ここでは東大数理の修士課程の院試の2023B03の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
$K=\mathbb{R}(X)$とし、多項式
$$
f(T)=T^8+4T^6+(7-X)T^4+4T^2+1
$$
の解の一つを$Y$とおく。更に$M:=K(Y)$とおき、$M/K$のGalois閉包を$L$とおく。
(1) 拡大次数$[M:K]$及び$[L:K]$を求めよ。
(2) $L/K$の中間体$N$で、$L/N$が巡回$4$次拡大であるようなものの個数を求めよ。
(3) $L/K$の中間体で、$K$上アーベルであるようなもののうち最大のものを$F$とおく。$[F:K]$及び$F$を求めよ。
上記の議論に於いて$\tau$の$\sigma_{s,t,u,r}$への共役を直接計算することで、$G$の群構造は
$$
\begin{split}
\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&\to& \mathrm{GL}_4(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\\
i&\mapsto&\begin{pmatrix}
1&0&0&0\\
1&1&0&0\\
1&0&0&1\\
1&0&1&0
\end{pmatrix}^i\\
\end{split}
$$
の誘導する半直積
$$
(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^4\rtimes\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}
$$
として実現されることがわかります。しかしこの問題に於いては(2)では位数$4$の元の個数を、(3)では交換子部分群が位数$4$以上なことを見れば充分であり、いずれも群構造を求めてからこれらを見るよりガロア群の元として直接計算する方が早く確実と判断し、その方針で議論を進めました。