距離空間2 非拡大写像

1. $S$を濃度$ \mathfrak{n}$の$\dfrac{\epsilon}{3}-$ネットとし,$S'$を$\epsilon-$分離的集合とする.$S$は$\dfrac{\epsilon}{3}-$ネットだから$s'\in S$に対しある$s\in S$であって$|s's|<\dfrac{\epsilon}{3}+\dfrac{\epsilon}{7}$を満たすものが存在する.これにより写像$f:S'\to S$を$f(s')=s$で定めることができる.
   (厳密には次のように構成する.開球$B(s',\dfrac{\epsilon}{3}+\dfrac{\epsilon}{7})$と$S$の共通部分は空でないので選択公理により$\displaystyle\prod_{s'\in S'}(B(s',\dfrac{\epsilon}{3}+\dfrac{\epsilon}{7})\cap S)$は空でない.よってここから元を一つとることができる.)
   $f$が単射でないと仮定すると,ある$s',t'\in S'$が存在して$f(s')=f(t')=s$となる.このとき
   $|s't'|\leq |s's|+|st'|\leq \dfrac{\epsilon}{3}+\dfrac{\epsilon}{7}+\dfrac{\epsilon}{3}+\dfrac{\epsilon}{7}<\epsilon$となり$S'$が$\epsilon-$分離的であることに反する.よって$f$は単射であり,$S'$の濃度は$\mathfrak{n}$以下である.
2. $\mathscr{S}$を$\epsilon-$分離的な部分集合全体のなす族とし,$\mathscr{S}$に包含によって順序を入れる.$1$点は$\epsilon-$分離的だから$\mathscr{S}$は空ではない.$\{S_i\}_i$を$\mathscr{S}$の全順序部分集合とする.$\displaystyle\bigcup_{i}S_i$は再び$\epsilon-$分離的であってどの$S_i$よりも大きい.よってZornの補題により極大元が存在する.次に,極大元の一つを$S$とする.それが$\epsilon-$ネットでなければ,$S$のすべての点から$\epsilon$以上離れた元が存在するので,極大性に反する.$\Box$

$f$が全射でないと仮定し,$p\in X\backslash f(X)$をとる.$f(X)$はコンパクトだから閉.よってある$\epsilon>0$が存在して$B(p,\epsilon)\cap f(X)=\emptyset$となる.命題1からこの$\epsilon$に対し極大な$\dfrac{\epsilon}{3}-$分離的部分集合が存在するのでそれを$S$とおく.コンパクト性から濃度$|S|$は自然数である.さらに命題1から$S$は$\dfrac{\epsilon}{3}-$ネットでもある.$\dfrac{\epsilon}{3}-$ネットが存在するから再び命題1により,$\epsilon-$分離的な集合は$|S|$より多くの元を含まない.特に$\{|T|:T\text{は}\epsilon-\text{分離的集合}\}$とおくと,これは上に有界な$\mathbb{N}$の部分集合である.
($T$の全体は$2^X$の部分集合なのでこのようなものを考えることができる.)
この最大値を$n$とし,最大値をとるときの$\epsilon-$分離的集合を$T$とおく.$f(T)$はやはり$\epsilon-$分離的で$p$は$f(T)$のどの点からも$\epsilon$以上離れているので$f(T)\cup\{p\}$は$\epsilon-$分離的であり,最大であることに反する.$\Box$

1. ある$p,q\in X$が存在して$|f(p)f(q)|<|pq|$であると仮定する.この$p,q$に対し$\epsilon>0$であって$|f(p)f(q)|<|pq|-5\epsilon$を満たすものをとる.$n$を自然数であって少なくとも一つの$n$個の元からなる$\epsilon-$ネットが存在するものとする.$\mathfrak{N}\subseteq X^n$を$n$点の組が$X$の$\epsilon-$ネットをなすようなもの全体の集合とする.$\mathfrak{N}$は$X^n$の閉集合なので特にコンパクトである.
   (実際,$b_m\to a$,$b_m\in\mathfrak{N}$とする.$a=(a_1,\dots,a_n)$,$b_m=(b_1^{(m)},\dots,b_n^{(m)})$とおく.任意に$x\in X$をとる.$\text{dist}(x,\{a_1,\dots,a_n\})>\epsilon$とする.ある$\delta>0$が存在して任意の$i$に対して$|xa_i|>\epsilon+\delta$を満たす.一方,収束性からある$m$が存在して,任意の$i$に対して$|b_i^{(m)}a_i|<\delta$.さらにこの$m$に対してある$i'$が存在して$|xb_{i'}^{(m)}|\leq\epsilon$.このときこの$m$と$i'$に対して
   $|xa_{i'}|\leq|xb_{i'}^{(m)}|+|b_{i'}^{(m)}a_{i'}|<\epsilon+\delta$.これは$\delta$の取り方に反する.よって$\mathfrak{N}$は閉.)
   関数$D:X^n\to \mathbb{R}$を$D(x_1,\dots,x_n)=\displaystyle\sum_{i,j}|x_jx_i|$によって定める.この関数は連続であり,従って$\mathfrak{N}$上で最小値を取る.$S=(s_1,\dots,s_n)$で最小値を取るとする.$f$は全射,非拡大だから$f(S):=(f(s_1),\dots,f(s_n))$とおくとこれは再び$\mathfrak{N}$の元である.
   (実際,任意に$x\in X$をとる.$f$は全射だから,ある$c\in X$が存在して$x=f(c)$を満たす.また,$S=(s_1,\dots,s_n)\in\mathfrak{N}$だから任意の$\delta>0$に対してある$i$が存在して$|cs_i|<\epsilon+\delta$が成り立つ.よって
   $|xf(s_i)|=|f(c)f(s_i)|\leq C|cs_i|\leq \epsilon+\delta $となり$\text{dist}(x,f(s))\leq \epsilon$.よって$f(S)$も$\mathfrak{N}$の元である.)
   任意の$i,j$に対して$|f(s_i)f(s_j)|\leq|s_is_j|$だから$D(f(S))\leq D(S)$である.さらに$D$は$S$で最小値を取るから$D(f(S))=D(S)$であり,任意の$i,j$に対して$|f(s_i)f(s_j)|=|s_is_j|$が成り立つ.一方,ある$i,j$が存在して$|ps_i|\leq\epsilon$,$|qs_j|\leq\epsilon$を満たす.これらの$i,j$に対し
   $|s_is_j|\geq |pq|-|ps_i|-|qs_j|\geq |pq|-2\epsilon$.また
   $|f(s_i)f(s_j)|\leq |f(p)f(q)|+|f(p)f(s_i)|+|f(q)f(s_j)|$
   $\leq |f(p)f(q)|+2\epsilon\leq |pq|-3\epsilon$.
   よって$|f(s_i)f(s_j)|<|s_is_j|$となり矛盾.

2. 前の定理の証明と同様の議論で$f(X)$は$X$で稠密である.
   (実際,$X\backslash \overline{f(X)}\neq\emptyset$とし,$p\in X\backslash \overline{f(X)} $をとる.$\overline{f(X)}$は閉だから$\text{dist}(p,\overline{f(X)})>0$である.よって,ある$\epsilon>0$が存在して$B(p,\epsilon)\cap \overline{f(X)}=\emptyset$となる.この$\epsilon$に対し$\epsilon-$ネットが存在する自然数のなかで最大のものをとれる.)
   $f^{-1}:f(X)\to X$を考える.$f^{-1}$は非拡大写像で$f(X)$は$X$で稠密だから非拡大写像$\overline{f^{-1}}:X\to X$に拡張できる.(1)から$\overline{f^{-1}}$は等長である.よってその逆写像である$f$は全射であり,等長.$\Box$