群の定義とその簡単な例

代数学,群論,入門

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群の定義などなど

演算

$X$ を集合するとき、写像 $ϕ : X \times X \to X$ のことを集合 $X$ 上の演算という。

$ϕ (a, b)$ のことをabと書くことにする。

群

$G (\neq \emptyset)$ を集合とする。 $G$ 上の演算が定義されていて次の性質を満たすとき、 $G$ は群という。

ある $e \in G$ があって、すべての $a \in G$ に対して、 $a e = e a = a$ を満たす。( $e$ は $G$ の単位元という。)
すべての $a \in G$ に対して、ある $b \in G$ があって、 $a b = b a = e$ となる。( $b$ を $a$ の逆元といい、 $a^{- 1}$ と書く。)
すべての $a, b, c \in G$ に対し、 $a (b c) = (a b) c$ が成り立つ。(結合法則)

群を表す集合として $G$ をよく用いるがこの $G$ はGroup(群)から来ていて、Gunとは関係がない、、はず！

上の演算 $a b$ のことを群の積という。単位元は1と書くこともある。また、どの群の単位元であるかを示すために、単位元を $1_{G}$ と書くこともある。集合 $G$ が群になるとき「集合 $G$ には群の構造が入るという」
$a, b$ が群 $G$ の元で $a b = b a$ を満たすとき、 $a, b$ は可換であるという。 $G$ の任意の元 $a, b$ が可換なら、群 $G$ は可換群(またはアーベル群)であるという。また、可換群でなければ非可換群という。
可換群の場合、積のことを「和」と呼ぶこともある。またこの場合、群の演算を $a b$ でなく $a + b$ と書くことも多い。演算を $a + b$ と書くとき、単位元を $0$ または、 $0_{G}$ $a$ の逆元を $- a$ と書く。

群の位数

$G$ が群であるとき、その元の個数を群 $G$ の位数といい、 $| G |$ とかく。
位数が有限である群を有限群といい、位数が有限でないものを無限群という。

群 $G$ と $a \in G, n \in N$ に対し、

a^{0} = 1, a \dots a = a^{n}

(n個の積)

, a^{- n} = (a^{n})^{- 1}

と定義する。

群の例

$Z, Q, R, C$ は通常の加法により可換群となる。この時、単位元は $0$ 、 $x$ の逆元は $- x$ 、 $x$ の $n$ 個の和は $n x$

(むずかしいかも)

$N$ が群となるように演算を一つ定めよ。

解答例

写像 $ψ : N \to Z$ を $ψ (n) = (- 1)^{n} (2 n + (- 1)^{n} - 1) / 4$ で定義すると写像 $ψ$ は $N$ から $Z$ への全単射となる。
$N$ 上の演算 $ϕ$ を $ϕ : N \times N ∋ (a, b) \mapsto ψ^{- 1} (ψ (a) + ψ (b)) \in N$ で定義すれば、 $N$ はこの演算で可換群となる。

問1.1 (かんたんかも)
上の演算で定義された可換群 $N$ の単位元、逆元の存在をそれぞれ確かめよ。