距離空間2 非拡大写像

1. $S$を濃度$\mathfrak{n}$の${\displaystyle \frac{ϵ}{3}}-$ネットとし,$S^{\prime }$を$ϵ-$分離的集合とする.$S$は${\displaystyle \frac{ϵ}{3}}-$ネットだから$s^{\prime }\in S$に対しある$s\in S$であって$|s^{\prime }s|<{\displaystyle \frac{ϵ}{3}}+{\displaystyle \frac{ϵ}{7}}$を満たすものが存在する.これにより写像$f:S^{\prime }\to S$を$f(s^{\prime })=s$で定めることができる.
   (厳密には次のように構成する.開球$B(s^{\prime },{\displaystyle \frac{ϵ}{3}}+{\displaystyle \frac{ϵ}{7}})$と$S$の共通部分は空でないので選択公理により${\displaystyle \prod _{s^{\prime }\in S^{\prime }}(B(s^{\prime },{\displaystyle \frac{ϵ}{3}}+{\displaystyle \frac{ϵ}{7}})\cap S)}$は空でない.よってここから元を一つとることができる.)
   $f$が単射でないと仮定すると,ある$s^{\prime },t^{\prime }\in S^{\prime }$が存在して$f(s^{\prime })=f(t^{\prime })=s$となる.このとき
   $|s^{\prime }{t}^{\prime }|\le |s^{\prime }s|+|s{t}^{\prime }|\le {\displaystyle \frac{ϵ}{3}}+{\displaystyle \frac{ϵ}{7}}+{\displaystyle \frac{ϵ}{3}}+{\displaystyle \frac{ϵ}{7}}<ϵ$となり$S^{\prime }$が$ϵ-$分離的であることに反する.よって$f$は単射であり,$S^{\prime }$の濃度は$\mathfrak{n}$以下である.
2. $\mathcal{S}$を$ϵ-$分離的な部分集合全体のなす族とし,$\mathcal{S}$に包含によって順序を入れる.$1$点は$ϵ-$分離的だから$\mathcal{S}$は空ではない.$\{S_i{\}}_i$を$\mathcal{S}$の全順序部分集合とする.${\displaystyle \bigcup _i{S}_i}$は再び$ϵ-$分離的であってどの$S_i$よりも大きい.よってZornの補題により極大元が存在する.次に,極大元の一つを$S$とする.それが$ϵ-$ネットでなければ,$S$のすべての点から$ϵ$以上離れた元が存在するので,極大性に反する.$◻$

$f$が全射でないと仮定し,$p\in X\mathrm{\setminus }f(X)$をとる.$f(X)$はコンパクトだから閉.よってある$ϵ>0$が存在して$B(p,ϵ)\cap f(X)=\mathrm{\varnothing }$となる.命題1からこの$ϵ$に対し極大な${\displaystyle \frac{ϵ}{3}}-$分離的部分集合が存在するのでそれを$S$とおく.コンパクト性から濃度$|S|$は自然数である.さらに命題1から$S$は${\displaystyle \frac{ϵ}{3}}-$ネットでもある.${\displaystyle \frac{ϵ}{3}}-$ネットが存在するから再び命題1により,$ϵ-$分離的な集合は$|S|$より多くの元を含まない.特に$\{|T|:T\text{は}ϵ-\text{分離的集合}\}$とおくと,これは上に有界な$\mathbb{N}$の部分集合である.
($T$の全体は$2^X$の部分集合なのでこのようなものを考えることができる.)
この最大値を$n$とし,最大値をとるときの$ϵ-$分離的集合を$T$とおく.$f(T)$はやはり$ϵ-$分離的で$p$は$f(T)$のどの点からも$ϵ$以上離れているので$f(T)\cup \{p\}$は$ϵ-$分離的であり,最大であることに反する.$◻$

1. ある$p,q\in X$が存在して$|f(p)f(q)|<|pq|$であると仮定する.この$p,q$に対し$ϵ>0$であって$|f(p)f(q)|<|pq|-5ϵ$を満たすものをとる.$n$を自然数であって少なくとも一つの$n$個の元からなる$ϵ-$ネットが存在するものとする.$\mathfrak{N}\subseteq X^n$を$n$点の組が$X$の$ϵ-$ネットをなすようなもの全体の集合とする.$\mathfrak{N}$は$X^n$の閉集合なので特にコンパクトである.
   (実際,$b_m\to a$,$b_m\in \mathfrak{N}$とする.$a=(a_1,\dots ,a_n)$,$b_m=(b_1^{(m)},\dots ,b_n^{(m)})$とおく.任意に$x\in X$をとる.$\text{dist}(x,\{a_1,\dots ,a_n\})>ϵ$とする.ある$\delta >0$が存在して任意の$i$に対して$|x{a}_i|>ϵ+\delta$を満たす.一方,収束性からある$m$が存在して,任意の$i$に対して$|b_i^{(m)}{a}_i|<\delta$.さらにこの$m$に対してある$i^{\prime }$が存在して$|x{b}_{i^{\prime }}^{(m)}|\le ϵ$.このときこの$m$と$i^{\prime }$に対して
   $|x{a}_{i^{\prime }}|\le |x{b}_{i^{\prime }}^{(m)}|+|b_{i^{\prime }}^{(m)}{a}_{i^{\prime }}|<ϵ+\delta$.これは$\delta$の取り方に反する.よって$\mathfrak{N}$は閉.)
   関数$D:X^n\to \mathbb{R}$を$D(x_1,\dots ,x_n)={\displaystyle \sum _{i,j}|x_j{x}_i|}$によって定める.この関数は連続であり,従って$\mathfrak{N}$上で最小値を取る.$S=(s_1,\dots ,s_n)$で最小値を取るとする.$f$は全射,非拡大だから$f(S):=(f(s_1),\dots ,f(s_n))$とおくとこれは再び$\mathfrak{N}$の元である.
   (実際,任意に$x\in X$をとる.$f$は全射だから,ある$c\in X$が存在して$x=f(c)$を満たす.また,$S=(s_1,\dots ,s_n)\in \mathfrak{N}$だから任意の$\delta >0$に対してある$i$が存在して$|c{s}_i|<ϵ+\delta$が成り立つ.よって
   $|xf(s_i)|=|f(c)f(s_i)|\le C|c{s}_i|\le ϵ+\delta$となり$\text{dist}(x,f(s))\le ϵ$.よって$f(S)$も$\mathfrak{N}$の元である.)
   任意の$i,j$に対して$|f(s_i)f(s_j)|\le |s_i{s}_j|$だから$D(f(S))\le D(S)$である.さらに$D$は$S$で最小値を取るから$D(f(S))=D(S)$であり,任意の$i,j$に対して$|f(s_i)f(s_j)|=|s_i{s}_j|$が成り立つ.一方,ある$i,j$が存在して$|p{s}_i|\le ϵ$,$|q{s}_j|\le ϵ$を満たす.これらの$i,j$に対し
   $|s_i{s}_j|\ge |pq|-|p{s}_i|-|q{s}_j|\ge |pq|-2ϵ$.また
   $|f(s_i)f(s_j)|\le |f(p)f(q)|+|f(p)f(s_i)|+|f(q)f(s_j)|$
   $\le |f(p)f(q)|+2ϵ\le |pq|-3ϵ$.
   よって$|f(s_i)f(s_j)|<|s_i{s}_j|$となり矛盾.

2. 前の定理の証明と同様の議論で$f(X)$は$X$で稠密である.
   (実際,$X\mathrm{\setminus }\overline{f(X)}\ne \mathrm{\varnothing }$とし,$p\in X\mathrm{\setminus }\overline{f(X)}$をとる.$\overline{f(X)}$は閉だから$\text{dist}(p,\overline{f(X)})>0$である.よって,ある$ϵ>0$が存在して$B(p,ϵ)\cap \overline{f(X)}=\mathrm{\varnothing }$となる.この$ϵ$に対し$ϵ-$ネットが存在する自然数のなかで最大のものをとれる.)
   $f^{-1}:f(X)\to X$を考える.$f^{-1}$は非拡大写像で$f(X)$は$X$で稠密だから非拡大写像$\overline{f^{-1}}:X\to X$に拡張できる.(1)から$\overline{f^{-1}}$は等長である.よってその逆写像である$f$は全射であり,等長.$◻$