n-table、n項関係、有限極限

概要

• 本稿では、圏論的なn項関係の定義を紹介する。
• n項関係とは、集合論ではn項直積集合の部分集合のことだが、圏論的には積の存在を仮定せず、特定の性質を持った射の有限族の同型類として定義する。
• 引き戻しや二項積、終対象にイコライザなど、有限極限は特別なn項関係の表示と見做すことができる。

イントロダクション：n項関係の表示を何で与えるか

jointly monic family

集合論では、$R$が$A_1,A_2,\cdots,A_n$上のn項関係とは、$R$が積$\prod_{i = 1}^{n} A_i$の部分集合であることを言った。 圏論でも同様に、対象$A_1,A_2,\cdots,A_n$上のn項関係とは、積$\prod_{i=1}^n A_i$の部分対象のことと定義できる。 $\prod_{i=1}^n A_i$の部分対象とは、これに向かうmonicの同型類のことであった。よって、$\prod_{i}A_i$に向かうmonicは、$A_1,A_2,\cdots,A_n$上のn項関係を表示している。 ところで積には普遍性がある。任意の対象$X$と任意の射の列$(f_i \colon X \to A_i)_{i=1}^n$に対し、ある一意的な射$\langle f_i \rangle_{i=1}^n \colon X \to \prod_{i=1}^n A_i$が存在して、 $f_i = \pi_{A_i} \circ \langle f_j \rangle_{j= 1}^n (1 \leq i \leq n)$が成り立つ。 この一対一対応に基づいて、monic$\ m \colon M \to \prod_i A_i$が表す部分対象は、錐$(\pi_{A_i}\circ m\colon M \to A_i)_{i=1}^n$によっても表示されると考えられる。

積に向かうmonicと普遍性で対応する錐には、次の特徴づけが存在する。

monicの定義と見比べてみよう。monicは射一つで、前に結合される射の間の等号成立の可否を見分ける。

$$ \forall x \forall y . m \circ x = m \circ y \Rightarrow x = y $$

これに対して、jointly monic familyは射の族全体でmonicのように振る舞う。 対偶を取ってみるともっと分かりやすい。$(f_i\colon X \to A_i)_{i \in I}$をjointly monic familyとするとき、任意の$x,y$に対し、$x \neq y$ならば、ある$i \in I$で$f_i \circ x \neq f_i \circ y$が従うことになる。 monicは射一つで等号成立のテストができるのに対し、jointly monic familyは族全体でテストするのである。

対象の族$(A_i)_{i \in I}$が積を持つとき、射影の族$(\pi_{A_i}\colon \prod_j A_j \to A_i)_{i \in I}$はjointly monic familyの典型的な例である。 実際、任意の$x,y\colon W \to \prod_j A_j$に対し、任意の$i \in I$で$\pi_i \circ x = \pi_i \circ y$ならば、普遍性より$x = y$が従う。

さて、jointly monic familyは、積に向かうmonicと一対一であることを示そう。

積の普遍性は、積に向かうmonicとjointly monic familyである錐とを一対一に対応づけることがわかった。 すると、圏論に於ける$A_1,A_2,\cdots,A_n$上のn項関係とは、jointly monic family$(f_i \colon X \to A_i)_{1 \leq i \leq n}$の同型類のことだと思っても良いはずだ。 しかも、積に向かうmonicは、圏が積を持たなければ定義できないが、jointly monic familyは積がなくとも定義できる。 よってn項関係の表示として、$A_1,A_2,\cdots,A_n$上のjointly monic familyを採用する方が、積に向かうmonicを採用するよりも一般性が高いと言える。

jointly monic familyで表すn項関係の例

$A_1,A_2,\cdots,A_n$上のjointly monic familyをn項関係の表示と見做す、とはどういうことなのか、一つ例を見てみよう。

大学の事務では、在籍学生の個人情報を取り扱っている。氏名や住所、生年月日や入学年度、所属学科や所属クラス、専攻の選択など、一人の学生に関する個人情報は多岐に渡る。 個人情報とは、さまざまなデータを一つの組にしたものであるから、データ集合の有限直積の元(タプル)だと見做すことができる。

さて、事務に学生がやってきて何らかの手続きをしたとしよう。このとき事務員は個人情報をどうやって処理するだろうか？ 個人情報はデータ集合の直積の元であると見做すことができた。ならば、事務員はデータのタプルを直積集合から取り出して、それを扱うのだろうか？ 普通はそうではなかろう。各学生ごとに学籍番号という固有の文字列が割り当てられていて、事務員はデータベースに学籍番号を入力し、必要な情報だけを取り出すのである。 学籍番号に対し、各データ集合の元に写像的な対応が与えられている。この状況は次の模式図で描ける。
学籍番号に紐づく各種データ

各$p_i(1 \leq i \leq n)$は、学籍番号にデータ集合$A_i$の元を対応づける写像である。 事務員はデータのタプルをそのまま扱わずとも、今の処理で必要なデータに対応する射を$(p_i)_{i=1}^n$から選んで、学籍番号を適用すれば良い。

この例でjointly monic familyとは何を意味するだろうか？集合と写像の圏で考えてみよう。 1元集合$1$からの射$x \colon 1 \to \mathrm{StudentID}$は、一つの学籍番号を指定する。 よって、任意の$x,y \colon 1 \to \mathrm{StudentID}$を取ることは、学籍番号を任意に二つ選ぶことと等価である。 そして、任意の$i \in \{ 1,2,\cdots,n \}$に対して$p_i \circ x = p_i \circ y$が成り立つことは、$x,y$それぞれに対応する各個人データが全て一致することを言っている。 $(p_i)_{i=1}^n$がjointly monic familyであることは、学籍番号$x,y$に対して個人データが全て一致するならば、$x = y$であることを言っている。

相異なる二人の人間が全く同一の個人情報を保つとしたら、どんな状況だろうか？ 少なくとも住所、氏名、生年月日、性別、そして保護者が一致しているはずなので、 おそらくその二人は同性の双子である。しかも、親が二人に全く同じ名前をつけていなければならない(現実では高確率で行政の許可が降りない)。 この双子が全く同じ学歴を持ち、同じ家から同じ大学の同じ学科に通い、同じクラスに所属して、専攻から成績、出欠状況まで完全に一致するような極端な場合が該当するかもしれない。 しかしこのような場合でも、データ集合の中に学籍番号自身が含まれていれば、双子の個人情報は相異なるのである。
学籍番号自身もデータ集合のうちにあればjointly monic
恒等射はmonicであることに注意しよう。 始域の等しい射の族$(p_i)_{i=1}^n$の成分にmonicが含まれるならば、これがjointly monic familyになることは容易に示せる。

このように、n項関係の表示は必ずしも積の部分対象である必要はなく、jointly monic familyの形態を取る方が扱いやすい場合もあるのだ。

n-span、n-table、n項関係

n-span,n-table,n項関係の定義

イントロダクションで見た内容を数学的に整理する。まず初めに、始域の一致した射の有限族を効率よく記述するための用語を導入しておこう。

$A_1,A_2,\cdots,A_n$上のn-spanでは、頂点間に特別な射が定義できることに注目しよう。

n-spanのうち、jointly monic familyであるものを考えよう。

1-tableが単なるmonicのことならば、0-tableとはどんな概念だろうか？

n-table間の包含前順序、n項関係間の包含順序

命題1の主張と証明は、n-tableにも通用する。

n-tableの定義より、n-table間のspanの射は存在すれば一意である。しかもそれだけでなく、n-table間のspanの射はmonicであることを示そう。

n-table間のspanの射はmonic

なお、この命題は、二項積を持つ圏では直ちに従う。
積の部分対象で考える

$ \langle f_1,f_2 \rangle = \langle g_1,g_2 \rangle \circ \theta $であり、一般に$y \circ x$がmonicならば$x$はmonicであることが従うので、$\theta$はmonicでなければならない。

前回の記事の中で、monic間に前包含関係という前順序関係を考えた。 同様に、前包含関係を$A_1,A_2,\cdots,A_n$上のn-table全体のクラスに定めることができる。

証明中で示している通り、前包含関係が定める同型は、spanの同型と同値であることに注目してもらいたい。

$A_1,A_2,\cdots,A_n$上のn-tableのクラスの前包含関係は、$\mathrm{Rel}(A_1,A_2,\cdots,A_n)$上の包含関係を誘導する。

引き戻し、二項積、終対象、イコライザ

$A_1,A_2,\cdots,A_n$上のspan$(T;f_1,f_2,\cdots,f_n)$がn-tableとは、 任意の$A_1,A_2,\cdots,A_n$上のspan$(X;x_1,x_2,\cdots,x_n)$に対し、spanの射$X \to T$が存在すれば一意であることを言うのであった。
2-tableに向かうspanの射

一般に、spanの射$X \to T$がいつ存在するのかは分からないものである。しかし、一部の特別なn-tableの中には、存在条件が（連立方程式の形で）明示されているものがある。 特別なn-tableの例の中でも特に重要なものを観察して終わりにしよう。