超球多項式の3つの積の無限和の公式2
$0<\theta,\phi,\psi<\pi$とする.
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で超球多項式の3つの積の無限和の公式を示した. それは, $0<-\theta+\phi+\psi,\theta-\phi+\psi,\theta+\phi-\psi,\theta+\phi+\psi<2\pi$とするとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\left(\frac{n!}{(2a)_n}\right)^2\frac{n+a}aC_n^{(a)}(\cos\theta)C_n^{(a)}(\cos\phi)C_n^{(a)}(\cos\psi)\\
&=\frac{\pi\Gamma(2a)^2}{4^a\Gamma(a)^3\Gamma(a+1)}\frac{\left(\sin\frac{\theta+\phi+\psi}2\sin\frac{-\theta+\phi+\psi}2\sin\frac{\theta-\phi+\psi}2\sin\frac{\theta+\phi-\psi}2\right)^{a-1}}{(\sin\theta\sin\phi\sin\psi)^{2a-1}}
\end{align}
が成り立つというものである(条件を満たさないときはこの値は$0$になる). この条件は
\begin{align}
\sin\frac{\theta+\phi+\psi}2\sin\frac{-\theta+\phi+\psi}2\sin\frac{\theta-\phi+\psi}2\sin\frac{\theta+\phi-\psi}2\geq 0
\end{align}
と書き換えることができる. 今回はこの結果について考えていきたいと思う. まず, 右辺に関して三角関数の積和の公式などを用いて展開すると
\begin{align}
&\sin\frac{\theta+\phi+\psi}2\sin\frac{-\theta+\phi+\psi}2\sin\frac{\theta-\phi+\psi}2\sin\frac{\theta+\phi-\psi}2\\
&=\frac 14(\cos\psi-\cos(\theta+\phi))(\cos(\theta-\phi)-\cos\psi)\\
&=\frac 14(\cos\psi-\cos \theta\cos\phi+\sin\theta\sin\phi)(\cos\theta\cos\phi+\sin\theta\sin\phi-\cos\psi)\\
&=\frac 14(\sin^2\theta\sin^2\phi-(\cos\psi-\cos\theta\cos\phi)^2)\\
&=\frac 14((1-\cos^2\theta)(1-\cos^2\phi)-\cos^2\psi-\cos^2\theta\cos^2\phi+2\cos\theta\cos\phi\cos\psi)\\
&=\frac 14(1-\cos^2\theta-\cos^2\phi-\cos^2\psi-2\cos\theta\cos\phi\cos\psi)
\end{align}
と表すことができる. よって, 冒頭の式は
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\left(\frac{n!}{(2a)_n}\right)^2\frac{n+a}aC_n^{(a)}(\cos\theta)C_n^{(a)}(\cos\phi)C_n^{(a)}(\cos\psi)\\
&=\begin{cases}
\displaystyle\frac{\pi\Gamma(2a)^2}{4^{2a-1}\Gamma(a)^3\Gamma(a+1)}\frac{\left(1-\cos^2\theta-\cos^2\phi-\cos^2\psi+2\cos\theta\cos\phi\cos\psi\right)^{a-1}}{((1-\cos^2\theta)(1-\cos^2\phi)(1-\cos^2\psi))^{a-\frac 12}}&&1-\cos^2\theta-\cos^2\phi-\cos^2\psi+2\cos\theta\cos\phi\cos\psi>0\\
0&&\mathrm{otherwise}
\end{cases}
\end{align}
と書き換えることができる. よって, $\cos\theta,\cos\phi,\cos\psi$をそれぞれ$x,y,z$と置き換えると以下の公式が得られる.
$-1< x,y,z<1$とするとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\left(\frac{n!}{(2a)_n}\right)^2\frac{n+a}aC_n^{(a)}(x)C_n^{(a)}(y)C_n^{(a)}(z)\\
&=\begin{cases}
\displaystyle\frac{\pi\Gamma(2a)^2}{4^{2a-1}\Gamma(a)^3\Gamma(a+1)}\frac{\left(1-x^2-y^2-z^2+2xyz\right)^{a-1}}{((1-x^2)(1-y^2)(1-z^2))^{a-\frac 12}}&&1-x^2-y^2-z^2+2xyz>0\\
0&&\mathrm{otherwise}
\end{cases}
\end{align}
が成り立つ.
特に$x=y=z$とすると,
\begin{align}
\frac{\left(1-3x^2+2x^3\right)^{a-1}}{(1-x^2)^{3a-\frac 32}}&=\frac{\left((1-x)^2(1+2x)\right)^{a-1}}{((1-x)(1+x))^{3a-\frac 32}}\\
&=\frac{(1+2x)^{a-1}}{(1-x)^{a+\frac 12}(1+x)^{3a-\frac 32}}
\end{align}
となるから以下の系を得る.
$-1< x<1$とするとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\left(\frac{n!}{(2a)_n}\right)^2\frac{n+a}aC_n^{(a)}(x)^3\\
&=\begin{cases}
\displaystyle\frac{\pi\Gamma(2a)^2}{4^{2a-1}\Gamma(a)^3\Gamma(a+1)}\frac{(1+2x)^{a-1}}{(1-x)^{a+\frac 12}(1+x)^{3a-\frac 32}}&&x>-\frac 12\\
0&&\mathrm{otherwise}
\end{cases}
\end{align}
が成り立つ.
よく知られているように,
\begin{align}
C_n^{(a)}(0)&=\begin{cases}
\displaystyle(-1)^k\frac{(a)_k}{k!}&& n=2k\\
0&& n:\mathrm{odd}
\end{cases}
\end{align}
となるから, 定理1において, $z=0$とすると以下の系を得る.
$-1< x,y<1$とするとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}(-1)^n\frac{(2n)!\left(\frac 12\right)_n}{(2a)_{2n}\left(a+\frac 12\right)_n}\frac{2n+a}aC_{2n}^{(a)}(x)C_{2n}^{(a)}(y)\\
&=\begin{cases}
\displaystyle\frac{\pi\Gamma(2a)^2}{4^{2a-1}\Gamma(a)^3\Gamma(a+1)}\frac{\left(1-x^2-y^2\right)^{a-1}}{((1-x^2)(1-y^2))^{a-\frac 12}}&&1-x^2-y^2>0\\
0&&\mathrm{otherwise}
\end{cases}
\end{align}
が成り立つ.
系2において$x=y$とすると以下の系を得る.
$-1< x<1$とするとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}(-1)^n\frac{(2n)!\left(\frac 12\right)_n}{(2a)_{2n}\left(a+\frac 12\right)_n}\frac{2n+a}aC_{2n}^{(a)}(x)^2\\
&=\begin{cases}
\displaystyle\frac{\pi\Gamma(2a)^2}{4^{2a-1}\Gamma(a)^3\Gamma(a+1)}\frac{\left(1-2x^2\right)^{a-1}}{(1-x^2)^{2a-1}}&&-\frac 1{\sqrt 2}< x<\frac 1{\sqrt 2}\\
0&&\mathrm{otherwise}
\end{cases}
\end{align}
が成り立つ.
系2において$y=0$とすると以下の系を得る.
$-1< x<1$とするとき,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{\left(\frac 12\right)_n^2}{\left(a+\frac 12\right)_n^2}\frac{2n+a}aC_{2n}^{(a)}(x)&=\frac{\pi\Gamma(2a)^2}{4^{2a-1}\Gamma(a)^3\Gamma(a+1)}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\end{align}
が成り立つ.
Legendre多項式の場合
これらの結果において, 特に$a=\frac 12$とすると以下を得る.
$-1< x,y,z<1$とするとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}(2n+1)P_n(x)P_n(y)P_n(z)\\
&=\begin{cases}
\displaystyle\frac{2}{\pi}\frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2-z^2+2xyz}}&&1-x^2-y^2-z^2+2xyz>0\\
0&&\mathrm{otherwise}
\end{cases}
\end{align}
が成り立つ.
$-1< x<1$とするとき,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}(2n+1)P_n(x)^3&=\begin{cases}
\displaystyle\frac{2}{\pi}\frac{1}{(1-x)\sqrt{1+2x}}&&x>-\frac 12\\
0&&\mathrm{otherwise}
\end{cases}
\end{align}
が成り立つ.
$-1< x,y<1$とするとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}(-1)^n(4n+1)\frac{\binom{2n}n}{2^{2n}}P_{2n}(x)P_{2n}(y)\\
&=\begin{cases}
\displaystyle\frac{2}{\pi}\frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}}&&1-x^2-y^2>0\\
0&&\mathrm{otherwise}
\end{cases}
\end{align}
が成り立つ.
$-1< x<1$とするとき,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}(-1)^n(4n+1)\frac{\binom{2n}n}{2^{2n}}P_{2n}(x)^2&=\begin{cases}
\displaystyle\frac{2}{\pi}\frac{1}{\sqrt{1-2x^2}}&&-\frac 1{\sqrt 2}< x<\frac 1{\sqrt 2}\\
0&&\mathrm{otherwise}
\end{cases}
\end{align}
が成り立つ.
$-1< x<1$とするとき,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}(4n+1)\frac{\binom{2n}n^2}{2^{4n}}P_n(x)&=\frac{2}{\pi}\frac {1}{\sqrt{1-x^2}}
\end{align}
が成り立つ.
完全楕円積分のFourier-Legendre展開
系6と系8に対してParsevalの等式を用いると
\begin{align}
2\sum_{0\leq n}(-1)^n(4n+1)\frac{\binom{2n}n^3}{2^{6n}}P_{2n}(y)&=\frac{4}{\pi^2}\int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}\frac 1{\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-x^2-y^2}}\,dx\\
&=\frac{8}{\pi^2}\int_0^1\frac 1{\sqrt{1-(1-y^2)x^2}\sqrt{1-x^2}}\,dx\\
&=\frac{4}{\pi}\F21{\frac 12,\frac 12}{1}{1-y^2}
\end{align}
となる. つまり, 以下を得る.
$-1< x<1$に対し
\begin{align}
\sum_{0\leq n}(-1)^n(4n+1)\frac{\binom{2n}n^3}{2^{6n}}P_{2n}(x)
&=\frac{2}{\pi}\F21{\frac 12,\frac 12}{1}{1-x^2}
\end{align}
が成り立つ.
これは右辺の完全楕円積分のFourier-Lengedre展開を与えている. Baranovは2006年の論文で, より一般に定理2にParsevalの等式を用いることで
\begin{align}
\sum_{0\leq n}(2n+1)P_n(w)P_n(x)P_n(y)P_n(z)
\end{align}
が完全楕円積分で表されることを示している. 定理3自体はBaranovより前に示されていた古典的な結果のようだが, どの論文が初出なのかは把握できていない.
