Conway-CoxeterのFrieze PatternとLiouvilleの微分方程式

はじめに；Frieze Patternとは

この文章ではConway-Coxeterのfrieze patternと, その連続極限であるLiouvilleの偏微分方程式についての事実をまとめる.

$$\begin{array}{ccccccc}1& & 1& & 1& & 1\\ & 3& & 2& & 2& \\ 2& & 5& & 3& & 3\\ & 3& & 7& & 4& \\ 1& & 4& & 9& & 1\\ & 1& & 5& & 2& \\ 1& & 1& & 1& & 1\end{array}$$
のように, 斜めの格子上に数が並んでいて, 全ての4つ組
$$\begin{array}{ccc}& b& \\ a& & d\\ & c& \end{array}$$
に対して$ad-bc=1$が成り立つものをConway-Coxeterのfrieze patternと呼ぶ.

Frieze Patternの性質

整数性

$$\begin{array}{ccccc}& & e& & \\ & b& & g& \\ a& & d& & i\\ & c& & h& \\ & & f\end{array}$$
部分的にこういう並び($ad-bc=1$等が成り立つ)のときに$a,\dots ,h$が
正整数なら$i$も整数であることを言いたい。次のような行列の積を考える（上の並びを2$\times$2のブロックで見たときの下$\times$左${}^{-1}\times$上という形をしている）；
$$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{cc}c& d\\ f& h\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{cc}b& e\\ d& g\end{array}\right)\\ =& \left(\begin{array}{cc}c& d\\ f& h\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}b& e\\ d& g\end{array}\right)\\ =& \left(\begin{array}{cc}d& g\\ h& j\end{array}\right),\end{array}$$
ただし$j=fde-hce-fbg+hag$であり、これは$a,\dots ,h$が整数ならばやはり整数.
一方、行列式の性質より$dj-gh=1$であり、frieze patternのルールにより$di-gh=1$でもあるので$i=j$. よって左から右への帰納法が使えるので、パターンに登場する数は全て整数.

周期性

まず便宜上frieze pattern を45度回転して、
$$\begin{array}{r}\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & 1& 0& -1\\ a_{21}& a_{22}& & & 1& 0\\ ⋮& & \ddots & & & \ddots \\ 1& & & & & \\ 0& 1& & & & \\ -1& 0& \ddots & & & \end{array}\end{array}$$
というように、パターンに現れる数たちを$a_{i,j}$とする. Frieze pattern のルールに則り、斜めに並んだ$1$の外側を$0$、さらにその外側を$-1$で形式的に埋めてある. 各の位置にある$2\times 2$小正方行列を
$\left(\begin{array}{cc}{a}_{i,j}& a_{i,j+1}\\ a_{i+1,j}& a_{i+1,j+1}\end{array}\right)\equiv A_{i,j}$
とすると、

がなりたつ. これより、

上の図より
$A_{1+k,1}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right),A_{1,1+l}=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$
となる$k,l$が存在するので、
$$\begin{array}{rl}{A}_{1+k,1+l}& =A_{1+k,1}{A_{1,1}}^{-1}{A}_{1,1+l}\\ & =\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{a}_{22}& -a_{12}\\ -a_{21}& a_{11}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{21}\\ a_{12}& a_{22}\end{array}\right)(={A_{1,1}}^{\mathrm{T}}),\end{array}$$
がなりたつ（周期性）.

連続極限

Frieze pattern のルール

において$a_{i,j}={\epsilon }^{-1}u(x,y),a_{i+k,j+l}={\epsilon }^{-1}u(x+k\epsilon ,y+l\epsilon )$とおいて連続極限$\epsilon \to 0$をとると,

ただし, $u_x\equiv {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}}$などの表記を用いる. 変換$u=e^{\varphi }$により, 可積分系におけるLiouvilleの偏微分方程式

が現れる.

一般解

変数変換$u^{-2}=-\lambda$をおこなったLiouville の偏微分方程式

の一般解を求めたい. 変数変換$\lambda ={\theta }_x$を行い, $x$で一回積分すると,
$$\begin{array}{r}\frac{{\theta }_{xy}}{{\theta }_x}=2\theta +\mu (y),\end{array}$$
ただし$\mu$は任意函数. 分母を払って再び$x$で積分すると,
$$\begin{array}{}\text{(3)}& {\theta }_y={\theta }^2+\mu (y)\theta +C(y).\end{array}$$
ただし$C$も任意函数. これはRiccati型常微分方程式の形をしているので, 特殊解${\theta }_0(y)=\varpi (y)$が見つかれば一般解を求めることができる; 変数変換
$$\begin{array}{r}\theta (x,y)=\varpi (y)-\frac{1}{\zeta (x,y)},\end{array}$$
を($\text{3}$)に代入し, $\varpi$が特解であることに注意して整理すると,
$$\begin{array}{r}{\zeta }_y+(2\varpi +\mu )\zeta =1.\end{array}$$
これは容易に積分ができて,
$$\begin{array}{r}\psi (y)+\phi (x)={\psi }^{\prime }(y)\zeta .\end{array}$$
ただし,
$$\begin{array}{r}{\psi }^{\prime }(y)=\exp {\int }^y(2\varpi +\mu )dy,\end{array}$$
により, 任意函数$\mu$の自由度を$\psi$で置き換えた. また$\phi (x)$は新たな任意函数（$y$で積分した時の積分定数）である. 結局,

である（特解$\varpi$に依らない）[1].

Sturm-Liouville系との関係

差分方程式($\text{1}$)を"元祖" Frieze pattern の境界条件$a_{i,i}=0,a_{i+1,i}=1$のもとで解くと

という解が得られる. これをヒントに非線形方程式($\text{2}$)を境界条件
$$\begin{array}{}\text{(6)}& u(x,x)=0,u_y(x,x)=1,\end{array}$$
のもとで解きたい. 離散版の解($\text{5}$)に倣って$u(x,y)=f(x)g(y)-f(y)g(x)$というansatzをおくと, ($\text{6}$)より$f(x)g^{\prime }(x)-f^{\prime }(x)g(x)=1$. このとき($\text{2}$)も満たされる. よって$f(x),g(x)$は適当な重み函数$w(x)$に対してSturm-Liouville型微分方程式
$$\begin{array}{r}[\frac{d^2}{d{x}^2}+w(x)]\psi (x)=0,\end{array}$$
の線型独立な解になっている. なお、境界条件は$f(0)=g^{\prime }(0)=1,f^{\prime }(0)=g(0)=0$が$u(0,y)=g(y),u_x(0,y)=-f(y)$に対応する.

周期解

Liouville方程式（を変数変換したもの）
$$\begin{array}{r}u{u}_{xy}-u_x{u}_y=1,\end{array}$$
の解, 特に離散版の"元祖" frieze pattern のような周期的な解を求めたい. 一般解($\text{4}$)において$\phi (x)=f(x{)}^{-1},\psi (y)=g(y)$とおくと($\text{2}$)の一般解は

である. しかし、実周期解$u(x,y)$を作ろうと思って$f$や$g$を実周期函数にすると不都合が生じる；つまり、実周期函数$f(x)$はどこかで$f^{\prime }(x)=0$となるので$u$が特異点を持ってしまうのである.
これを解決するには$f$や$g$を複素周期函数にすればよい. つまり, $u$が実になるように$f(x)=i{e}^{2i\varphi (x)},g(y)=i{e}^{-2i\psi (y)}$とおくと,
$$\begin{array}{r}u(x,y)=\frac{\sin (\varphi (x)-\psi (y))}{\sqrt{{\varphi }^{\prime }(x){\psi }^{\prime }(y)}}.\end{array}$$
今度は$\varphi$や$\psi$に課される条件がより緩やかな"準周期性"
$$\begin{array}{r}\varphi (x+2\pi )-\varphi (x)\in 2\pi \mathbb{N},\psi (y+2\pi )-\psi (y)\in 2\pi \mathbb{N},\end{array}$$
になるので, これと分母が消えない条件${\varphi }^{\prime },{\psi }^{\prime }\ne 0$をみたすような$\varphi ,\psi$をとればよい. たとえば${\varphi }^{\prime }(x)={\psi }^{\prime }(x)=(3+2\sin x{)}^2>0$とすると,
$$\begin{array}{r}u(x,y)=\frac{\sin (11(x-y)-12(\cos x-\cos y)-\sin 2x+\sin 2y)}{(3+2\sin x)(3+2\sin y)},\end{array}$$
という解が得られる. なお, 条件$\varphi (x)-\psi (x)\in 2\pi \mathbb{N}$を課すと, 境界条件$u(x,x)=0,u_y(x,x)=1$がみたされる.