非負整数uを固定した場合にm!=u^2+n^2なる非負整数解ペア(m,n)が有限個しか存在しない
特に難しい話では無いですが、小ネタとして良さそうなのでメモ
素数$p\equiv 3\pmod 4$に対し$p\mid (a^2+b^2)$なら$p\mid a$かつ$p\mid b$
もし$p\mid a$なら、条件より$p\mid b^2$。よって$p\mid b$。
$p\nmid a$なら、$a$の$\mod p$での逆元$a^{-1}$が存在する。
$a^2+b^2\equiv 0\pmod p$
$1+b^2\cdot a^{-2}\equiv 0\pmod p$ （両辺$a^{-2}$を掛ける）
$(b\cdot a^{-1})^2\equiv -1\pmod p$
ところが第1補充法則より$p\equiv 3\pmod 4$では$-1$は平方非剰余なので矛盾$\blacksquare$
$p\equiv 3\pmod 4$型の素数は無数に存在する。
証明略（算術級数定理より）
非負整数$u$を固定した場合に$m!=u^2+n^2$なる非負整数解ペア$(m,n)$が有限個しか存在しない
固定値$u$の素因数（特に$3\mod 4$）は有限個。
よって補題2より、$u$のどの素因数よりも大きい素数$q\equiv 3\pmod 4$を取ることができる。
$m\geq q$と仮定すると、$q\mid m!$なので、条件より$q\mid (u^2+n^2)$。
すると補題1より$q\mid u$だが、$q$は$u$のどの素因数よりも大きい数として取っている（$q$は、その取り方より明らかに$u$を割らない）ので矛盾。
よって$m< q$。
つまり$q\equiv 3\pmod 4$は$u$の素因数より大きく取ればよいだけで、それが$m$の具体的な上限になる。
また、各$m$に対し$n$も（$n^2=m!-u^2$が成り立つ（平方数になる）場合に）一意に決まる。
上記を併せて、解ペア$(m,n)$は有限個しか存在しない$\blacksquare$
