曲面論で習うGauss曲率と平均曲率. Gauss-Bonnetの定理 を通してトポロジーとも深く関わるGauss曲率に対して「平均曲率ってなんやねん?」と, 曲面論を習いたての頃の私は思っていました. 似たような感覚を抱いたまま気がつけば曲面論が終わってしまい, 結局あいつはなんだったのだ?と思った方も少なくないのではないでしょうか.
実は平均曲率は「空間の中に置かれた図形(部分多様体)の幾何学」と大きく関わりがあります. 今回は簡単な部分多様体の例である関数のグラフの成す曲面について, 「平均曲率の制限が, 関数の定義域のサイズを制限する」というHeinzの不等式を紹介します.
でなければならない.
習ったもののよくわからないまま終わった平均曲率の, 形を制御しうる重要な幾何学的量としての一側面を感じていただければと思います.
以下,
関数
曲面上の点
と表せます. ついでに, 第一基本形式の逆行列を計算すると,
となります.
次に, 第二基本形式を計算します. まず, 点
で与えられます.
となりますので, 内積
となります.
以上を用いると, 曲面
と計算されます.
少し式変形をすると, 平均曲率は次のように少しスッキリした形式で書くことができます.
まず, 直接計算により,
同様に,
となるので,
続いて, 簡単な例について平均曲率を計算してみます.
関数
を用いると,
となります. これらを用いて平均曲率を計算すると,
となります. この結果から, 平均曲率の絶対値
関数
より, Gauss曲率および平均曲率は
となります. 特にGauss曲率
また, この例でもやはり,
具体例を通してHeinzの不等式の雰囲気を感じてもらったところで, いよいよ証明に入ります.
はじめに, 平均曲率の定義から, 法ベクトル
発散定理より
ただし,
円周
と表せるので,
ここで, Cauchy-Schwartzの不等式により
となるから,
一方仮定より,
となるので,
でなければならない.
簡単な系として, 平面全体で定義された平均曲率が一定なグラフは
関数
でなければならない. よって
平均曲率が恒等的に
今回は部分多様体の幾何学を特徴づける幾何学的量としての平均曲率を, 簡単なケースについて紹介しました. ちょっとでも平均曲率と仲良くなれましたでしょうか? 平均曲率は表面積の変分問題にも登場し, 理論の中心的な役割を果たします. そちらについても今後触れる機会があればと思っています.