【共形場理論】Virasoro代数のつくりかた

0. はじめに

　今回はPhysics Lab. アドベント・カレンダーの3日目シリーズ2ということで、Virasoro代数をLie代数の中心拡大として得る方法を説明したいと思います。Virasoro代数は２次元共形場理論における変換の生成子を与える代数で、以下のような括弧積が与えられたLie代数です。
\begin{equation} [L_m,L_n] = (m-n)L_{m+n}+\frac{c}{12}m(m^2-1)\delta_{m+n,0} \end{equation}
なんのこっちゃという感じですが、この記事ではその気持ちを説明していきたいと思います。
　できる限り厳密に扱うことに気をつけましたが、適切でない表現をしてしまっていたり、背景情報が抜けてしまっているところがあるかもしれません。もしそのような表現を見つけた際には、コメントの方で訂正していただけると助かります。また、Lie代数の拡大についてはextend_lieに依ります。

1. Lie代数の導入

例： 一般線形Lie代数

　体$\ff$上の$n\times n$行列全体を$\mathfrak{gl}(\ff)$とし、Lie括弧積を$[A,B]=AB-BA$$(A,B\in \mathfrak{gl}(\ff))$で定めると、これはLie代数となることがわかります。$\mathfrak{gl}(\ff)$を一般線形Lie代数と呼びます。
　この例から推測できるように、Lie括弧積は交換関係（または反交換関係）を一般化した演算です。

　準同型$f\mathpunct{:}\lieg\to\lieh$に対し、その核$\ker f$は$\lieg$のイデアルとなります。これは、$x\in\lieg,\ y\in\ker f$に対し、$f([x,y])=[f(x),f(y)]=[0,f(y)]=0$となることより分かります。また、イデアルから商代数を、$\lieg/\liei\coloneqq\{x+\liei\mid x\in\lieg\}$にLie括弧積として$[x+\liei,y+\liei]\coloneqq[x,y]+\liei$を定めることで定義できます。この定義がwell-definedであることはイデアルの定義からすぐ分かります。このとき、Lie代数についても準同型定理などを示すことができます。
　ここで、Lie代数の中心という概念を定義しておきます。これは、$\lieg$のすべての元とのLie括弧積が$0$になるような元全体として定義されます。

　ここでLie代数の例として、Virasoro代数のもととなるWitt代数を定義します。

　任意の$W$の元は正則な有理型のベクトル場であることから、$\mathbb{C}-\{0\}$の各点で以下のように$z$についてローラン展開をすることができます。
\begin{equation} -\sum_{n=-\infty}^\infty a_{n+1}z^{n+1}\frac{\del}{\del z} \end{equation}
$n+1$や$-$がついているのは、ただその方が物理的に嬉しいというだけなので、特に気にしなくて大丈夫です。これより$\ell_n$が$W$の基底を張ることがわかります。また、以下のようにしてJacobi恒等式も成立するため、$W$はLie代数となっていることが実際に確認できます。
\begin{align} &[\ell_k,[\ell_m,\ell_n]] + [\ell_n,[\ell_k,\ell_m]] + [\ell_m,[\ell_n,\ell_k]]\\ &= \left[(m-n)(k-(m+n)) + (k-m)(n-(k+m)) + (n-k)(m-(n+k))\right]\ell_{k+m+n}\\ &= 0 \end{align}
　Virasoro代数は、このWitt代数を中心拡大することで得ることができます。次からは、そんなLie代数の拡大の手法を見ていきます。

2. Lie代数の拡大

　一般に、群に対して拡大を定義することができます。そこから付随して、Lie代数に対しても拡大を定義することができます。

　準同型写像の核はイデアルであったため、$\ker s=\im i$は$\liee$のイデアルです。よって準同型定理より、$\lieg\cong\liee/\ker s=\liee/\im i=\liee/\lieh$が従います。（このことから、$\liee$はおおよそ$\lieg$を$\lieh$で、自然言語の意味で"拡大"したようなものに相当することがわかります。）

　この記事では、これ以降特に中心拡大に注目します。一般に中心拡大があると、この後説明する２-コサイクルを構成できます。また、２-コサイクルから中心拡大を誘導できます。

　$\lieg$上の１-コチェインを線型写像$f\mathpunct{:}\lieg\to\ff$として定め、その全体集合を$C^1(\lieg,\ff)$とします。ここでコバウンダリ$\delta$を以下のように定めると、$\delta f$が２-コサイクルになることを確かめることができます。
\begin{equation} \delta f(x,y)=f([x,y])\quad(x,y\in\lieg) \end{equation}
交代性はLie括弧積の性質からわかります。Jacobi律も$f$の線形性と、Lie括弧積のJacobi恒等式から分かります。$\delta$による１-コチェインの像を$B^2(\lieg,\ff)$で表し、１-コバウンダリといいます。二つのコサイクルが同値であることを、その差がコバウンダリとなることとして定義すると、商群を定義できて、
\begin{equation} H^2(\lieg,\ff) = Z^2(\lieg,\ff)/B^2(\lieg,\ff) \end{equation}
を$\lieg$の第２コホモロジー群と呼びます。
　少し長々と書きましたが、一般にはLie群$\lieg$とその表現$M$から作られる余鎖複体とコホモロジーに相当します。（が、筆者はあまり詳しくないので、ここでは省きます。）

２-コサイクルから誘導される中心拡大

　$\varphi$をLie代数$\lieg$上の２-コサイクルで、$\lieh$が任意の$1$次元ベクトル空間のとき、$\liee=\lieg\oplus\lieh$とし、Lie括弧積を
\begin{equation} [x+\mu h,y+\nu h]_\varphi = [x,y] + \varphi(x,y)h \end{equation}
と定めます。ここで$h\in\lieh$は任意に一つ固定し、$\mu,\nu\in\ff$です。このとき$\liee$は$\lieg$の$\lieh$による中心拡大となります。

　これで準備は終わったため、以下ではいよいよWitt代数と２-コサイクルからVirasoro代数を構成していきます。

3. Virasoro代数

　Witt代数$W$と、その上の任意の２-コサイクルを一つ取ります。先に後で使う事実を導いておきます。$\omega_{i,j}=\varphi(\ell_i,\ell_j)$とすると、２-コサイクルのJacobi律から
\begin{equation} (l-m)\omega_{l+m,n} + (m-n)\omega_{m+n,l} + (n-l)\omega_{n+l,m} = 0 \end{equation}
が成り立ちます。$l=0$として、$\omega$の反対称性$\omega_{i,j}=-\omega_{j,i}$から
\begin{equation} (m+n)\omega_{m,n} = (m-n)\omega_{m+n,0} \end{equation}
が分かります。
　$\varphi$から誘導された$W$の$C\mathbb{C}\ \,(C\in\mathbb{C})$による中心拡大を考えます。$\ell_0$に対するLie括弧積は
\begin{equation} [\ell_0+\mu C,\ell_m+\nu C]_\varphi = -m\ell_m + \omega_{0,m}C = -m\left(\ell_m - \frac{\omega_{0,m}}{m}C\right) \end{equation}
です。ここで現れる$C$は、$\varphi$を同値な２-コサイクルで置き換えることにより消すことができます。１-コチェインを
\begin{equation} f\mathpunct{:}W\to \mathbb{C},\quad\ell_m\mapsto\frac{\omega_{0,m}}{m} \end{equation}
で定義し、$\varphi' = \varphi + \delta f$とすると、
\begin{equation} \varphi'(\ell_0,\ell_m) = \varphi(\ell_0,\ell_m) + f([\ell_0,\ell_m]) = \omega_{0,m} - m\frac{\omega_{0,m}}{m} = 0 \end{equation}
より
\begin{equation} [\ell_0+\mu C,\ell_m+\nu C]_{\varphi'} = m\ell_m \end{equation}
となりました。以降は$\varphi'$を単に$\varphi$と書きます。この２-コサイクルで$(m+n)\omega_{m,n} = (m-n)\omega_{m+n,0}$を考えると、$m+n\neq0$のときは$\omega_{m,n}=0$となります。よって$\omega_{m,n}$の交代性を考慮すると
\begin{equation} \omega_{m,n} = a_m\delta_{m,-n},\quad a_{-m} = -a_m \end{equation}
となることが分かります。これを２-コサイクルのJacobi律に代入し、$l+m+n=0,$$n=1$とすると、漸化式
\begin{equation} (m-1)a_{m+1} - (m+2)a_m + (2m+1)a_1 = 0 \end{equation}
が得られます。これを解くと、一般には$a_m = \alpha m+\beta m^3$となります。ゆえに、$W\oplus C\mathbb{C}$のLie括弧積は
\begin{equation} [\ell_m+\mu C,\ell_n+\nu C]_\varphi = (m-n)\ell_{m+n} + (\alpha m+\beta m^3)\delta_{m,-n}C \end{equation}
となります。ここで、$\ell_m'=\ell_m+\frac{\alpha-\gamma}{2}\delta_{0,m}C$のように基底を変換すると、
\begin{align} [\ell'_m+\mu C,\ell'_n+\nu C]_\varphi &= (m-n)\left(\ell'_{m+n}-\frac{\alpha-\gamma}{2}\delta_{0,m+n}C\right) + (\alpha m+\beta m^3)\delta_{m,-n}C\\ &= (m-n)\ell'_{m+n} + (\gamma m+\beta m^3)\delta_{m,-n}C \end{align}
となるため、$m$の係数$\alpha$は任意に変更できることがわかります。また$\beta=0$であれば$\alpha=0$へ変更することで中心電荷が消えてしまうため、考えないことにします。
　ここでは$-\alpha = \beta = 1/12$として$\beta$の任意性を$C$に吸収させることにします。このとき$C$を$c$で表し、$L_m=\ell_m+\mu c\in W\oplus c\mathbb{C}$として、$\mu$による違いは同一視することにすると、Virasoro代数$V=W\oplus c\mathbb{C}$
\begin{equation} [L_m,L_n] = (m-n)L_{m+n} + \frac{c}{12}m(m^2-1)\delta_{m+n,0} \end{equation}
を得ることができました。

物理の視点から

　ここまで終わっても良いのですが、せっかくなので物理の側からVirasoro代数をほんの少しだけ眺めてみたいと思います。ここでの記述はhikitakawakamiに依ります。また、ここでは事実ベースとなってしまいますがご了承ください。
　２次元共形場理論において、$z\mapsto z'=\epsilon(z),\ \bar{z}\mapsto\bar{\epsilon}(\bar{z})$なる変換を考えると、正則写像は等角写像であることからこの変換は共形変換です。（一般に、局所的な角度を変えない変換を共形変換と言います。）ここで共形変換の生成子を
\begin{equation} Q_\epsilon = \oint_C\frac{dz}{2\pi i}\epsilon(z)T(z),\quad \bar{Q}_{\bar{\epsilon}} = \oint_{\bar{C}}\frac{d\bar{z}}{2\pi i}\bar{\epsilon}(\bar{z})\bar{T}(\bar{z}) \end{equation}
とおくと、"いい性質"を持った場（プライマリ場）$O(z,\bar{z})$の変化は
\begin{equation} \delta_{\epsilon,\bar{\epsilon}}O(z,\bar{z}) = [Q_\epsilon,O(z,\bar{z})] + [\bar{Q}_\bar{\epsilon},O(z,\bar{z})] \end{equation}
となります。この$Q_\epsilon$や$T(z)$を展開する基底がVirasoro代数の基底$L_n$となります。
\begin{gather} Q_\epsilon = -\sum_{n=-\infty}^\infty\epsilon_n L_n,\quad \epsilon(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty\epsilon_n z^{n+1}\\ T(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{L_n}{z^{n+2}},\quad L_n=\oint\frac{dz}{2\pi i}z^{n+1}T(z) \end{gather}
ここからVirasoro代数のLie括弧積も得られます。古典系では中心電荷は$0$になり、Witt代数に落ちますが、量子系では、例えば自由フェルミオンなら$c=1/2$、自由ボゾンなら$c=1$と、系の自由度を勘定するものになります。（これ以上の詳細はわからないので割愛します。詳しい人教えてください。）