実数がなす加法群の閉部分群

$G$を$\{0\}$でない$\mathbb{R}$の閉部分群とする．$G$の$0$でない元$x$に対して$|x|\in G\cap \mathbb{R}_{>0}$なので，下に有界な$\mathbb{R}$の部分集合$G\cap \mathbb{R}_{>0}\neq\emptyset$は下限$\alpha=\inf (G\cap \mathbb{R}_{>0})\geq0$を持つ．$\alpha$の値によって場合分けする：

まず$\alpha=0$の場合を考える．このとき$G=\mathbb{R}$となることを示す．$G$が閉であることから$G$が$\mathbb{R}$上稠密であることを示せばよい．$\alpha=0$より，任意の$n\in\mathbb{N}$に対して$x_n\in G$があり$0< x_n<1/n$となる．$x\in \mathbb{R}$を任意とするとき，各$n$に対して$x\in[(k-1/2)x_n,(k+1/2)x_n)$となる$k\in\mathbb{Z}$がただ一つ存在するので，それを$k_n$とおく．このとき$k_nx_n\in G$かつ$|x-k_nx_n|\leq x_n/2<1/2n\to 0\ (n\to \infty)$なので，$G$は$\mathbb{R}$上稠密である．よって$G=\overline{G}=\mathbb{R}$を得る．

$\alpha>0$の場合は$G=\mathbb{Z}\alpha$となることを示す．$G$は閉なので$\alpha\in G$である．よって$\mathbb{Z}\alpha\subset G$．逆に$x\in G$とする．$x\in [k\alpha,(k+1)\alpha)$となる$k\in\mathbb{Z}$がただ一つ存在する．このとき$x=k\alpha$となることから$x\in \mathbb{Z}\alpha$が従う．実際，もし$x\neq k\alpha$ならば$0< x-k\alpha<\alpha$となるが，$G$が部分群であることから$x-k\alpha\in G$なので$\alpha$の最小性に矛盾する．よって$x=k\alpha\in \mathbb{Z}\alpha$となる．$x$は任意なので$G=\mathbb{Z}\alpha$が示された．

以上で$\mathbb{Z}$の閉部分群をすべて決定できた．