ベルヌーイ分布の期待値・分散・累積分布関数の導出

仮定より、確率変数$X$がベルヌーイ分布 $\mathrm{Ber}(p)$ に従うから、$P(X=1)=p$および$P(X=0)=1-p$であり、
$X$は$0,1$のみをとる。したがって、離散型確率変数の期待値の定義
$$ \mathbb{E}[X]=\sum_{x\in \{0,1\}} xP(X=x) $$
より、
$$ \begin{aligned} \mathbb{E}[X] &= 0\cdot P(X=0) + 1\cdot P(X=1)\\ &= 0\cdot(1-p) + 1\cdot p\\ &= p \end{aligned} $$
したがって$\mathbb{E}[X]=p$である。
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ベルヌーイ分布 $\mathrm{Ber}(p)$ の定義より $P(X=1)=p,\ P(X=0)=1-p$ であるから、
$$ \mathbb{E}[X]=1\cdot p+0\cdot(1-p)=p $$
ここで、分散公式
$$ \mathbb{V}[X]=\mathbb{E}[X^2]-\bigl(\mathbb{E}[X]\bigr)^2 $$
を用いると、$X$ は $0$ または $1$ の値しか取らないので $X^2=X$ が成り立ち、したがって $\mathbb{E}[X^2]=\mathbb{E}[X]$ である。よって
$$ \begin{aligned} \mathbb{V}[X] &= \mathbb{E}[X] - \left(\mathbb{E}[X]\right)^2 \\ &= p - p^2 \\ &= p(1 - p) \end{aligned} $$
を得る。
$$ \Box$$

1. まず $ x<0 $ の場合を考える。
   $ X $ のとり得る値は $ 0 $ と $ 1 $ であるが、いずれも $ x $ 未満とならない（$x<0$ のとき $\{X\le x\}=\varnothing$）。よって
   $$ \begin{aligned} P(X\le x) &= 0\cdots① \end{aligned} $$
2. 次に $ 0\le x<1 $ の場合を考える。この区間では $ X $ の値 $ 0 $ は $ x $ 以下であるが、$ 1 $ は $ x $ より大きいため含まれない。
   よって
   $$ \begin{aligned} P(X\le x) &= P(X=0)\\ &= 1-p \end{aligned}\cdots② $$
3. 最後に $ x\ge1 $ の場合を考える。ここでは $ X $ のとり得る全ての値 $ 0 $ と $ 1 $ が $ x $ 以下となるため、
   $X$ は必ず $0$ か $1$ を取るので
   $$ \{X\le x\}=\{X=0\}\cup\{X=1\} $$
   この時、$\{X=0\}$ と $\{X=1\}$ は排反であるから、
   $$ \begin{aligned} P(X\le x) &= P(X=0)+P(X=1)\\ &= (1-p)+p\\ &= 1 \end{aligned}\cdots③ $$

-以上の①,②,③より、$ X $ の累積分布関数 $ F(x) $ は
$$ \begin{aligned} F(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\ 1-p, & 0\le x<1,\\ 1, & x\ge1 \end{cases} \end{aligned} $$
と定められることが示された。
$$ \Box$$