}$$
として計算します。
あとあと使うので$f(-z)$を計算します。
$$\begin{array}{rl}f(-z)& =\frac{(\log z+\pi i{)}^2}{z^2+1}\\ & =f(z)+\frac{2\pi i\log z}{z^2+1}-\frac{{\pi }^2}{z^2+1}\end{array}$$
先ほどと同じ経路で積分していきます。
積分経路
一周した経路を$C$とします。
$C_2$と$C_4$は絶対値で評価することで0になります。(やってみてね)
あとは$C_1$と$C_3$と$C$を求めていきます。
$$\begin{array}{rl}{\int }_{C_1}& ={\int }_{\epsilon }^{R}f(x)dx\\ & =I(\epsilon \to 0R\to \mathrm{\infty })\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}{\int }_{C_3}& ={\int }_{-R}^{-\epsilon }f(x)dx\\ & ={\int }_{\epsilon }^{R}f(-x)dx\\ & ={\int }_{\epsilon }^{R}f(x)dx+2\pi i{\int }_{\epsilon }^R\frac{\log x}{x^2+1}dx-{\pi }^2{\int }_{\epsilon }^R\frac{dx}{x^2+1}\\ & =I+2\pi i{\int }_{\epsilon }^R\frac{\log x}{x^2+1}dx-\frac{{\pi }^3}{2}(\epsilon \to 0R\to \mathrm{\infty })\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}{\oint }_C& =2\pi i\underset{z=i}{\mathrm{Res}}f(z)\\ & =2\pi i\underset{z\to i}{lim}\frac{(z-i){\log }^{2}z}{(z+i)(z-i)}\\ & =-\frac{{\pi }^3}{4}\end{array}$$
$$I+I+2\pi i{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\log x}{x^2+1}dx-\frac{{\pi }^3}{2}=-\frac{{\pi }^3}{4}$$
$$I=\frac{{\pi }^3}{8}$$
虚部と実部を比較して、
$$I=\frac{{\pi }^3}{8}$$
$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\log x}{x^2+1}dx=0$$