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x^n+1/x^n を x + 1/x で表す式

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背景

円分多項式 xn1=0 を考え、その因数としてx2k+x2k1+..+1 などの形の式がでてきます。これをx+1/x=u と置いて簡単にしようとしました。するとxn+1/xnu で表す問題が生じます。この問題からチェビシェフ多項式がでてきました。

ニュートンの恒等式

u=x+1/x
とし、
un=xn+1/xn
のときをuで表すことを考えます。これはニュートンの恒等式の方法で解けます。

x,1/x
x2ux+1=0
の解です。よって

x2ux+1=01/x2u/x+1=0
これを足すと
x2+1/x2u(x+1/x)+2=0u2uu1+2=0
また元の2つの式にx,1/xをかけたものを足すと
x3+1/x3u(x2+1/x2)+x+1/x=0u3uu2+u1=0
同様に
un+2un+1u+un=0
という漸化式が得られます。

u0=2 とすればすべての場合について成り立ちます。実際
x0+1/x0=1+1=2 と考えれます。

この式は u=2t とおけばチェビシェフ多項式の漸化式になります。実際
x+1/x=2t とおき、x=eiθ とおけば t=cosθ tn=(xn+1/xn)/2=cosnθ となります。

以下はこの漸化式を解いた多項式の係数を表にしたものです。
nunun2un4un6un8un10un1202112123134142515561692717147818201629192730910110355025211111447755111211254112105362
これよりun=unanun2+bnun4cnun6+.. という形で表されることが分かります。ただしn=0のときだけ別でu0=2です。

漸化式からan,bn,cn,..が満たす関係式を求めます。
un=unanun+bnun2cnun4+..uun1=un+2+an1unbn1un2+cn1un4..un2=unan2un2+bn2un4..
これを足すと0になるので係数比較より
anan1=1bnbn1=an2cncn1=bn2..
という関係が成り立ちます。この関係式はパスカルの三角形を表す式とほぼ同じです。先ほどの表の二段ずれている部分を一段にすると

2121321452159721614169217203025112182750553613219357710591491521104411218219614064172
となり、右端を2にしたパスカルの三角形になります。これは以下のパスカルの三角形に、一段上の行を右にずらして足すという操作をしたものになります。
111121133114641151010511615201561172135352171182856705628811936841261268436911104512021025221012045101 

なので一つ前の表の n 行 k 列目の数字は
(nk)+(n1k1)
となります。これを一段ずつずらしたものが、an,bn,...

(nkk)+(nk1k1)

となります。よってun の一般項は
un=k=0n/2(1)k((nkk)+(nk1k1))un2k
となります。この表現ではn=0のときu0=2となることもカバーしています。これを書き下すと
un=unnun2+12n(n3)un416n(n4)(n5)un6+124n(n5)(n6)(n7)un8...
となります。ただし n=0 のとき u0=2 となります。この式をみるとまた別の表現
un=k=0n/2(1)knn2k(nk1k1)un2k
が見えます。これもn=0のときだけ例外となります。

指数表現

漸化式を特性方程式を使ってときます。
並進演算子Tを次のように定義します。
Tun=un+1
これを用いると漸化式 un+2un+1u+un=0
(T2uT+1)un=0
と表せます。この問題は固有値問題の考え方でとけます。ここである実数λを用いてTun=λunとなるような固有関数un を考えます。Tun=λunの解はun=λnu0 なので λnu0Tの固有関数です。(T2uT+1)un=0
の解はλ2uλ+1=0を満たすλを固有値として持つ固有関数の線形結合で表されます。
λ2uλ+1=0 の解は
λ=u±u242
なのでλnの線形結合を初期値が一致するように作るとunが求まり
un=(u+u242)n+(uu242)n
となります。
単にx,1/xuで表すとu+u242,uu242になるのでxn+1/xn が上の式になるとも考えられます。

もう一つの表現

チェビシェフ多項式のwikiページにはまた別の表現がのっています。今回のuで表すと
un=12n1k=0n/2(n2k)(u24)kun2k
となります。この表現は以下のようにして導けます。
v=x1/x
とおきます。すると
x=u+v21x=uv2
よって
xn+1xn=(u+v2)n+(uv2)n=12n((u+v)n+(uv)n)
2つの項を二項展開すると、一つ飛ばしで足されるので
xn+1xn=12n1k=0n/2(n2k)un2kv2k=12n1k=0n/2(n2k)(u24)kun2k
となります。

結果

u=x+1/x
とおき
un=xn+1/xn
uの多項式で表すと

un=(u+u242)n+(uu242)n

un=k=0n/2(1)k((nkk)+(nk1k1))un2k
un=k=0n/2(1)knn2k(nk1k1)un2k
un=12n1k=0n/2(n2k)(u24)kun2k
といろいろな表現ができる。

1+u+u2+..+unuの多項式で表す

円分多項式でu=x+1/xとおくと、1+u+u2+..+un1u+u2u3+..という式がでてきます。これをuの多項式で表すことを考えます。unの係数を次数が低いほうから並べると以下の表のようになります。ただしu0の位置を2ではなく1としています。これは1+u+u2+..のはじめの1を表しています。

1uu2u3u4u5u6u7u8u9u10101201030120401050501209060107014070120160200801090300270901202505003501001
この表を上から足していった表が1+u+u2+..の係数になります。
1uu2u3u4u5u6u7u8u9u101111111211123111334111364511146156111411156711151215217811
このようにパスカルの三角形がダブってるような数列になります。これを数式で表すと
m=nk2
とおき
1+k=1nuk=k=0n(m+km)uk(1)m
となります。unuの次数は偶数のみか奇数のみなので、
もう一つよく出てくる項
1u+u2u3+..
も係数の数字は変わらず奇数次の項にマイナスをつけるだけです。

感想

表と表記法

今回の研究で思ったのは、表をみて考えたほうが速いし分かりやすいということです。シグマ、二項係数、(1)n、床関数など標準の数学表記を使った表現の式変形を考えるのは大変です。

使われている数学の表記法が最適ではないという気もします。例えば0,0,1,1,2,2,..という数列がk/2と表現されたり、1,0,1,0,..という数列が1+(1)n2と表現されるのは、言いたいことと別の情報が含まれてる感じがします。

初項だけ半分で足すというパターン

今回1+u1+u2+..という式でu0=2だけど初項だけu0/2ということにするという扱いをすれば、統一的に表現できるという経験をしました。このようなパターンはフーリエ級数や11+xnの部分分数分解でもでてきます。これは円のn分割の分割線がちょうど実軸上にあるとき、複素共役がそれ自身になるため、二重カウントの防止のために1/2がでてきます。複素数の世界で対称なものを実数で表そうとしたことにより、対称性が崩れたと言えるでしょうか。

投稿日:2023119
更新日:202434
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17世紀の数学を学び始めました。 https://www.17centurymaths.com/ このサイト素晴らしい。

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  1. 背景
  2. ニュートンの恒等式
  3. 指数表現
  4. もう一つの表現
  5. 結果
  6. $1+u+u_2+..+u_n$$u$の多項式で表す
  7. 感想
  8. 表と表記法
  9. 初項だけ半分で足すというパターン