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東大数理院試過去問解答例(2023B03)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2023B03の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2023B03

K=R(X)とし、多項式
f(T)=T8+4T6+(7X)T4+4T2+1
の解の一つをYとおく。更にM:=K(Y)とおき、M/KのGalois閉包をLとおく。
(1) 拡大次数[M:K]及び[L:K]を求めよ。
(2) L/Kの中間体Nで、L/Nが巡回4次拡大であるようなものの個数を求めよ。
(3) L/Kの中間体で、K上アーベルであるようなもののうち最大のものをFとおく。[F:K]及びFを求めよ。

  1. まず多項式fR(X)の範囲で因数分解できたとすると、R係数多項式j,g,hを用いて
    f=f(X,T)=j(T)(g(T)X+h(T))
    と分解できることがわかる。しかしj(T)fX=1及び2を代入した(T2+1)4及び(T4+1)2T4のいずれも割り切らないといけないから定数になるしかない。以上からfの既約性が従う。特にYの取り方に関わらず[M:K]=8である。次に
    f=(T2+1)4(X1)T4=((T2+1)2X1T2)((T2+1)2+X1T2)=(T2X14T+1)(T2+X14T+1)(T2iX14T+1)(T2+iX14T+1)
    である。以上の因数分解及び既約多項式の根を一つ添加した体のガロア閉包は既約多項式の最小分解体なことを考慮すると、
    L=C(X14,X14,X1+4)
    なことがわかる。α=X1とおく。このとき
    L=C(α,α4,α+4)
    C(α)8次拡大であり、C(α)K4次拡大である。よって[L:K]=32である。
  2. まず体
    S=R(X1)
    を考えたとき、H:=Gal(L/S)(Z/2Z)4である。これは巡回4次部分拡大を持たないから、NSを含まない。よって位数4の巡回群Gal(L/N)の生成元σを取ったとき、これはσ(X1)=X1を満たしている。このような元は
    σ(X14)=±iX14σ(X14)=±iX1+4σ(X1+4)=±iX14σ(i)=±i
    を満たすもので尽くされるが、この中で位数4の元は12個ある。よってNの個数は126=6個である。
  3. まずτG
    σ(X14)=iX14σ(X14)=iX1+4σ(X1+4)=iX14σ(i)=i
    で定まる元とし、その生成する部分群をIZ/2Zとする。次にσs,t,u,r
    σs,t,u,r(X14)=(1)sX14σs,t,u,r(X14)=(1)tX14σs,t,u,r(X1+4)=(1)uX1+4σs,t,u,r(i)=(1)ri
    で定義されるものとする。これら全体はHを生成する。このとき
    GHI(Z/2Z)4Z/2Z
    である。いまGの交換子部分群は任意のs,t,u,rに対して
    τσs,t,u,rτσs,t,u,r=σ0,s,s+r+u,s+r+u
    を含むので、交換子部分群は少なくとも4つの元を持つ。よって[F:K]324=8である。実際
    C(X1,X17)
    K8次アーベル拡大になっている。以上から
    F=C(X1,X17)
    であり、[F:K]=8である。

上記の議論に於いてτσs,t,u,rへの共役を直接計算することで、Gの群構造は
Z/2ZGL4(Z/2Z)i(1000110010011010)i
の誘導する半直積
(Z/2Z)4Z/2Z
として実現されることがわかります。しかしこの問題に於いては(2)では位数4の元の個数を、(3)では交換子部分群が位数4以上なことを見れば充分であり、いずれも群構造を求めてからこれらを見るよりガロア群の元として直接計算する方が早く確実と判断し、その方針で議論を進めました。

投稿日:20231017
更新日:2024826
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藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

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