ポアソン積分と等角写像に関する定理および導出

Step 1: コーシーの積分公式と「外側の点」の利用

円盤の内側にある点 $z = r e^{i\theta} \in D$ に対し、複素解析の基本であるコーシーの積分公式を適用します。

$$u(z) = \text{Re} \left[ \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D} \frac{u(\zeta)}{\zeta - z} \, d\zeta \right]$$
ここで、点 $z$ の円に関する鏡像点 $z^* = \frac{1}{\bar{z}}$ を考えます。$\vert{}z\vert{} < 1$ なので、$z^*$ は円盤の外側にあります。コーシーの積分定理より、領域外に極を持つ関数の周回積分は $0$ になるため、次の式が成り立ちます。

$$0 = \text{Re} \left[ \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D} \frac{u(\zeta)}{\zeta - \frac{1}{\bar{z}}} \, d\zeta \right]$$
Step 2: 2つの式の引き算

上の 2 式の差をとると、被積分関数の中身は次のようにまとまります。

$$u(z) = \text{Re} \left[ \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D} \left( \frac{1}{\zeta - z} - \frac{1}{\zeta - \frac{1}{\bar{z}}} \right) u(\zeta) \, d\zeta \right]$$
Step 3: 境界 $\zeta = e^{i\phi}$ 上での具体的な計算

境界上の点 $\zeta = e^{i\phi}$ では $\bar{\zeta} = \frac{1}{\zeta}$（つまり $\zeta \bar{\zeta} = 1$）となる性質を使います。カッコの中身を通分して整理してみましょう。

$$\frac{1}{\zeta - z} - \frac{1}{\zeta - \frac{1}{\bar{z}}} = \frac{1}{\zeta - z} + \frac{\bar{z}}{1 - \bar{z}\zeta} = \frac{(1 - \bar{z}\zeta) + \bar{z}(\zeta - z)}{(\zeta - z)(1 - \bar{z}\zeta)} = \frac{1 - \vert{}z\vert{}^2}{(\zeta - z)(1 - \bar{z}\zeta)}$$
ここで分母の第2項に $\zeta \bar{\zeta} = 1$ を代入して $\zeta$ で括ると、$1 - \bar{z}\zeta = \zeta\bar{\zeta} - \bar{z}\zeta = \zeta(\bar{\zeta} - \bar{z})$ となります。
微小線素 $d\zeta = i e^{i\phi} d\phi = i \zeta d\phi$ であるため、$\zeta$ が相殺されて積分は次のように変形できます。

$$\text{Re} \left[ \frac{1}{2\pi i} \frac{1 - \vert{}z\vert{}^2}{(\zeta - z)\zeta(\bar{\zeta} - \bar{z})} u(\zeta) (i \zeta d\phi) \right] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1 - \vert{}z\vert{}^2}{\vert{}\zeta - z\vert{}^2} u(e^{i\phi}) \, d\phi$$
Step 4: 極座標表示へのあてはめ

分子：$1 - \vert{}z\vert{}^2 = 1 - r^2$
分母：$\vert{}\zeta - z\vert{}^2 = \vert{}e^{i\phi} - r e^{i\theta}\vert{}^2 = (e^{i\phi} - r e^{i\theta})(e^{-i\phi} - r e^{-i\theta}) = 1 + r^2 - 2r \cos(\theta - \phi)$
位相のズレを $\theta$ とおけば、求めるポアソン核の形が得られます。 $\blacksquare$

Step 1: 変数の割り当てと写像の確認（詳細解説）
ここでは、「上半平面（$z$ 平面）」と「単位円盤（$w$ 平面）」という2つの異なる複素平面を考え、その間を結ぶ1対1の対応関係（ケーリー変換）を定義します。

1.1 ２つの領域と変数の定義
まず、扱う2つの空間と、それぞれの領域内・境界上の点を文字で区別して割り当てます。

上半平面（$z$ 平面）

内部の点 $z$：
実部を $x$、虚部を $y$ として $z = x + iy$ と表します。「上半平面」とは虚部が正の領域なので、条件は $y > 0$（すなわち $\text{Im}(z) > 0$）です。

境界の点 $t$：
上半平面の底辺にあたる境界は「実軸（$x$ 軸）」です。実軸上の点は虚部が $0$ なので、実数パラメータ $t \in \mathbb{R}$ を用いて表します（$z = t + 0i = t$）。
単位円盤（$w$ 平面）

内部の点 $w$：
原点中心・半径 $1$ の円の内側にある点です。絶対値の条件は $\vert{}w\vert{} < 1$ です。

境界の点 $\zeta$：
単位円盤の境界は「単位円周（半径 $1$ の円周）」です。原点からの距離が $1$ なので、オイラーの公式を用いて偏角 $\phi \in [-\pi, \pi)$ による極座標表示 $\zeta = e^{i\phi}$ （ただし $\vert{}\zeta\vert{} = 1$）で表します。

1.2 ケーリー変換（Cayley Transform）の定義
上半平面の点 $z$ を、単位円盤の点 $w$ へ移す一次分数変換（メビウス変換）を次のように定められます。

$$w = f(z) = \frac{z - i}{z + i}$$
この写像が「領域の内部」および「境界（フチ）」を正確に対応づけていることを、以下の通り代数的に確認します。

1.3 内部の対応関係の検証（$y > 0 \iff \vert{}w\vert{} < 1$）
$z = x + iy$（$y > 0$）をケーリー変換の式に代入し、$w$ の絶対値の2乗 $\vert{}w\vert{}^2$ を計算して、確かに円盤内部（$\vert{}w\vert{} < 1$）に入ることを確認します。

複素数の絶対値の性質 $\vert{}A/B\vert{}^2 = \vert{}A\vert{}^2 / \vert{}B\vert{}^2$ より、

$$\vert{}w\vert{}^2 = \left\vert{} \frac{z - i}{z + i} \right\vert{}^2 = \frac{\vert{}z - i\vert{}^2}{\vert{}z + i\vert{}^2}$$
ここで、分子と分母の絶対値の2乗を $z = x + iy$ を用いて展開します。

分子の計算：

$$\vert{}z - i\vert{}^2 = \vert{}x + i(y - 1)\vert{}^2 = x^2 + (y - 1)^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1$$
分母の計算：

$$\vert{}z + i\vert{}^2 = \vert{}x + i(y + 1)\vert{}^2 = x^2 + (y + 1)^2 = x^2 + y^2 + 2y + 1$$
分子と分母を比較すると、分子は分母に対して $-4y$ だけ小さいことがわかります。

$$\vert{}z - i\vert{}^2 = \vert{}z + i\vert{}^2 - 4y$$
これを $\vert{}w\vert{}^2$ の式に代入します。

$$\vert{}w\vert{}^2 = \frac{\vert{}z + i\vert{}^2 - 4y}{\vert{}z + i\vert{}^2} = 1 - \frac{4y}{\vert{}z + i\vert{}^2}$$
今、上半平面の内部を考えているため $y > 0$ です。また $\vert{}z + i\vert{}^2 > 0$ なので、第二項 $\frac{4y}{\vert{}z + i\vert{}^2}$ は厳密に正の値をとります。

したがって、1 から正の数を引くことになるため、

$$\vert{}w\vert{}^2 < 1 \iff \vert{}w\vert{} < 1$$
となり、「上半平面の内部 $y > 0$」は「単位円盤の内部 $\vert{}w\vert{} < 1$」へ正しく写されることが示されました。

1.4 境界（フチ）の対応関係の検証（$t \in \mathbb{R} \iff \vert{}\zeta\vert{} = 1$）
次に、上半平面の境界である実軸上の点 $z = t$ （$t \in \mathbb{R}$）が、単位円周上の点 $\zeta$ へどう写るかを確認します。

変換式に $z = t$ を代入すると、

$$\zeta = \frac{t - i}{t + i}$$
となります。この $\zeta$ の絶対値をとると、

$$\vert{}\zeta\vert{} = \left\vert{} \frac{t - i}{t + i} \right\vert{} = \frac{\vert{}t - i\vert{}}{\vert{}t + i\vert{}} = \frac{\sqrt{t^2 + (-1)^2}}{\sqrt{t^2 + 1^2}} = \frac{\sqrt{t^2 + 1}}{\sqrt{t^2 + 1}} = 1$$
となり、任意の選択した実数 $t$ に対し、$\vert{}\zeta\vert{} = 1$（すなわち単位円周上の点）となることがわかります。

単位円周上の点は偏角 $\phi$ を用いて $\zeta = e^{i\phi}$ と表せるため、

$$\zeta = e^{i\phi} = \frac{t - i}{t + i}$$
という実軸の変数 $t$ と 円周の角変数 $\phi$ を結ぶ 1対1 の関係式が得られます。

Step 2: 各要素を直接計算して置き換える

ポアソン核の分子 $1 - \vert{}w\vert{}^2$ の計算

$$1 - \vert{}w\vert{}^2 = 1 - \frac{\vert{}z - i\vert{}^2}{\vert{}z + i\vert{}^2} = \frac{\vert{}z + i\vert{}^2 - \vert{}z - i\vert{}^2}{\vert{}z + i\vert{}^2}$$
$z = x + iy$ を代入すると、$\vert{}z + i\vert{}^2 = x^2 + (y+1)^2$、$\vert{}z - i\vert{}^2 = x^2 + (y-1)^2$ となるので、分子の引き算は $4y$ だけが残ります。

$$1 - \vert{}w\vert{}^2 = \frac{4y}{\vert{}z + i\vert{}^2}$$
ポアソン核の分母 $\vert{}\zeta - w\vert{}^2$ の計算

$$\zeta - w = \frac{t - i}{t + i} - \frac{z - i}{z + i} = \frac{(t - i)(z + i) - (z - i)(t + i)}{(t + i)(z + i)} = \frac{2i(z - t)}{(t + i)(z + i)}$$
両辺の絶対値の二乗をとると（$\vert{}t + i\vert{}^2 = t^2 + 1$ に注意）：

$$\vert{}\zeta - w\vert{}^2 = \frac{4\vert{}z - t\vert{}^2}{(t^2 + 1)\vert{}z + i\vert{}^2}$$
微小角 $d\phi$（線素）の計算

$\zeta = e^{i\phi} = \frac{t - i}{t + i}$ の両辺の自然対数をとって微分します。

$$i d\phi = d \left[ \ln(t - i) - \ln(t + i) \right] = \left( \frac{1}{t - i} - \frac{1}{t + i} \right) dt = \frac{2i}{t^2 + 1} dt$$
両辺を $i$ で割ると：

$$d\phi = \frac{2}{t^2 + 1} dt$$
Step 3: 単位円盤の積分公式へ一気に代入する

単位円盤の式 $u(w) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1 - \vert{}w\vert{}^2}{\vert{}\zeta - w\vert{}^2} f(\zeta) \, d\phi$ に上の結果を代入します。

$$F(x, y) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{\frac{4y}{\vert{}z + i\vert{}^2}}{\frac{4\vert{}z - t\vert{}^2}{(t^2 + 1)\vert{}z + i\vert{}^2}} \right) F(t, 0) \left( \frac{2}{t^2 + 1} dt \right)$$
複雑に見えますが、$\vert{}z + i\vert{}^2$、$(t^2 + 1)$、そして数字の $4$ と $2$ が綺麗に約分されて消えます。

$$F(x, y) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{y}{\vert{}z - t\vert{}^2} F(t, 0) \, dt$$
$\vert{}z - t\vert{}^2 = \vert{}(x - t) + iy\vert{}^2 = (t - x)^2 + y^2$ ですので、目的の上半平面ポアソン積分公式が得られます。 $\blacksquare$

Step 1: 高さのスタート位置を $y = 0$ から $y = y_0$ へ並行移動

ポアソン積分は「ある高さの境界値から、それより高い位置の値を作る」演算です。
高さ $0$ から高さ $y$ への推移がパラメータ $y$ で表されるなら、高さ $y_0$ から高さ $y$ への推移は高さの差 $(y - y_0)$ をパラメータに置き換えるだけで表現できます。

$$F(x, y) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{y - y_0}{(t - x)^2 + (y - y_0)^2} F(t, y_0) \, dt$$
Step 2: $x = 0$ を代入

求めたかった $x = 0$ での位置の値を計算するため、$x = 0$ を代入します。

$$F(0, y) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{y - y_0}{t^2 + (y - y_0)^2} F(t, y_0) \, dt$$
Step 3: 分母から定数を括り出して形を整える

分母の $t^2 + (y - y_0)^2$ から $(y - y_0)^2$ を強引に括り出してみます。

$$t^2 + (y - y_0)^2 = (y - y_0)^2 \left[ \frac{t^2}{(y - y_0)^2} + 1 \right] = (y - y_0)^2 \left[ \left( \frac{t}{y - y_0} \right)^2 + 1 \right]$$
これを積分の分母に戻します。

$$F(0, y) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{y - y_0}{(y - y_0)^2 \left[ \left( \frac{t}{y - y_0} \right)^2 + 1 \right]} F(t, y_0) \, dt$$
分子の $(y - y_0)$ と分母の $(y - y_0)^2$ を約分して $1$ 個消し、定数項 $\frac{1}{\pi (y - y_0)}$ を積分の外へ括り出せば完成です。

$$F(0, y) = \frac{1}{\pi (y - y_0)} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\left( \frac{t}{y - y_0} \right)^2 + 1} F(t, y_0) \, dt \quad \blacksquare$$