すなわち、すべての自然数
したがって、
上三角行列の可解性のときに使った記号や補題を使うと次がわかる。
よって、
この例は、上の命題の逆は成り立たないことを示している。
よって、
よって、
仮定より、ある
このとき、
したがって、
よって、
任意の
これを繰り返すと、
すべての
つまり、
補題3において、
すなわち、
驚くべきことに、この系の逆が成り立つ。
すべての
この証明は次回にまわす。
次に
明らかに、
さらに、
さて、可換なので、二項定理が適用できて、
各
この補題の逆は成り立たないことに注意しよう。