大学数学基礎解説

二項演算に関する諸性質

二項演算,多元数論

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

最初に

二項演算についての諸性質と、それが成り立つものと成り立たないものをまとめました。
一部空欄がありますが、ご容赦ください。

可換律

二項演算が可換であるとは、任意の元について以下が成り立つことをいう。
$a ・ b = b ・ a$

成り立つもの

実数における和、積
複素数における和、積
四元数における和
八元数における和
など、 $2^{n}$ 元数における和
双複素数における和、積

など

成り立たないもの

四元数における積
八元数における積
など、 $4$ 次元以上の $2^{n}$ 元数における積
分解型四元数における積

など

反可換律

二項演算が反可換であるとは、任意の元について以下が成り立つことをいう。
$a ・ b = - b ・ a$

成り立つもの

四元数における一部の積
分解型四元数における一部の積

など

成り立たないもの

実数における和、積
複素数における和、積
など、可換であるもの

など

結合律

二項演算が結合的であるとは、任意の元について以下が成り立つことをいう。
$a ・ (b ・ c) = (a ・ b) ・ c$

成り立つもの

実数における和、積
複素数における和、積
四元数における和、積
八元数における和
など、 $2^{n}$ 元数における和

など

成り立たないもの

八元数における積
十六元数における積
三十二元数における積
など、 $8$ 次元以上の $2^{n}$ 元数における積

など

反結合律

二項演算が反結合的であるとは、任意の元について以下が成り立つことをいう。
$a ・ (b ・ c) = - (a ・ b) ・ c$

成り立つもの

八元数における一部の積
十六元数における一部の積

など

成り立たないもの

実数における和、積
複素数における和、積
四元数における和、積
など、結合的であるもの

など

冪結合律

二項演算が冪結合的であるとは、任意の元について以下が成り立つことをいう。
$a ・ (a ・ a) = (a ・ a) ・ a$

成り立つもの

実数における和、積
複素数における和、積
四元数における和、積
八元数における和、積
など、 $2^{n}$ 元数における和、積

など

成り立たないもの

不明

交代律

二項演算が交代的であるとは、任意の元について以下の両方が成り立つことをいう。
$a ・ (a ・ b) = (a ・ a) ・ b$ ……①
$(b ・ a) ・ a = b ・ (a ・ a)$ ……②

①が成り立つことを左交代的といい、②が成り立つことを右交代的という。

成り立つもの

実数における和、積
複素数における和、積
四元数における和、積
八元数における和、積
など、 $2^{n}$ 元数における和

など

成り立たないもの

十六元数における積
三十二元数における積
など、 $16$ 次元以上の $2^{n}$ 元数における積

など

Flexible律

二項演算がFlexible的であるとは、任意の元について以下が成り立つことをいう。
$a ・ (b ・ a) = (a ・ b) ・ a$

成り立つもの

実数における和、積
複素数における和、積
四元数における和、積
八元数における和、積
など、 $2^{n}$ 元数における和、積

など

成り立たないもの

不明

投稿日：5月5日

更新日：5月10日

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投稿者

ヴァル

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二項演算に関する諸性質

最初に
可換律
反可換律
結合律
反結合律
冪結合律
交代律
Flexible律