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【備忘録／用語集】リーマン面上の関数の零点と極

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（零点とその位数）

$X$ をリーマン面とし， $f : X \to C$ を $X$ 上の $0$ でない正則関数とする。
$P_{0} \in X$ における $f$ の座標表示を考える。
$P_{0}$ の座標 $z_{0}$ が座標表示された関数の $m$ 位の零点であるとき， $P_{0}$ は $f$ の $m$ 位の零点であるという。

（上の定義が座標表示の仕方に依らないこと）

$P_{0}$ を含むような $X$ の座標近傍 $(\tilde{ϕ} : U \to \tilde{U}, U)$ を考えたとき， $f$ の座標表示が
$f ({\tilde{ϕ}}^{- 1} (z)) = (z - z_{0})^{m} \tilde{g} (z), \tilde{g} (z_{0}) \neq 0$
となったとする。

$U = \tilde{U} - z_{0}$ と置き，新たに局所座標関数
$ϕ : U \to U; P \mapsto \tilde{ϕ} (P) - z_{0}$
を考える。

$ϕ$ の逆写像が
$ϕ^{- 1} : U \to U; s \mapsto {\tilde{ϕ}}^{- 1} (s + z_{0})$
であることに注意すると， $f$ の座標表示は
$f (ϕ^{- 1} (s)) = f ({\tilde{ϕ}}^{- 1} (s + z_{0})) = s^{m} g (s)$
となる。ただし， $g (s) = \tilde{g} (s + z_{0})$ である。

$P_{0}$ における $f$ の別の座標表示を考えたとき， $P_{0}$ の座標 $w_{0}$ が座標表示された関数の $l$ 位の零点であったとする。

このとき，上と同様にして， $P_{0}$ のある局所座標近傍 $(ψ : V \to V, V)$ を用いた $f$ の座標表示が
$f (ψ^{- 1} (t)) = t^{l} h (t), h (0) \neq 0$
となるようにできる。

$P_{0}$ の２つの局所座標近傍の間の変換関数
$T_{ψ ϕ} : ϕ (U \cap V) \to ψ (U \cap V)$
を考えたとき， $0 \in W \subset ϕ (U \cap V)$ を満たすような $C$ のある開集合 $W$ と $W$ 上の正則関数 $u : W \to C$ が存在して， $W$ 上
$T_{ψ ϕ} (s) = s u (s), u (0) \neq 0$
が成り立つ。

したがって， $W$ 上
$s^{m} g (s) = f (ϕ^{- 1} (s)) = f (ψ^{- 1} (T_{ψ ϕ} (s))) = s^{l} u (s)^{l} h (s u (s))$
であり， $W ∖ {0}$ 上
$s^{m - l} = \frac{u (s)^{l} h (s u (s))}{g (s)}$
である。

$s \to 0$ のとき，右辺はゼロでない有限の値に収束するので， $m = l$ である。

リーマン面 $X$ 上の $0$ でない正則関数の零点全体からなる集合は $X$ 内に集積点を持たない。

$X$ をリーマン面とし， $E$ を $X$ の閉集合とする。
いま， $X ∖ E$ が $X$ 内の領域になっていると仮定する。
$f : X ∖ E \to C$ を $X ∖ E$ 上の正則関数とし， $P_{0}$ を $E$ の孤立点とする。
$P_{0}$ を含むような $X$ の座標近傍 $(ϕ : U \to U, U)$ で $U \cap E = {P_{0}}$ を満たすようなものを考える。
このとき， $U ∖ {P_{0}} \subset X ∖ E$ であり，写像
$U ∖ {z_{0}} \to C; z \mapsto f (ϕ^{- 1} (z))$
が定義される。（ただし， $z_{0} = ϕ (P_{0})$ である。）
これを $P_{0}$ における $f$ の（ひとつの）座標表示という。

（極とその位数）

上の状況で， $z_{0}$ が座標表示された関数の $m$ 位の極であるとき， $P_{0}$ は $f$ の $m$ 位の極であるという。

（上の定義が座標表示の仕方に依らないこと）

まず， $lim_{P \to P_{0}} | f (P) | = + \infty$ であり， $P_{0}$ を除いた $P_{0}$ の十分近くで $f (P) \neq 0$ が成り立つ。

そこで関数 $g (P)$ を $P \neq P_{0}$ のとき $g (P) = 1 / f (P)$ , $g (P_{0}) = 0$ と定めると， $g (P)$ は正則となる。

$P_{0}$ は $g (P)$ の $m$ 位の零点なので， $m$ の値は座標表示の仕方に依らない。

リーマン面 $X$ の部分集合 $E$ が $X$ 内に集積点を持たないとき， $X ∖ E$ は $X$ 内の領域となる。

（有理型関数）

$X$ をリーマン面とし， $E$ を $X$ 内に集積点を持たないような $X$ の部分集合とする。
$X ∖ E$ 上の正則関数 $f : X ∖ E \to C$ が $E$ の各点を極に持つとき，組 $(f, E)$ を $X$ 上の有理型関数という。

また， $X$ の開集合 $U$ 上の有理型関数とは， $U$ の各連結成分を $X$ の開リーマン面とみて，その上の有理型関数を考え，それらを組にしたもののことである。

（点における関数の位数）

$X$ をリーマン面とし， $U$ を $X$ の開集合とする。
$f$ を $U$ 上の有理型関数であって $U$ のどの連結成分においても $0$ でないものとする。
このとき， $P \in U$ に対し，
${ord}_{P} (f) = {\begin{cases} m & （ P が f の m 位の零点のとき） \\ - m & （ P が f の m 位の極のとき） \\ 0 & （それ以外のとき） \end{cases}$
と定め，これを $P$ における $f$ の位数という。

（

P^{1}

上の有理型関数）

$P^{1}$ と $C \cup {\infty}$ の間の対応をひとつ固定する。
（ $N, S \in P^{1}$ をそれぞれ $\infty$ , $0$ に対応する点とし，座標関数 $ϕ : P^{1} ∖ {N} \to C$ , $ψ : P^{1} ∖ {S} \to C$ が
$ϕ (S) = 0, ψ (N) = 0$
$ψ (ϕ^{- 1} (z)) = \frac{1}{z} (z \in C ∖ {0})$
$ϕ (ψ^{- 1} (w)) = \frac{1}{w} (w \in C ∖ {0})$
を満たすとする。 $ϕ$ を通じて $P^{1} ∖ {N}$ と $C$ を同一視する。）

$f, g : C \to C$ を $C$ 上の多項式関数としたとき， $C$ 上の有理関数 $h = f / g$ が有理型関数として定まる。
（ただし， $g \neq 0$ とする。）

この $h$ を $P^{1}$ 上の有理型関数 $\tilde{h}$ に延長することを考える。

$h$ の極全体の集合を $E$ とする。
（ $g$ は多項式関数なので， $E$ は有限集合である。）

$\tilde{E} = ϕ^{- 1} (E)$ と置き， $(P^{1} ∖ {N}) ∖ \tilde{E}$ 上
$\tilde{h} (P) = h (ϕ (P))$
と定める。
（ $\tilde{E}$ の各点は $\tilde{h}$ の極となる。）

$\tilde{h}$ が連続であるようにしたいので， $lim_{P \to N} \tilde{h} (P)$ の様子が分かればよい。

$N$ とは異なり $N$ の十分近くの点 $P$ に対して
$\tilde{h} (P) = h (ϕ (ψ^{- 1} (ψ (P)))) = h (\frac{1}{ψ (P)})$
が成り立つ。

$g$ の零点は有限集合なので， $N$ とは異なり $N$ の十分近くの点 $P$ に対して $g (1 / ψ (P)) \neq 0$ が成り立つ。

したがって，
$h (\frac{1}{ψ (P)}) = \frac{f (\frac{1}{ψ (P)})}{g (\frac{1}{ψ (P)})} = \frac{a_{m} {(\frac{1}{ψ (P)})}^{m} + \dots + a_{0}}{b_{n} {(\frac{1}{ψ (P)})}^{n} + \dots + b_{0}}$
である。
（ただし， $a_{m} z^{m} + \dots + a_{0}$ , $b_{n} z^{n} + \dots + b_{0}$ はそれぞれ多項式関数 $f (z)$ , $g (z)$ を書き下したものである。）

$m \leq n$ のとき，
$lim_{P \to N} \tilde{h} (P) = lim_{P \to N} \frac{a_{m} ψ (P)^{n - m} + \dots + a_{0} ψ (P)^{n}}{b_{n} + \dots + b_{0} ψ (P)^{n}}$
は有限の極限値 $α$ を持つ。

この場合， $\tilde{h} (N) = α$ と定めて， $P^{1}$ 上の有理型関数 $(\tilde{h}, \tilde{E})$ が得られる。

$n < m$ のとき，
$lim_{P \to N} | \tilde{h} (P) | = lim_{P \to N} | \frac{a_{m} + \dots + a_{0} ψ (P)^{m}}{b_{n} ψ (P)^{m - n} + \dots + b_{0} ψ (P)^{m}} | = + \infty$
である。

この場合， $N$ は $\tilde{h}$ の極となり， $P^{1}$ 上の有理型関数 $(\tilde{h}, \tilde{E} \cup {N})$ が得られる。

逆に， $P^{1}$ 上のすべての有理型関数は $C$ 上の有理関数を延長したものである。

以下，そのことを確かめる。

$(\tilde{h}, \tilde{E})$ を $P^{1}$ 上の $0$ でない有理型関数とする。

$P^{1}$ はコンパクトなので， $\tilde{E}$ は有限集合である。

$(\tilde{h}, \tilde{E})$ を $C$ に制限した $C$ 上の有理型関数 $(h, E)$ を考える。

ここで，
$E = ϕ (\tilde{E} ∖ {N})$
$h : C ∖ E \to C; z \mapsto \tilde{h} (ϕ^{- 1} (z))$
である。

$E$ の元を $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ と書き並べ， $e_{j}$ を $h$ の極 $b_{j}$ の位数とする。

$C$ 上の多項式関数 $g (z) = (z - b_{1})^{e_{1}} \dots (z - b_{n})^{e_{n}}$ を考え， $f = g h$ と置くと， $f$ は $C$ 上の正則関数となる。

$f$ の $C$ における冪級数展開を $a_{0} + a_{1} z + a_{2} z^{2} + \dots$ とする。

$f$ は $P^{1}$ に延長可能な $C$ 上の有理型関数 $g$ , $h$ の積なので，それ自身 $P^{1}$ に延長されて有理型関数 $\tilde{f}$ となる。

特に， $\tilde{f}$ は $N$ において高々極を持つ。

したがって，座標近傍 $(ψ, P^{1} ∖ {S})$ を用いた $N$ における $f$ の座標表示は $w = 0$ を除いた $0$ の十分近くで
$\tilde{f} (ψ^{- 1} (w)) = a_{m}^{'} w^{m} + a_{m + 1}^{'} w^{m + 1} + \dots$
とローラン展開される。

ただし， $m = {ord}_{N} (f)$ , $a_{m}^{'} \neq 0$ である。

一方， $w \neq 0$ のとき，
$\begin{aligned} \tilde{f} (ψ^{- 1} (w)) & = \tilde{f} (ϕ^{- 1} (ϕ (ψ^{- 1} (w)))) \\ = \tilde{f} (ϕ^{- 1} (\frac{1}{w})) \\ = a_{0} + a_{1} \frac{1}{w} + a_{2} \frac{1}{w^{2}} + \dots \end{aligned}$
である。

したがって，ローラン展開の一意性より

$m > 0$ ならば $f = 0$ （これは実際にはあり得ない。）
$m = 0$ ならば $f = a_{0} \neq 0$
$m < 0$ ならば $f = a_{m} z^{m} + a_{m - 1} z^{m - 1} + \dots + a_{0}$ , $a_{m} \neq 0$

となる。

いずれにしても $f$ は多項式関数で， $C$ 上 $h = f / g$ は有理関数となる。

直前の例と同じように， $P^{1}$ と $C \cup {\infty}$ の間の対応をひとつ固定する。

これに基づいて，リーマン面 $X$ 上の有理型関数 $(f, E)$ を $X$ から $P^{1}$ への正則写像 $\tilde{f}$ に延長することができる。

つまり， $X ∖ E$ 上 $\tilde{f} (P) = ϕ^{- 1} (f (P))$ と定めると， $\tilde{f}$ は $X$ 全体に延長され，正則写像 $\tilde{f} : X \to P^{1}$ を定める。

以下，そのことを確かめる。

まず， $P_{0} \in E$ とすると， $P_{0}$ が $E$ の孤立点であることから， $X$ のある開集合 $U$ が存在して $U ∖ {P_{0}} \subset X ∖ E$ となる。

$P_{0}$ は $f$ の極なので，必要であれば $U$ を小さく取り替えることにより， $U ∖ {P_{0}}$ 上 $f (P) \neq 0$ であるとしてよい。

このとき，
$\begin{aligned} lim_{P \to P_{0}} \tilde{f} (P) & = lim_{P \to P_{0}} ϕ^{- 1} (f (P)) \\ = lim_{P \to P_{0}} ψ^{- 1} (ψ (ϕ^{- 1} (f (P)))) \\ = lim_{P \to P_{0}} ψ^{- 1} (\frac{1}{f (P)}) \\ = ψ^{- 1} (0) \\ = N \end{aligned}$
が成り立つ。