Non-terminating q-Saaslchützの和公式の部分分数分解による証明
前の記事 で, non-terminating $q$-Saalschützの和公式をnon-terminating $q$-Whippleの変換公式から導出した. 今回はより直接的に, 部分分数分解を用いた証明を与えようと思う. まず, 一つ補題を用意する.
$n\leq m$のとき,
\begin{align}
\frac{(b;q)_n}{(c;q)_n}\frac{(c;q)_m}{(b;q)_{m+1}}&=\sum_{k=n}^m\frac{1}{1-bq^k}\frac{(-1)^kq^{\frac 12k(k+1)}}{(q;q)_k}\frac{(q^{-k};q)_n}{(cq^{-k}/b;q)_k}\frac{(cq^{-k}/b;q)_m}{(q;q)_{m-k}}
\end{align}
が成り立つ.
$b$に関する部分分数分解により
\begin{align}
\frac{(b;q)_n}{(bc;q)_n}\frac{(bc;q)_m}{(b;q)_{m+1}}&=\sum_{k=n}^m\frac 1{1-bq^k}\frac{(-1)^kq^{\frac 12k(k+1)}}{(q;q)_k}\frac{(q^{-k};q)_n}{(cq^{-k};q)_n}\frac{(cq^{-k};q)_m}{(q;q)_{m-k}}
\end{align}
となるから, $c\mapsto c/b$とすればよい.
特に, $m\to\infty$として以下を得る.
\begin{align} \frac{(b;q)_n}{(c;q)_n}\frac{(c;q)_{\infty}}{(b;q)_{\infty}}&=\frac{(c/b;q)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}}\sum_{n\leq k}\frac{1}{1-bq^k}\frac{(bq/c;q)_k}{(q;q)_k}\left(\frac{c}{b}\right)^k\frac{(q^{-k};q)_n}{(cq^{-k}/b;q)_n} \end{align}
今回はこれを用いて以下を示す.
$abcq=de$のとき,
\begin{align}
\Q32{a,b,c}{d,e}{q}+\frac{(q/d,a,b,c,eq/d;q)_{\infty}}{(d/q,aq/d,bq/d,cq/d,e;q)_{\infty}}\Q32{aq/d,bq/d,cq/d}{q^2/d,eq/d}q
&=\frac{(q/d,e/a,e/b,e/c;q)_{\infty}}{(aq/d,bq/d,cq/d,e;q)_{\infty}}
\end{align}
が成り立つ.
$c$を用いずに書くと示すべき等式は
\begin{align}
\Q32{a,b,de/abq}{d,e}{q}+\frac{(q/d,a,b,de/abq,eq/d;q)_{\infty}}{(d/q,aq/d,bq/d,e/ab,e;q)_{\infty}}\Q32{aq/d,bq/d,e/ab}{q^2/d,eq/d}q
&=\frac{(q/d,abq/d,e/a,e/b;q)_{\infty}}{(aq/d,bq/d,e/ab,e;q)_{\infty}}
\end{align}
となる. 左辺に$\dfrac{(e;q)_{\infty}}{(de/abq;q)_{\infty}}$を掛けて系1を用いると
\begin{align}
&\frac{(e;q)_{\infty}}{(de/abq;q)_{\infty}}\Q32{a,b,de/abq}{d,e}{q}+\frac{(q/d,a,b;q)_{\infty}}{(d/q,aq/d,bq/d;q)_{\infty}}\frac{(eq/d;q)_{\infty}}{(e/ab;q)_{\infty}}\Q32{aq/d,bq/d,e/ab}{q^2/d,eq/d}q\\
&=\frac{(abq/d;q)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{1}{1-deq^{k-1}/ab}\frac{(d/ab;q)_k}{(q;q)_k}\left(\frac{ab}{d}\right)^k\Q32{a,b,q^{-k}}{d,abq^{1-k}/d}q\\
&\qquad+\frac{(q/d,a,b;q)_{\infty}}{(d/q,aq/d,bq/d;q)_{\infty}}\frac{(abq/d;q)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac 1{1-eq^k/ab}\frac{(d/ab;q)_k}{(q;q)_k}\left(\frac{ab}{d}\right)^k\Q32{aq/d,bq/d,q^{-k}}{q^2/d,abq^{1-k}/d}{q}\\
&=\frac{(abq/d;q)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{1}{1-deq^{k-1}/ab}\frac{(d/a,d/b;q)_k}{(d,q;q)_k}\left(\frac{ab}{d}\right)^k\\
&\qquad+\frac{(q/d,a,b,abq/d;q)_{\infty}}{(d/q,aq/d,bq/d,q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac 1{1-eq^k/ab}\frac{(q/a,q/b;q)_k}{(q^2/d,q;q)_k}\left(\frac{ab}{d}\right)^k
\end{align}
を得る. ここで, 最後の等号は$q$-Saalschützの和公式による. 一方, 右辺に$\dfrac{(e;q)_{\infty}}{(de/abq;q)_{\infty}}$を掛けて$e$に関して部分分数分解すると, (これは有限積の場合で部分分数分解してから極限を考えると良い.)
\begin{align}
&\frac{(q/d,abq/d,e/a,e/b;q)_{\infty}}{(aq/d,bq/d,e/ab,de/abq;q)_{\infty}}\\
&=\frac{(q/d,abq/d;q)_{\infty}}{(aq/d,bq/d;q)_{\infty}}\left(\sum_{0\leq k}\frac 1{1-deq^{k-1}/ab}\frac{(aq^{1-k}/d,bq^{1-k}/d;q)_{\infty}}{(q^{1-k};q)_{k-1}(q,q^{1-k}/d;q)_{\infty}}+\sum_{0\leq k}\frac 1{1-eq^k/ab}\frac{(aq^{-k},bq^{-k};q)_{\infty}}{(q^{1-k};q)_{k-1}(q,dq^{-k-1};q)_{\infty}}\right)\\
&=\frac{(q/d,abq/d;q)_{\infty}}{(aq/d,bq/d;q)_{\infty}}\left(\frac{(aq/d,bq/d;q)_{\infty}}{(q,q/d;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac 1{1-deq^{k-1}/ab}\frac{(d/a,d/b;q)_k}{(q/d,q;q)_k}\left(\frac{d}{ab}\right)^k+\frac{(a,b;q)_{\infty}}{(q,d/q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac 1{1-eq^k/ab}\frac{(q/a,q/b;q)_{k}}{(q^2/d,q;q)_{k}}\left(\frac{d}{ab}\right)^k\right)\\
&=\frac{(abq/d;q)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{1}{1-deq^{k-1}/ab}\frac{(d/a,d/a;q)_k}{(d,q;q)_k}\left(\frac{ab}{d}\right)^k\\
&\qquad+\frac{(q/d,a,b,abq/d;q)_{\infty}}{(d/q,aq/d,bq/d,q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac 1{1-eq^k/ab}\frac{(q/a,q/b;q)_k}{(q^2/d,q;q)_k}\left(\frac{ab}{d}\right)^k
\end{align}
となって左辺と一致することが示される.
上の証明によって, 通常の$q$-Saalschützの和公式と部分分数分解だけからnon-terminating $q$-Saalschützの和公式が導かれるということが分かったことになる.
