分布関数の連続性と区間事象の確率の等価性

厳密には右側からの極限も一致しないと連続とは言えない。しかし分布関数は右連続なので同値となる。

以下では、実数$c$を固定して説明する。
ここで、$x\uparrow c$という記号は、$x< c$を保ちながら$x\to c$となることを表す。
$ $
いま、$c$に単調増加で近づく数列$(x_n)_{n\in\mathbb N}$を$1$つとり
$$ x_n\uparrow c,\quad x_n< c,\quad \lim_{n\to\infty}x_n=c $$
とする。分布関数は単調非減少であるから、このとき左極限は
$$ \lim_{x\uparrow c}F_X(x)=\lim_{n\to\infty}F_X(x_n) $$
と読み替えてよい(「任意の1つの増加列で読替えてよい」点の正当化の証明は別の機会に)。次に事象
$$ A_n:=\{X\le x_n\} $$
を考える。$x_n$は単調増加なので$A_n\subset A_{n+1}$が成り立つ。さらに
$$ \bigcup_{n=1}^\infty A_n=\{X< c\} $$
が成り立つ。これを示す。

1. $\bigcup_{n=1}^\infty A_n\subset\{X< c\}$。
   もし$\omega\in A_n$なら$X(\omega)\le x_n< c$より$\omega\in\{X< c\}$である。
   $ $
2. $\{X< c\}\subset\bigcup_{n=1}^\infty A_n$。
   もし$X(\omega)< c$なら、$x_n\to c$より十分大きい$n$で$X(\omega)\le x_n$となる。
   従って$\omega\in A_n\subset\bigcup_{n=1}^\infty A_n$である。

-以上より$\bigcup_{n=1}^\infty A_n=\{X< c\}$が示された。
ここで確率測度$\mathbb P$の基本性質として、増大列$A_n\uparrow A$すなわち$A_n\subset A_{n+1}$かつ$\bigcup_{n=1}^\infty A_n=A$のとき
$$ \mathbb P(A)=\lim_{n\to\infty}\mathbb P(A_n) $$
が成り立つ。これを$A_n=\{X\le x_n\}$、$A=\{X< c\}$に適用すると
$$ \begin{align} \mathbb P(X< c) &=\mathbb P\bigl(\{X< c\}\bigr)\\ &=\mathbb P\Bigl(\bigcup_{n=1}^\infty \{X\le x_n\}\Bigr) \because\ \{X< c\}=\bigcup_{n=1}^\infty \{X\le x_n\}.\\ &=\lim_{n\to\infty}\mathbb P(\{X\le x_n\}) \because\ A_n\uparrow\bigcup_{n=1}^\infty A_n\Rightarrow \mathbb P\Bigl(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\Bigr)=\lim_{n\to\infty}\mathbb P(A_n).\\ &=\lim_{n\to\infty}F_X(x_n) \because\ F_X(x)=\mathbb P(X\le x)\ \text{の定義。} \end{align} $$
を得る。よって
$$ \lim_{x\uparrow c}F_X(x)=\mathbb P(X< c) $$
が成り立つ。

点$c$での連続性とは
$$ \lim_{x\uparrow c}F_X(x)=F_X(c) $$
である。右辺は定義より$F_X(c)=\mathbb P(X\le c)$であり、左辺は上で示した通り$\mathbb P(X< c)$であるから、
点$c$での連続性は
$$ \mathbb P(X< c)=\mathbb P(X\le c) $$
と同値である。