超球多項式の3つの積の無限和の公式

前の記事 でRahman-VermaによるRogers多項式の3つの積の無限和の公式
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\left(\frac{(q;q)_n}{(a^2;q)_n}\right)^2\frac{1-aq^n}{1-a}a^{\frac n2}C_n(\cos\theta;a|q)C_n(\cos\phi;a|q)C_n(\cos\psi;a|q)\\ &=\frac{(a;q)_{\infty}^3(aq;q)_{\infty}}{(a^2;q)_{\infty}^2}\left|\frac{(ae^{2i\theta},ae^{2i\phi},ae^{2i\psi};q)_{\infty}}{(\sqrt ae^{i(\theta+\phi+\psi)},\sqrt ae^{i(-\theta+\phi+\psi)},\sqrt ae^{i(\theta-\phi+\psi)},\sqrt ae^{i(\theta+\phi-\psi)};q)_{\infty}}\right|^2 \end{align}
を示した. しかし, この右辺の古典極限がどうなるかがよく分からなかったため, 左辺の古典極限である
\begin{align} \sum_{0\leq n}\left(\frac{n!}{(2a)_n}\right)^2\frac{n+a}aC_n^{(a)}(\cos\theta)C_n^{(a)}(\cos\phi)C_n^{(a)}(\cos\psi) \end{align}
の表示を得ることができなかった. その後, その極限の導出はRahman-Vermaの1986年の論文において行われていたことが分かったが, その証明にはテータ関数の非自明な等式と漸近挙動を用いられておりそれほど簡単ではなさそうなので, 今回はそれを用いない導出を行いたいと思う.

導出

まず, $q$二項定理から,
\begin{align} \lim_{q\to 1}\frac{(xq^a;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}&=(1-x)^{-a} \end{align}
であることと,
\begin{align} \lim_{q\to 1}\frac{(q;q)_{\infty}}{(q^x;q)_{\infty}}(1-q)^{1-x}=\Gamma(x) \end{align}
であることから,
\begin{align} &\lim_{q\to 1}\frac{(q^a;q)_{\infty}^3(q^{a+1};q)_{\infty}}{(q^{2a};q)_{\infty}^2}\left|\frac{(e^{2i\theta}q^a,e^{2i\phi}q^a,e^{2i\psi}q^a;q)_{\infty}}{(e^{i(\theta+\phi+\psi)}q^{\frac a2},e^{i(-\theta+\phi+\psi)}q^{\frac a2},e^{i(\theta-\phi+\psi)}q^{\frac a2},e^{i(\theta+\phi-\psi)}q^{\frac a2};q)_{\infty}}\right|^2\\ &=\frac{\Gamma(2a)^2}{\Gamma(a)^3\Gamma(a+1)}\frac{((1-e^{i(\theta+\phi+\psi)})(1-e^{-i(\theta+\phi+\psi)})(1-e^{i(-\theta+\phi+\psi)})(1-e^{i(\theta-\phi-\psi)})(1-e^{i(\theta-\phi+\psi)})(1-e^{i(-\theta+\phi-\psi)})(1-e^{i(\theta+\phi-\psi)})(1-e^{i(-\theta-\phi+\psi)}))^{\frac{a-1}2}}{((1-e^{2i\theta})(1-e^{-2i\theta})(1-e^{2i\phi})(1-e^{-2i\phi})(1-e^{2i\psi})(1-e^{-2i\psi}))^{a-1}}\\ &\qquad\cdot\lim_{q\to 1}\frac{(q;q)_{\infty}^3(q^{2};q)_{\infty}}{(q^{2};q)_{\infty}^2}\left|\frac{(e^{2i\theta}q,e^{2i\phi}q,e^{2i\psi}q;q)_{\infty}}{(e^{i(\theta+\phi+\psi)}q^{\frac 12},e^{i(-\theta+\phi+\psi)}q^{\frac 12},e^{i(\theta-\phi+\psi)}q^{\frac 12},e^{i(\theta+\phi-\psi)}q^{\frac 12};q)_{\infty}}\right|^2\\ &=\frac{\Gamma(2a)^2}{4^{a-1}\Gamma(a)^3\Gamma(a+1)}\frac{\left|\sin\frac{\theta+\phi+\psi}2\sin\frac{-\theta+\phi+\psi}2\sin\frac{\theta-\phi+\psi}2\sin\frac{\theta+\phi-\psi}2\right|^{a-1}}{|\sin\theta\sin\phi\sin\psi|^{2a-2}}\\ &\qquad\cdot\lim_{q\to 1}\sum_{0\leq n}\left(\frac{(q;q)_n}{(q^2;q)_n}\right)^2\frac{1-q^{n+1}}{1-q}q^{\frac n2}C_n(\cos\theta;q|q)C_n(\cos\phi;q|q)C_n(\cos\psi;q|q)\\ &=\frac{\Gamma(2a)^2}{4^{a-1}\Gamma(a)^3\Gamma(a+1)}\frac{\left|\sin\frac{\theta+\phi+\psi}2\sin\frac{-\theta+\phi+\psi}2\sin\frac{\theta-\phi+\psi}2\sin\frac{\theta+\phi-\psi}2\right|^{a-1}}{|\sin\theta\sin\phi\sin\psi|^{2a-2}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac 1{n+1}C_n^{(1)}(\cos\theta)C_n^{(1)}(\cos\phi)C_n^{(1)}(\cos\psi) \end{align}
を得る. ここで,
\begin{align} C_n^{(1)}(\cos\theta)=U_n(\cos\theta)=\frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta} \end{align}
となることから,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac 1{n+1}C_n^{(1)}(\cos\theta)C_n^{(1)}(\cos\phi)C_n^{(1)}(\cos\psi)\\ &=\frac 1{\sin\theta\sin\phi\sin\psi}\sum_{0\leq n}\frac{\sin(n+1)\theta\sin(n+1)\phi\sin(n+1)\psi}{n+1}\\ &=\frac 1{\sin\theta\sin\phi\sin\psi}\sum_{0< n}\frac{\sin n\theta\sin n\phi\sin n\psi}{n}\\ &=\frac 1{4\sin\theta\sin\phi\sin\psi}\sum_{0< n}\frac{\sin n(-\theta+\phi+\psi)+\sin n(\theta-\phi+\psi)+\sin n(\theta+\phi-\psi)-\sin n(\theta+\phi+\psi)}{n} \end{align}
ここで, $n$変数の$\sin$の積和公式 を用いた. 良く知られているように$0< x<2\pi$のとき,
\begin{align} \sum_{0< n}\frac{\sin nx}n&=\frac{\pi-x}2 \end{align}
であるから, $0<-\theta+\phi+\psi,\theta-\phi+\psi,\theta+\phi-\psi,\theta+\phi+\psi<2\pi$ならば,
\begin{align} \sum_{0< n}\frac{\sin n(-\theta+\phi+\psi)+\sin n(\theta-\phi+\psi)+\sin n(\theta+\phi-\psi)-\sin n(\theta+\phi+\psi)}{n}=\pi \end{align}
となり, $0<\theta,\phi,\psi<\pi$であって上の不等式が満たされないとき,
\begin{align} \sum_{0< n}\frac{\sin n(-\theta+\phi+\psi)+\sin n(\theta-\phi+\psi)+\sin n(\theta+\phi-\psi)-\sin n(\theta+\phi+\psi)}{n}=0 \end{align}
となることが分かる. よって, 以下を得る.

これは本質的にDougallによる1919年の論文で示されているようである. 特に$a=\frac 12$とすると以下のLegendre多項式の場合を得る.

この公式はBaranovによる2006年の論文においても示されている. $\phi=\psi=\frac{\pi}2$として$x=\cos\theta$とすると以下の系を得る.

これも古典的な結果のようであるが, どの論文で最初に示されたのかは把握できていない.