文献あり

東大院試04-A4

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

問題

$R$ で定義された $C^{2}$ 級実関数 $y (x)$ が二階微分方程式
$y y^{''} = 1 + (y^{'})^{2}, y (0) = 1$
をみたすものとする．
(1) $y (x) > 0$ を示せ．
(2) $c$ を与えられた実数とし， $y^{'} (0) = c$ とするとき， $y (x)$ を求めよ．

解答

$y (0) > 0$ より，もしも $y (x) \leq 0$ となる $x$ が存在すれば，中間値の定理より， $y (a) = 0$ となる $a$ が存在するが，そうすれば，微分方程式が $0 = 1 + (y^{'})^{2} \geq 1$ となり矛盾．よって $y (x) > 0$ である．
微分方程式が $x$ を含まないので， $p = y^{'}$ と置くのが定石．すると， $y p \frac{d p}{d y} = 1 + p^{2}$
という微分方程式が得られる．これを解けば，
$y = \frac{1}{\sqrt{1 + c^{2}}} \cosh (x \sqrt{1 + c^{2}} + \cosh^{- 1} \sqrt{1 + c^{2}})$
となる．