実数がなす加法群の閉部分群

$G$を$\{0\}$でない$\mathbb{R}$の閉部分群とする．$G$の$0$でない元$x$に対して$|x|\in G\cap {\mathbb{R}}_{>0}$なので，下に有界な$\mathbb{R}$の部分集合$G\cap {\mathbb{R}}_{>0}\ne \mathrm{\varnothing }$は下限$\alpha =inf(G\cap {\mathbb{R}}_{>0})\ge 0$を持つ．$\alpha$の値によって場合分けする：

まず$\alpha =0$の場合を考える．このとき$G=\mathbb{R}$となることを示す．$G$が閉であることから$G$が$\mathbb{R}$上稠密であることを示せばよい．$\alpha =0$より，任意の$n\in \mathbb{N}$に対して$x_n\in G$があり$0<x_n<1/n$となる．$x\in \mathbb{R}$を任意とするとき，各$n$に対して$x\in [(k-1/2)x_n,(k+1/2)x_n)$となる$k\in \mathbb{Z}$がただ一つ存在するので，それを$k_n$とおく．このとき$k_n{x}_n\in G$かつ$|x-k_n{x}_n|\le x_n/2<1/2n\to 0(n\to \mathrm{\infty })$なので，$G$は$\mathbb{R}$上稠密である．よって$G=\bar{G}=\mathbb{R}$を得る．

$\alpha >0$の場合は$G=\mathbb{Z}\alpha$となることを示す．$G$は閉なので$\alpha \in G$である．よって$\mathbb{Z}\alpha \subset G$．逆に$x\in G$とする．$x\in [k\alpha ,(k+1)\alpha )$となる$k\in \mathbb{Z}$がただ一つ存在する．このとき$x=k\alpha$となることから$x\in \mathbb{Z}\alpha$が従う．実際，もし$x\ne k\alpha$ならば$0<x-k\alpha <\alpha$となるが，$G$が部分群であることから$x-k\alpha \in G$なので$\alpha$の最小性に矛盾する．よって$x=k\alpha \in \mathbb{Z}\alpha$となる．$x$は任意なので$G=\mathbb{Z}\alpha$が示された．

以上で$\mathbb{Z}$の閉部分群をすべて決定できた．