文献あり

東大院試04-A4

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問題

$\mathbb{R}$で定義された$C^2$級実関数$y(x)$が二階微分方程式
$$yy^{\prime\prime}=1+(y^\prime)^2,\quad y(0)=1$$
をみたすものとする．
(1)$y(x)>0$を示せ．
(2)$c$を与えられた実数とし，$y^\prime(0)=c$とするとき，$y(x)$を求めよ．

解答

$y(0)>0$より，もしも$y(x)\leq0$となる$x$が存在すれば，中間値の定理より，$y(a)=0$となる$a$が存在するが，そうすれば，微分方程式が$0=1+(y^\prime)^2\ge1$となり矛盾．よって$y(x)>0$である．
微分方程式が$x$を含まないので，$p=y^\prime$と置くのが定石．すると，$$yp\dfrac{dp}{dy}=1+p^2$$
という微分方程式が得られる．これを解けば，
$$y=\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}\cosh\left(x\sqrt{1+c^2}+\cosh^{-1}\sqrt{1+c^2}\right)$$
となる．

参考文献

[1]

笠原晧司, 微分方程式の基礎

投稿日：2日前

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投稿者

くどくど橄欖石

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はじめまして！楽しい記事を書ければと思いますので、よろしくお願いします。

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