代数幾何 4択クイズ

代数幾何の本で行間になっていた事実をクイズにしました.

Q001 テンソル積で得られる環$K = \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}(\sqrt{2})$について正しい文章はどれか.

1.$1 \otimes \sqrt{2}$は$K$の零因子である.
2.$\sqrt{2} \otimes 1$は$K$の零因子である.
3.$K$には零因子が存在するが,上の二つではない.
4.$K$には零因子が存在しない.

解答:
正しいのは3番.
解説:
$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$を$\mathbb{Q}[T]/(T^2-2)$とみなすと,$K$は
$\mathbb{Q}(\sqrt{2})[T]/(T^2-2)$と見なせる.(係数が$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$の多項式を$T^2-2$で割ったもの)
このとき$T^2-2$は$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$において$(T-\sqrt{2})(T + \sqrt{2})$と因数分解できるので,
$T-\sqrt{2}$に対応する$K$の元$1 \otimes \sqrt{2} - \sqrt{2} \otimes 1$は$0$ではなく,$1 \otimes \sqrt{2} + \sqrt{2} \otimes 1$と積を取ると,$0$になることが分かる.

実際,$(1 \otimes \sqrt{2} - \sqrt{2} \otimes 1)(1 \otimes \sqrt{2} + \sqrt{2} \otimes 1) = 1 \otimes 2 - 2 \otimes 1 $
となり$\mathbb{Q}$の元$2$に対して$1 \otimes 2 = 2 \otimes 1$となるので,$0$となる.

従って$K$には零因子が存在する.
$1 \otimes \sqrt{2}$には$T$が対応するが,これは$T^2-2$を割り切らないため零因子ではない.
$\sqrt{2} \otimes 1$には$\sqrt{2}$が対応するが,これで$T^2-2$を割っても,$0$でない因子は得られない.