Bruck-Ryser-Chowlaの定理

$I$を含む$t$-要素部分集合$T$と$T$を含むブロック$B$の組$(T,B)$の個数を$c$とする。
$I$を含む$t$-要素部分集合は$\binom{v-i}{t-i}$個ある。各$t$-要素部分集合は$\lambda$個のブロックに含まれるので、$c=\lambda \binom{v-i}{t-i}$である。
一方、$I$を含むブロックは$b_i$個ある。各ブロックは$I$を含む$t$-要素部分集合を$\binom{k-i}{t-i}$個持つので、$c=b_i \binom{k-i}{t-i}$である。
以上より、$b_i = \lambda \frac{\binom{v-i}{t-i}}{\binom{k-i}{t-i}}$が成り立つ。

$p\in B$となるような点$p$とブロック$B$の組$(p,B)$の個数を$c$とする。先の補題と同様の議論より、
$c=vb=rk$
が成立し、対称デザインの定義から$b=v$であるため、$r=k$が成り立つ。
また、補題1より、$r=\lambda\frac{v-1}{k-1}$であるためこれと$r=k$をあわせて、$k(k-1)=\lambda(v-1)$が成り立つ。

ブロック$B$を任意にとる。$0\leq i \leq k$について、ブロック$B$と共通する点の数が$i$個であるようなブロック$B'(\neq B)$の個数を$a_i$とする。このとき、$B$以外のブロックの個数を考えて、
\begin{equation} \sum_{i=0}^ka_i=b-1=v-1 \tag{1} \end{equation}
である。また、$p\in B\cap B'$なる点$p$とブロック$B'(\neq B)$の組$(p,B')$の個数を考えて、
\begin{equation} \sum_{i=0}^kia_i=k(r-1)=k(k-1) \tag{2} \end{equation}
さらに、$p\in B\cap B'$なる点$p,q\,(p\neq q)$とブロック$B'(\neq B)$の組$(p,q,B')$の個数を考えて、
\begin{equation} \sum_{i=0}^ki(i-1)a_i=(\lambda-1) k(k-1) \tag{3} \end{equation}
$\lambda^2\times(1)\times+(1-2\lambda)\times(2)+(3)$より、
\begin{equation} \sum_{i=0}^k(i-\lambda)^2a_i=\lambda^2(v-1)+(1-2\lambda)k(k-1)+(\lambda-1) k(k-1)=\lambda k(k-1)+(1-2\lambda)k(k-1)+(\lambda-1) k(k-1)=0 \end{equation}

$A$を結合行列、$I$を単位行列、$J$を全ての要素が1である行列とする。補題3より$A^T$もある対称デザインの接続行列になっているため、任意の2ブロックは$\lambda$個共有点を持つので、$A$は次の等式を満たす。
\begin{equation} A^TA = \begin{pmatrix} r & \lambda & \cdots & \lambda\\ \lambda & r & \cdots & \lambda\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \lambda & \lambda & \cdots & r \end{pmatrix} = (r-\lambda)I + \lambda J= (k-\lambda)I + \lambda J \end{equation}

1. $v$ が偶数の場合
   $J$は$(1,1,\cdots,1)^T$を固有ベクトルとする固有値$v$を持つ。$J$はランク1の行列であるため、$v$の重複度は1であり$v$を除く全ての固有値は0である。そのため、$A$の固有値は1つが$k-\lambda+\lambda v=k^2$であり、他の固有値は全て$k-\lambda$である。
   よって、
   \begin{equation} (\det A)^2 = \det(A^TA) = k^2(k-\lambda)^{v-1} \end{equation}
   である。ここで、$\det A$は整数であり$v-1$は奇数であるため、$k-\lambda$は平方数でなければならない。
2. $v$ が奇数の場合
   任意の$x\in\mathbb{Q}^v$について、
   \begin{equation} x^TA^TAx=n(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_v^2)+\lambda(x_1+x_2+\cdots+x_v)^2 \tag{4} \label{theidentity} \end{equation}
   が成立する。
   ここで、
   \begin{equation} (L_1,L_2,\dots,L_v)^T=A(x_1,x_2,\dots,x_v)^T \tag{5} \label{defL} \end{equation}
   となるように$L_i$を定める。各$L_i$は$x_j$の有理数係数(特に整数係数)の線形結合である。
   また、Lagrangeの四平方和定理より$n$は4つの0以上の整数の2乗和で表せる。つまり、$n_1,n_2,n_3,n_4\in\mathbb{Z}_{\geq0}$として、
   \begin{equation}n=n_1^2+n_2^2+n_3^2+n_4^2\end{equation}
   とかける。ここで、
   \begin{equation}H=\begin{pmatrix} n_1 & n_2 & n_3 & n_4\\ -n_2 & n_1 & -n_4 & n_3\\ -n_3 & n_4 & n_1 & -n_2\\ -n_4 & -n_3 & n_2 & n_1 \end{pmatrix}\end{equation}
   とすると、$H^TH= nI$ が成り立つ。

1. $v\equiv 1 \pmod{4}$の場合
   ここで、添字を前の方から4つずつ区切って
   \begin{equation}(y_i,y_{i+1},y_{i+2},y_{i+3})^T=H(x_i,x_{i+1},x_{i+2},x_{i+3})^T\end{equation}
   となるように定める。ここで、$H$は可逆なので、各$x_i$は$y_i$の有理数係数の線形結合である。
   ここで、$w=x_1+\cdots+x_v$と置く。すると、式\eqref{theidentity}は
   \begin{equation} L_1^2+L_2^2+\cdots+L_v^2=y_1^2+y_2^2+\cdots+y_{v-1}^2+nx_v^2+\lambda w^2 \end{equation}
   とかける。$L_1,\cdots,L_v,w$を$y_j,x_v$についての有理数係数の線形結合と見ると全ての$(y_1,\dots,y_{v-1},x_v)^T\in\mathbb{Q}^v$についてこの式は常に成立する。
   ここで、$L_1=c_{11}y_1+\cdots+c_{1v-1}y_{v-1}+c_{1v}x_v$とする。$c_{11}\neq0$のとき、
   \begin{equation}L_1=y_1\Leftrightarrow y_1=\frac{c_{12}}{1-c_{11}}y_2+\cdots+\frac{c_{1v-1}}{1-c_{11}}y_{v-1}+\frac{c_{1v}}{1-c_{11}}x_v\end{equation}
   であり、$A_1=\{(y_1,\dots,y_{v-1},x_v)^T\in\mathbb{Q}^v\mid y_1=\frac{c_{12}}{1-c_{11}}y_2+\cdots+\frac{c_{1v-1}}{1-c_{11}}y_{v-1}+\frac{c_{1v}}{1-c_{11}}x_v\}$と定めると$A_1$は
   $\mathbb{Q}^v$の$v-1$次元部分空間であり、$A_1$の任意の元について、
   \begin{equation} L_2^2+\cdots+L_v^2=y_2^2+\cdots+y_{v-1}^2+nx_v^2+\lambda w^2 \tag{6} \label{reductidentity} \end{equation}
   が成立する。$c_{11}=0$のとき、
   \begin{equation}L_1=-y_1\Leftrightarrow y_1=\frac{c_{12}}{-1-c_{11}}y_2+\cdots+\frac{c_{1v-1}}{-1-c_{11}}y_{v-1}+\frac{c_{1v}}{-1-c_{11}}x_v\end{equation}
   であり、$A_1=\{(y_1,\dots,y_{v-1},x_v)^T\in\mathbb{Q}^v\mid y_1=\frac{c_{12}}{-1-c_{11}}y_2+\cdots+\frac{c_{1v-1}}{-1-c_{11}}y_{v-1}+\frac{c_{1v}}{-1-c_{11}}x_v\}$と定めると$A_1$は$\mathbb{Q}^v$の$v-1$次元部分空間であり、$A_1$の任意の元について\eqref{reductidentity}が成立する。
   $A_1$においては、$L_2,\ldots,L_v,w$は$y_2,\ldots,y_{v-1},x_v$の有理数係数の線形結合で表せ、この線形結合において$L_2=c_{21}y_1+\cdots+c_{2v-1}y_{v-1}+c_{2v}x_v$とする。$c_{21}\neq1$のとき、
   \begin{equation}L_2=y_2\Leftrightarrow y_2=\frac{c_{21}}{1-c_{22}}y_3+\cdots+\frac{c_{2v-1}}{1-c_{22}}y_{v-1}+\frac{c_{2v}}{1-c_{22}}x_v\end{equation}
   であり、$A_2$を$A_1$のうちこの式を満たすもの全体とすると、$A_2$は$\mathbb{Q}^v$の$v-2$次元部分空間であり、$A_2$の任意の元について、
   \begin{equation} L_3^2+\cdots+L_v^2=y_3^2+\cdots+y_{v-1}^2+nx_v^2+\lambda w^2 \end{equation}
   が成立する。$c_{21}=1$のときについても同様に$A_2$を定める。
   以下、同様にして$A_3,A_4,\ldots$を定めていく。$v-1$回この操作を行うと、$L_v,w$は$x_v$の有理数係数の線形結合で表されており$A_{v-1}$は$\mathbb{Q}^v$の1次元部分空間であり、$A_{v-1}$の任意の元について、
   \begin{equation} L_v^2=nx_v^2+\lambda w^2 \tag{7} \label{lastidentity} \end{equation}
   が成立する。その線形結合においては$x_v$をどんな有理数に定めても\eqref{lastidentity}が成立するようになっているため、\eqref{lastidentity}に非ゼロな有理数解が存在する。
   非ゼロな有理数解が存在すれば非ゼロな整数解が存在することは明らかである。
2. $v\equiv 3 \pmod{4}$の場合
   このときは、\eqref{theidentity}の両辺に$nx_{v+1}^2$という新たな項を加えて同様の操作を行うと、
   \begin{equation}nx_v^2=y_{v+1}^2+\lambda w^2\end{equation}
   という方程式の非ゼロな整数解が得られる。

以上より、$v$が奇数のときは、$n=k-\lambda$として、$x^2=ny^2+(-1)^{\frac{v-1}{2}}\lambda z^2$に$x=y=z=0$ではない整数解$(x,y,z)$が存在する必要がある。

指数が6の射影平面は、$(43,7,1)$デザインである。$v=43$は奇数であるため、Bruck-Ryser-Chowlaの定理の2番目の条件を満たす必要がある。
$n=k-\lambda=6$であるため、$z^2=6x^2-y^2$に$x=y=z=0$ではない整数解$(x,y,z)$が存在する必要がある。
このとき、$x,y,z$が互いに素になるような整数解が存在する。
このとき、$y,z$は基数であり、$y^2,z^2\equiv 1\mod8$である。
しかし、$6x^2\equiv0,6\mod8$であるため、$z^2=6x^2-y^2$に$x=y=z=0$ではない整数解$(x,y,z)$が存在しない。