二項演算に関する諸性質
最初に
二項演算についての諸性質と、それが成り立つものと成り立たないものをまとめました。
一部空欄がありますが、ご容赦ください。
可換律
二項演算が可換であるとは、任意の元について以下が成り立つことをいう。
$a・b=b・a$
成り立つもの
実数における和、積
複素数における和、積
四元数における和
八元数における和
など、$2^n$元数における和
双複素数における和、積
など
成り立たないもの
四元数における積
八元数における積
など、$4$次元以上の$2^n$元数における積
分解型四元数における積
など
反可換律
二項演算が反可換であるとは、任意の元について以下が成り立つことをいう。
$a・b=-b・a$
成り立つもの
四元数における一部の積
分解型四元数における一部の積
など
成り立たないもの
実数における和、積
複素数における和、積
など、可換であるもの
など
結合律
二項演算が結合的であるとは、任意の元について以下が成り立つことをいう。
$a・(b・c)=(a・b)・c$
成り立つもの
実数における和、積
複素数における和、積
四元数における和、積
八元数における和
など、$2^n$元数における和
など
成り立たないもの
八元数における積
十六元数における積
三十二元数における積
など、$8$次元以上の$2^n$元数における積
など
反結合律
二項演算が反結合的であるとは、任意の元について以下が成り立つことをいう。
$a・(b・c)=-(a・b)・c$
成り立つもの
八元数における一部の積
十六元数における一部の積
など
成り立たないもの
実数における和、積
複素数における和、積
四元数における和、積
など、結合的であるもの
など
冪結合律
二項演算が冪結合的であるとは、任意の元について以下が成り立つことをいう。
$a・(a・a)=(a・a)・a$
成り立つもの
実数における和、積
複素数における和、積
四元数における和、積
八元数における和、積
など、$2^n$元数における和、積
など
成り立たないもの
不明
交代律
二項演算が交代的であるとは、任意の元について以下の両方が成り立つことをいう。
$a・(a・b)=(a・a)・b$……①
$(b・a)・a=b・(a・a)$……②
①が成り立つことを左交代的といい、②が成り立つことを右交代的という。
成り立つもの
実数における和、積
複素数における和、積
四元数における和、積
八元数における和、積
など、$2^n$元数における和
など
成り立たないもの
十六元数における積
三十二元数における積
など、$16$次元以上の$2^n$元数における積
など
Flexible律
二項演算がFlexible的であるとは、任意の元について以下が成り立つことをいう。
$a・(b・a)=(a・b)・a$
成り立つもの
実数における和、積
複素数における和、積
四元数における和、積
八元数における和、積
など、$2^n$元数における和、積
など
成り立たないもの
不明
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