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完備距離空間と位相的に同値な距離を持つ距離空間は完備か？

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完備距離空間と位相的に同値な距離を持つ距離空間は完備か？
このような疑問を持ったことはありませんか？
位相の本では完備性が位相的性質でないことは書かれていても、例として挙げられているのは大抵$ \mathbb{R} \cong \left( 0, 1 \right) $だったりします。
元の集合が一致していないですね。
この例では最初の疑問が未解決のままです。

実は、位相的に同値な距離を持つ2つの距離空間で、一方が完備でもう一方は完備でない例が存在します。

距離の位相的同値性

集合$X$に定められた2つの距離$d_1, d_2$に対してそれぞれの開集合系が一致するとき、$d_1$と$d_2$は位相的に同値であるという。

使う記号
$L = \left[ 1, \infty \right)$
$d_1:L \times L \ni \left( x, y \right) \mapsto \left| x-y \right| \in \mathbb{R}$
$d_2:L \times L \ni \left( x, y \right) \mapsto \left| \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \right| \in \mathbb{R}$

完備距離空間の閉部分空間は完備である。

有名な命題なので、証明は省略する。

$ \left( L, d_1 \right) $は完備である。

通常の距離に関して$\mathbb{R}$は完備であるから、命題1を適用すればよい。

$d_2$は距離関数である。

簡単なので、証明は読者への演習問題とする。

$ \left( L, d_2 \right) $は完備でない。

$ \lbrace n \rbrace _{n=1} ^{\infty}$が収束しないCauchy列であることを示せばよい。
Cauchy列であることは容易にわかるので、収束列でないことを示す。
$ \forall a \in L $をとり、$ \varepsilon = \frac{1}{2a}$とする。
$ \forall N \in \mathbb{N} $に対して$n= \max \lbrace \lceil 2a \rceil ,N \rbrace$とすると、$n \geq N$かつ
$d_2 \left( n,a \right) = \left| \frac{1}{n} - \frac{1}{a} \right| = \frac{1}{a} - \frac{1}{n} \geq \frac{1}{a} - \frac{1}{2a} = \varepsilon $となるから、
$ \lbrace n \rbrace _{n=1} ^{\infty}$は収束列でない。

$d_1$と$d_2$は位相的に同値である。

$ \left( L, d_1 \right) $の任意の開集合$U$が$ \left( L, d_2 \right) $の開集合であることと、$ \left( L, d_2 \right) $の任意の開集合$V$が$ \left( L, d_1 \right) $の開集合であることの2つを示せばよい。
細部は読者に任せることにする。

以上により、最初の疑問は否定的に解決されることとなった。