【備忘録／用語集】リーマン面上の関数の零点と極

$\mathbb{P}^1$と$\mathbb{C} \cup \{\infty\}$の間の対応をひとつ固定する。
（$N, S \in \mathbb{P}^1$をそれぞれ$\infty$, $0$に対応する点とし，座標関数$\phi \colon \mathbb{P}^1 \setminus \{N\} \to \mathbb{C}$, $\psi \colon \mathbb{P}^1 \setminus \{S\} \to \mathbb{C}$が
$$ \phi(S) = 0 \text{, } \psi(N) = 0$$
$$ \psi(\phi^{-1}(z)) = \frac{1}{z} \quad (z \in \mathbb{C} \setminus \{0\})$$
$$ \phi(\psi^{-1}(w)) = \frac{1}{w} \quad (w \in \mathbb{C} \setminus \{0\})$$
を満たすとする。$\phi$を通じて$\mathbb{P}^1 \setminus \{N\}$と$\mathbb{C}$を同一視する。）

$f, g \colon \mathbb{C} \to \mathbb{C}$を$\mathbb{C}$上の多項式関数としたとき，$\mathbb{C}$上の有理関数$h = f/g$が有理型関数として定まる。
（ただし，$g \neq 0$とする。）

この$h$を$\mathbb{P}^1$上の有理型関数$\tilde{h}$に延長することを考える。

$h$の極全体の集合を$E$とする。
（$g$は多項式関数なので，$E$は有限集合である。）

$\tilde{E} = \phi^{-1} (E)$と置き，$(\mathbb{P}^1 \setminus \{N\}) \setminus \tilde{E}$上
$$ \tilde{h}(P) = h(\phi(P))$$
と定める。
（$\tilde{E}$の各点は$\tilde{h}$の極となる。）

$\tilde{h}$が連続であるようにしたいので，$\lim_{P \to N} \tilde{h}(P)$の様子が分かればよい。

$N$とは異なり$N$の十分近くの点$P$に対して
$$ \tilde{h}(P) = h(\phi(\psi^{-1}(\psi(P)))) = h \left( \frac{1}{\psi(P)} \right) $$
が成り立つ。

$g$の零点は有限集合なので，$N$とは異なり$N$の十分近くの点$P$に対して$g(1/\psi(P)) \neq 0$が成り立つ。

したがって，
$$ h \left( \frac{1}{\psi(P)} \right) = \frac{f \left( \frac{1}{\psi(P)} \right)}{g \left( \frac{1}{\psi(P)} \right)} = \frac{a_m \left( \frac{1}{\psi(P)} \right)^m + \cdots + a_0}{b_n \left( \frac{1}{\psi(P)} \right)^n + \cdots + b_0} $$
である。
（ただし，$a_m z^m + \cdots + a_0$, $b_n z^n + \cdots + b_0$はそれぞれ多項式関数$f(z)$, $g(z)$を書き下したものである。）

$m \leq n$のとき，
$$ \lim_{P \to N} \tilde{h} (P) = \lim_{P \to N} \frac{a_m \psi(P)^{n-m} + \cdots + a_0 \psi(P)^n}{b_n + \cdots + b_0 \psi(P)^n} $$
は有限の極限値$\alpha$を持つ。

この場合，$\tilde{h}(N) = \alpha$と定めて，$\mathbb{P}^1$上の有理型関数$(\tilde{h}, \tilde{E})$が得られる。

$n < m$のとき，
$$ \lim_{P \to N} |\tilde{h}(P)| = \lim_{P \to N} \left| \frac{a_m + \cdots + a_0 \psi(P)^m}{b_n \psi(P)^{m-n} + \cdots + b_0 \psi(P)^m} \right| = + \infty $$
である。

この場合，$N$は$\tilde{h}$の極となり，$\mathbb{P}^1$上の有理型関数$(\tilde{h}, \tilde{E} \cup \{N\})$が得られる。

逆に，$\mathbb{P}^1$上のすべての有理型関数は$\mathbb{C}$上の有理関数を延長したものである。

以下，そのことを確かめる。

$(\tilde{h}, \tilde{E})$を$\mathbb{P}^1$上の$0$でない有理型関数とする。

$\mathbb{P}^1$はコンパクトなので，$\tilde{E}$は有限集合である。

$(\tilde{h}, \tilde{E})$を$\mathbb{C}$に制限した$\mathbb{C}$上の有理型関数$(h, E)$を考える。

ここで，
$$ E = \phi(\tilde{E} \setminus \{N\})$$
$$ h \colon \mathbb{C} \setminus E \to \mathbb{C}; z \mapsto \tilde{h}(\phi^{-1}(z)) $$
である。

$E$の元を$b_1, b_2, \ldots, b_n$と書き並べ，$e_j$を$h$の極$b_j$の位数とする。

$\mathbb{C}$上の多項式関数$g(z) = (z - b_1)^{e_1} \cdots (z - b_n)^{e_n}$を考え，$f = g h$と置くと，$f$は$\mathbb{C}$上の正則関数となる。

$f$の$\mathbb{C}$における冪級数展開を$a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \cdots$とする。

$f$は$\mathbb{P}^1$に延長可能な$\mathbb{C}$上の有理型関数$g$, $h$の積なので，それ自身$\mathbb{P}^1$に延長されて有理型関数$\tilde{f}$となる。

特に，$\tilde{f}$は$N$において高々極を持つ。

したがって，座標近傍$(\psi, \mathbb{P}^1 \setminus \{S\})$を用いた$N$における$f$の座標表示は$w = 0$を除いた$0$の十分近くで
$$ \tilde{f}(\psi^{-1}(w)) = a'_m w^m + a'_{m + 1} w^{m + 1} + \cdots$$
とローラン展開される。

ただし，$m = \operatorname{ord}_N (f)$, $a'_m \neq 0$である。

一方，$w \neq 0$のとき，
\begin{align} \tilde{f}(\psi^{-1}(w)) & = \tilde{f}(\phi^{-1}(\phi(\psi^{-1}(w)))) \\ & = \tilde{f} \left( \phi^{-1} \left( \frac{1}{w} \right) \right) \\ & = a_0 + a_1 \frac{1}{w} + a_2 \frac{1}{w^2} + \cdots \end{align}
である。

したがって，ローラン展開の一意性より

• $m > 0$ならば$f = 0$（これは実際にはあり得ない。）
• $m = 0$ならば$f = a_0 \neq 0$
• $m < 0$ならば$f = a_m z^m + a_{m-1} z^{m-1} + \cdots + a_0$, $a_m \neq 0$

となる。

いずれにしても$f$は多項式関数で，$\mathbb{C}$上$h = f/g$は有理関数となる。