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完備距離空間と位相的に同値な距離を持つ距離空間は完備か？

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完備距離空間と位相的に同値な距離を持つ距離空間は完備か？
このような疑問を持ったことはありませんか？
位相の本では完備性が位相的性質でないことは書かれていても、例として挙げられているのは大抵 $R ≅ (0, 1)$ だったりします。
元の集合が一致していないですね。
この例では最初の疑問が未解決のままです。

実は、位相的に同値な距離を持つ2つの距離空間で、一方が完備でもう一方は完備でない例が存在します。

距離の位相的同値性

集合 $X$ に定められた2つの距離 $d_{1}, d_{2}$ に対してそれぞれの開集合系が一致するとき、 $d_{1}$ と $d_{2}$ は位相的に同値であるという。

使う記号
$L = [1, \infty)$
$d_{1} : L \times L ∋ (x, y) \mapsto | x - y | \in R$
$d_{2} : L \times L ∋ (x, y) \mapsto | \frac{1}{x} - \frac{1}{y} | \in R$

完備距離空間の閉部分空間は完備である。

有名な命題なので、証明は省略する。

$(L, d_{1})$ は完備である。

通常の距離に関して $R$ は完備であるから、命題1を適用すればよい。

$d_{2}$ は距離関数である。

簡単なので、証明は読者への演習問題とする。

$(L, d_{2})$ は完備でない。

${n}_{n = 1}^{\infty}$ が収束しないCauchy列であることを示せばよい。
Cauchy列であることは容易にわかるので、収束列でないことを示す。
$\forall a \in L$ をとり、 $ε = \frac{1}{2 a}$ とする。
$\forall N \in N$ に対して $n = max {⌈ 2 a ⌉, N}$ とすると、 $n \geq N$ かつ
$d_{2} (n, a) = | \frac{1}{n} - \frac{1}{a} | = \frac{1}{a} - \frac{1}{n} \geq \frac{1}{a} - \frac{1}{2 a} = ε$ となるから、
${n}_{n = 1}^{\infty}$ は収束列でない。