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大学数学基礎解説

東大数理院試過去問解答例(2023B03)

ガロア理論,代数,大学院入試
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ここでは東大数理の修士課程の院試の2023B03の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2023B03

$K=\mathbb{R}(X)$とし、多項式
$$ f(T)=T^8+4T^6+(7-X)T^4+4T^2+1 $$
の解の一つを$Y$とおく。更に$M:=K(Y)$とおき、$M/K$のGalois閉包を$L$とおく。
(1) 拡大次数$[M:K]$及び$[L:K]$を求めよ。
(2) $L/K$の中間体$N$で、$L/N$が巡回$4$次拡大であるようなものの個数を求めよ。
(3) $L/K$の中間体で、$K$上アーベルであるようなもののうち最大のものを$F$とおく。$[F:K]$及び$F$を求めよ。

  1. まず
    $$ \begin{split} f&=(T^2+1)^4-(X-1)T^4\\ &=((T^2+1)^2-\sqrt{X-1}T^2)((T^2+1)^2+\sqrt{X-1}T^2)\\ &=(T^2-\sqrt[4]{X-1}T+1)(T^2+\sqrt[4]{X-1}T+1)(T^2-i\sqrt[4]{X-1}T+1)(T^2+i\sqrt[4]{X-1}T+1) \end{split} $$
    であり、第一項の根の一つを$Y$とする。このとき$K(Y)$は定義から$K(\sqrt[4]{X-1})$の$2$次拡大であるから$[M:K]={\color{red}8}$である。次に
    $$ L=\mathbb{C}\left(\sqrt[4]{X-1},\sqrt{\sqrt{X-1}-4},\sqrt{\sqrt{X-1}+4}\right) $$
    である。ここで$\alpha=\sqrt{X-1}$とおく。このとき
    $$ L=\mathbb{C}(\sqrt{\alpha},\sqrt{\alpha-4},\sqrt{\alpha+4}) $$
    は$\mathbb{C}(\alpha)$上$8$次拡大であり、$\mathbb{C}(\alpha)$は$K$上$4$次拡大である。よって$[L:K]={\color{red}32}$である。
  2. まず体
    $$ S=\mathbb{R}(\sqrt{X-1}) $$
    を考えたとき、$\mathrm{Gal}(L/S)\simeq(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^4$である。これは巡回$4$次部分拡大を持たないから、$N$は$S$を含まない。よって位数$4$の巡回群$\mathrm{Gal}(L/N)$の生成元$\sigma$を取ったとき、これは$\sigma(\sqrt{X-1})=-\sqrt{X-1}$を満たしている。このような元は
    $$ \begin{split} \sigma\left(\sqrt[4]{X-1}\right)&=\pm i\sqrt[4]{X-1}\\ \sigma\left(\sqrt{\sqrt{X-1}-4}\right)&=\pm i\sqrt{\sqrt{X-1}+4}\\ \sigma\left(\sqrt{\sqrt{X-1}+4}\right)&=\pm i\sqrt{\sqrt{X-1}-4}\\ \sigma(i)&=\pm i \end{split} $$
    を満たすもので尽くされるが、この中で位数$4$の元は$12$個ある。よって$N$の個数は$\frac{12}{6}={\color{red}6}$個である。
  3. まず$L/K$はアーベル拡大であったとすると、
    $$ G\simeq \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3 $$
    であるが、このとき位数$4$の巡回部分群の個数は$8$個になり(2)の結果に矛盾する。よって$L/K$はアーベル拡大ではなく、特に$F$の次数は$16$以下になる。ここで体
    $$ \mathbb{C}(\sqrt[4]{X-1},\sqrt{X-17}) $$
    は$K$のアーベル$16$次拡大である。よって$$ F={\color{red}\mathbb{C}(\sqrt[4]{X-1},\sqrt{X-17})} $$
    であり、$[F:K]={\color{red}16}$である。
投稿日：2023年10月17日

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佐々木藍
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佐々木藍(Ai Sasaki)です。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。X(旧Twitter)→＠sasaki_aiiro

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