東大院試04-A4

問題

解答

1. $y(0)>0$より，もしも$y(x)\leq0$となる$x$が存在すれば，中間値の定理より，$y(a)=0$となる$a$が存在するが，そうすれば，微分方程式が$0=1+(y^\prime)^2\ge1$となり矛盾．よって$y(x)>0$である．
2. 微分方程式が$x$を含まないので，$p=y^\prime$と置くのが定石．すると，$$yp\dfrac{dp}{dy}=1+p^2$$
   という微分方程式が得られる．これを解けば，
   $$y=\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}\cosh\left(x\sqrt{1+c^2}+\cosh^{-1}\sqrt{1+c^2}\right)$$
   となる．