奇数の完全数が存在しないことの証明

奇数の完全数が存在しないことの証明

1,3,9
1,3,9,27
約数の和をpとする。
このように、9と27で成り立たず、
9に約数を1つ5を加えても、
$27-1-3-9+(45-27)-5-15>0$
$9-3-1+(45-9)-5-15=21>0$

この式の意味

$27-1-3-9+(45-27)-5-15>0$
新たな完全数候補である45が完全数であるためには、
（27が完全数である場合の約数の和27から1と3と9を引いた数nがあり、45の約数であり9の約数でない数の和mがある時、45と27の差がn-mと等しいと45が完全数になる。）
という条件がある。
難しいが、もし27が完全数なら、45が完全数になるには、45と27の差が、27の約数ではなく、45の約数である数、つまり新たに約数として増えた数の和であればよい。

続き

pの増加量は、数の増加量3^2*5-27より、2しか多くない。

訂正

$9-3-1+(45-9)-5-15=21>0$

続き

9から27に数が増える場合、
9の自分自身以外の約数の和は
4
27の9の約数以外で、なおかつ自分自身以外の約数の和は
0
約数の増加量は
0
数の増加量は
$27-9=18$
約数の増加量は、数の増加量より常に低い。

27から135に数が増える場合、
27の自分自身以外の約数の和は
13
$27*5$の27の約数以外で、なおかつ自分自身以外の約数の和は
65
約数の増加量は
52
数の増加量は
$135-27=108$
約数の増加量は、数の増加量より常に低い。
更に5を掛けると
$675$
$675-135=545$
約数の増加量は
$135$
約数の増加量は、数の増加量より常に低い。
微分も必要ない。
よって示せた。
Q. E. D.
■