Rogers多項式の3つの積の無限和の公式

今回はRahman-Vermaによって示されたRogers多項式の3つの積の無限和の公式を示したいと思う.
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\left(\frac{(q;q)_n}{(a^2;q)_n}\right)^2\frac{1-aq^n}{1-a}a^{\frac n2}C_n(\cos\theta;a|q)C_n(\cos\phi;a|q)C_n(\cos\psi;a|q)\\ &=\frac{(a;q)_{\infty}^3(aq;q)_{\infty}}{(a^2;q)_{\infty}^2}\left|\frac{(ae^{2i\theta},ae^{2i\phi},ae^{2i\psi};q)_{\infty}}{(\sqrt ae^{i(\theta+\phi+\psi)},\sqrt ae^{i(-\theta+\phi+\psi)},\sqrt ae^{i(\theta-\phi+\psi)},\sqrt ae^{i(\theta+\phi-\psi)};q)_{\infty}}\right|^2 \end{align}
Rahman-Vermaによる証明においては, Rahmanによる$q$-Feldheimの公式が用いられており, それはかなり複雑な公式であるため, 今回はそれを用いない導出を与えたいと思う.

導出

前の記事 の議論より,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(q;q)_n}{(a^2;q)_n}\frac{1-aq^{n}}{1-a}a^{\frac n2}C_n(\cos\theta;a|q)C_n(\cos\phi;a|q)t^n\\ &=\frac{(a,a,q;q)_{\infty}|(ae^{2i\theta},ae^{2i\phi};q)_{\infty}|^2}{2\pi(a^2;q)_{\infty}}\int_{-1}^1\left|\frac{(e^{2i\omega};q)_{\infty}}{(\sqrt ae^{i(\theta+\phi+\omega)},\sqrt a e^{i(-\theta-\phi+\omega)},\sqrt a e^{i(\theta-\phi+\omega)},\sqrt ae^{i(-\theta+\phi+\omega)};q)_{\infty}}\right|^2\\ &\qquad\cdot\frac{(1-at^2)(ate^{i\omega}q,ate^{-i\omega}q;q)_{\infty}}{(te^{i\omega},te^{-i\omega};q)_{\infty}}\,\frac{dz}{\sqrt{1-z^2}}\\ &\qquad z=\cos\omega \end{align}
が得られる. $q$積分を
\begin{align} \int_a^bf(t)\,d_qt:=\sum_{0\leq n}(bq^nf(bq^n)-aq^nf(aq^n)) \end{align}
とする. $|u|<1$として, $t\mapsto ut$とした後, 両辺に
\begin{align} 2i\sin\psi\frac{(ae^{2i\psi},ae^{-2i\psi},a,a;q)_{\infty}}{(e^{2i\psi},e^{-2i\psi},a^2,q;q)_{\infty}}\frac{(te^{i\psi}q,te^{-i\psi}q;q)_{\infty}}{(ate^{i\psi},ate^{-i\psi};q)_{\infty}} \end{align}
を掛けて$t$に関して$e^{i\psi}$から$e^{-i\psi}$までの$q$積分を考えると, 前の記事 の定理1より,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\left(\frac{(q;q)_n}{(a^2;q)_n}\right)^2\frac{1-aq^{n}}{1-a}a^{\frac n2}C_n(\cos\theta;a|q)C_n(\cos\phi;a|q)C_n(\cos\psi;a|q)u^n\\ &=\frac{2i\sin\psi(a;q)_{\infty}^4|(ae^{2i\theta},ae^{2i\phi},ae^{2i\psi};q)_{\infty}|^2}{2\pi(e^{2i\psi},e^{-2i\psi};q)_{\infty}(a^2;q)_{\infty}^2}\int_{-1}^1\left|\frac{(e^{2i\omega};q)_{\infty}}{(\sqrt ae^{i(\theta+\phi+\omega)},\sqrt a e^{i(-\theta-\phi+\omega)},\sqrt a e^{i(\theta-\phi+\omega)},\sqrt ae^{i(-\theta+\phi+\omega)};q)_{\infty}}\right|^2\\ &\qquad\cdot\int_{e^{i\psi}}^{e^{-i\psi}}\frac{(1-au^2t^2)(aute^{i\omega}q,aute^{-i\omega}q,te^{i\psi}q,te^{-i\psi}q;q)_{\infty}}{(ute^{i\omega},ute^{-i\omega},ate^{i\psi},ate^{-i\psi};q)_{\infty}}\,d_qt\,\frac{dz}{\sqrt{1-z^2}}\\ &=\frac{\sin\psi(a;q)_{\infty}^4|(ae^{2i\theta},ae^{2i\phi},ae^{2i\psi};q)_{\infty}|^2}{2\pi(e^{2i\psi},e^{-2i\psi};q)_{\infty}(a^2;q)_{\infty}^2}\int_{|w|=1}\frac{(w^2,w^{-2};q)_{\infty}}{(\sqrt ae^{i(\theta+\phi)}w,\sqrt a e^{i(-\theta-\phi)}w,\sqrt a e^{i(\theta-\phi)}w,\sqrt ae^{i(-\theta+\phi)}w,\sqrt ae^{i(\theta+\phi)}/w,\sqrt a e^{i(-\theta-\phi)}/w,\sqrt a e^{i(\theta-\phi)}/w,\sqrt ae^{i(-\theta+\phi)}/w;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\int_{e^{i\psi}}^{e^{-i\psi}}\frac{(1-au^2t^2)(autwq,autq/w,te^{i\psi}q,te^{-i\psi}q;q)_{\infty}}{(utw,ut/w,ate^{i\psi},ate^{-i\psi};q)_{\infty}}\,d_qt\,\,\frac{dw}{w} \end{align}
を得る. ここで, $u\to 1$と近づけることを考えたいが, $w$が単位円周を通っているので, 積分路を少しだけ単位円周より外側を通る積分路$C$に変形することを考える. そのように変形して, $u\to 1$を考えたとき, 特に$t=e^{\pm i\psi}$の場合に
\begin{align} \frac 1{(e^{i\psi}w;q)_{\infty}},\quad\frac 1{(e^{-i\psi}w;q)_{\infty}} \end{align}
の極$w=e^{\pm i\psi}$が単位円周の内側に入ることによって, その留数の分だけ値が変わる. よって, その分を補正すると,
\begin{align} I&:=\frac{\sin\psi(a;q)_{\infty}^4|(ae^{2i\theta},ae^{2i\phi},ae^{2i\psi};q)_{\infty}|^2}{2\pi(e^{2i\psi},e^{-2i\psi};q)_{\infty}(a^2;q)_{\infty}^2}\int_{C}\frac{(w^2,w^{-2};q)_{\infty}}{(\sqrt ae^{i(\theta+\phi)}w,\sqrt a e^{i(-\theta-\phi)}w,\sqrt a e^{i(\theta-\phi)}w,\sqrt ae^{i(-\theta+\phi)}w,\sqrt ae^{i(\theta+\phi)}/w,\sqrt a e^{i(-\theta-\phi)}/w,\sqrt a e^{i(\theta-\phi)}/w,\sqrt ae^{i(-\theta+\phi)}/w;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\int_{e^{i\psi}}^{e^{-i\psi}}\frac{(1-at^2)(atwq,atq/w,te^{i\psi}q,te^{-i\psi}q;q)_{\infty}}{(tw,t/w,ate^{i\psi},ate^{-i\psi};q)_{\infty}}\,d_qt\,\,dw \end{align}
として,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\left(\frac{(q;q)_n}{(a^2;q)_n}\right)^2\frac{1-aq^{n}}{1-a}a^{\frac n2}C_n(\cos\theta;a|q)C_n(\cos\phi;a|q)C_n(\cos\psi;a|q)\\ &=I-\frac{i\sin\psi(a;q)_{\infty}^4|(ae^{2i\theta},ae^{2i\phi},ae^{2i\psi};q)_{\infty}|^2}{(e^{2i\psi},e^{-2i\psi};q)_{\infty}(a^2;q)_{\infty}^2}e^{-i\psi}\Res_{w=e^{i\psi}}\frac{(w^2,w^{-2};q)_{\infty}}{(\sqrt ae^{i(\theta+\phi)}w,\sqrt a e^{i(-\theta-\phi)}w,\sqrt a e^{i(\theta-\phi)}w,\sqrt ae^{i(-\theta+\phi)}w,\sqrt ae^{i(\theta+\phi)}/w,\sqrt a e^{i(-\theta-\phi)}/w,\sqrt a e^{i(\theta-\phi)}/w,\sqrt ae^{i(-\theta+\phi)}/w;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(1-ae^{-2i\psi})(ae^{-i\psi}wq,ae^{-i\psi}q/w,q,e^{-2i\psi}q;q)_{\infty}}{(e^{-i\psi}w,e^{-i\psi}/w,a,ae^{-2i\psi};q)_{\infty}w}\\ &+\frac{i\sin\psi(a;q)_{\infty}^4|(ae^{2i\theta},ae^{2i\phi},ae^{2i\psi};q)_{\infty}|^2}{(e^{2i\psi},e^{-2i\psi};q)_{\infty}(a^2;q)_{\infty}^2}e^{i\psi}\Res_{w=e^{-i\psi}}\frac{(w^2,w^{-2};q)_{\infty}}{(\sqrt ae^{i(\theta+\phi)}w,\sqrt a e^{i(-\theta-\phi)}w,\sqrt a e^{i(\theta-\phi)}w,\sqrt ae^{i(-\theta+\phi)}w,\sqrt ae^{i(\theta+\phi)}/w,\sqrt a e^{i(-\theta-\phi)}/w,\sqrt a e^{i(\theta-\phi)}/w,\sqrt ae^{i(-\theta+\phi)}/w;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(1-ae^{2i\psi})(ae^{i\psi}wq,ae^{i\psi}q/w,q,e^{2i\psi}q;q)_{\infty}}{(e^{i\psi}w,e^{i\psi}/w,a,ae^{2i\psi};q)_{\infty}w}\\ &=I+\frac{i\sin\psi(a;q)_{\infty}^4|(ae^{2i\theta},ae^{2i\phi},ae^{2i\psi};q)_{\infty}|^2}{(e^{2i\psi},e^{-2i\psi};q)_{\infty}(a^2;q)_{\infty}^2}\frac{|(e^{2i\psi};q)_{\infty}|^2}{|(\sqrt ae^{i(\theta+\phi+\psi)},\sqrt ae^{i(-\theta+\phi+\psi)},\sqrt ae^{i(\theta-\phi+\psi)},\sqrt ae^{i(\theta+\phi-\psi)};q)_{\infty}|^2}\\ &\qquad\cdot\left(\frac{e^{-i\psi}}{(1-a)(1-e^{-2i\psi})}-\frac{e^{i\psi}}{(1-a)(1-e^{2i\psi})}\right)\\ &=I+\frac{(a;q)_{\infty}^3(aq;q)_{\infty}}{(a^2;q)_{\infty}^2}\frac{|(ae^{2i\theta},ae^{2i\phi},ae^{2i\psi};q)_{\infty}|^2}{|(\sqrt ae^{i(\theta+\phi+\psi)},\sqrt ae^{i(-\theta+\phi+\psi)},\sqrt ae^{i(\theta-\phi+\psi)},\sqrt ae^{i(\theta+\phi-\psi)};q)_{\infty}|^2}\\ \end{align}
Rogersの${}_6\phi_5$和公式より,
\begin{align} &\int_{e^{i\psi}}^{e^{-i\psi}}\frac{(1-at^2)(ate^{i\omega}q,ate^{-i\omega}q,te^{i\psi}q,te^{-i\psi}q;q)_{\infty}}{(te^{i\omega},te^{-i\omega},ate^{i\psi},ate^{-i\psi};q)_{\infty}}\,d_qt\\ &=e^{-i\psi}\sum_{0\leq n}\frac{(1-ae^{-2i\psi}q^{2n})(ae^{i(-\psi+\omega)}q^{n+1},ae^{i(-\psi-\omega)}q^{n+1},q^{n+1},e^{-2i\psi}q^{n+1};q)_{\infty}}{(e^{i(-\psi+\omega)}q^n,e^{i(-\psi-\omega)}q^n,aq^n,ae^{-2i\psi}q^n;q)_{\infty}}q^n\\ &\qquad-e^{i\psi}\sum_{0\leq n}\frac{(1-ae^{2i\psi}q^{2n})(ae^{i(\psi+\omega)}q^{n+1},ae^{i(\psi-\omega)}q^{n+1},q^{n+1},e^{2i\psi}q^{n+1};q)_{\infty}}{(e^{i(\psi+\omega)}q^n,e^{i(\psi-\omega)}q^n,aq^n,ae^{2i\psi}q^n;q)_{\infty}}q^n\\ &=e^{-i\psi}\frac{(ae^{i(-\psi+\omega)}q,ae^{i(-\psi-\omega)}q,q,e^{-2i\psi}q;q)_{\infty}}{(e^{i(-\psi+\omega)},e^{i(-\psi-\omega)},a,ae^{-2i\psi};q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(1-ae^{-2i\psi}q^{2n})(e^{i(-\psi+\omega)},e^{i(-\psi-\omega)},a,ae^{-2i\psi};q)_n}{(ae^{i(-\psi+\omega)}q,ae^{i(-\psi-\omega)}q,q,e^{-2i\psi}q;q)_n}q^n\\ &\qquad-e^{i\psi}\frac{(ae^{i(\psi+\omega)}q,ae^{i(\psi-\omega)}q,q,e^{2i\psi}q;q)_{\infty}}{(e^{i(\psi+\omega)},e^{i(\psi-\omega)},a,ae^{2i\psi};q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(1-ae^{2i\psi}q^{2n})(e^{i(\psi+\omega)},e^{i(\psi-\omega)},a,ae^{2i\psi};q)_n}{(ae^{i(\psi+\omega)}q,ae^{i(\psi-\omega)}q,q,e^{2i\psi}q;q)_n}q^n\\ &=e^{-i\psi}\frac{(ae^{i(-\psi+\omega)}q,ae^{i(-\psi-\omega)}q,q,e^{-2i\psi}q;q)_{\infty}}{(e^{i(-\psi+\omega)},e^{i(-\psi-\omega)},a,ae^{-2i\psi};q)_{\infty}}\frac{(ae^{-2i\psi},aq,e^{i(-\psi+\omega)}q,e^{i(-\psi-\omega)}q;q)_{\infty}}{(ae^{i(-\psi+\omega)}q,ae^{i(-\psi-\omega)}q,e^{-2i\psi}q,q;q)_{\infty}}\\ &\qquad-e^{i\psi}\frac{(ae^{i(\psi+\omega)}q,ae^{i(\psi-\omega)}q,q,e^{2i\psi}q;q)_{\infty}}{(e^{i(\psi+\omega)},e^{i(\psi-\omega)},a,ae^{2i\psi};q)_{\infty}}\frac{(ae^{2i\psi},aq,e^{i(\psi+\omega)}q,e^{i(\psi-\omega)}q;q)_{\infty}}{(ae^{i(\psi+\omega)}q,ae^{i(\psi-\omega)}q,e^{2i\psi}q,q;q)_{\infty}}\\ &=e^{-i\psi}\frac{1}{(1-a)(1-e^{i(-\psi+\omega)})(1-e^{i(-\psi-\omega)})}-e^{i\psi}\frac{1}{(1-a)(1-e^{i(\psi+\omega)})(1-e^{i(\psi-\omega)})}\\ &=\frac{e^{-i\psi}(1-e^{i(\psi+\omega)})(1-e^{i(\psi-\omega)})-e^{i\psi}(1-e^{i(-\psi+\omega)})(1-e^{i(-\psi-\omega)})}{(1-a)(1-e^{i(-\psi+\omega)})(1-e^{i(-\psi-\omega)})(1-e^{i(\psi+\omega)})(1-e^{i(\psi-\omega)})}\\ &=0 \end{align}
であるから, $I=0$となる. つまり, 以下を得る.

Rahman-Vermaの論文においては定理1の類似として, 第2種$q$超球関数が入った公式
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(q;q)_n}{(a^2;q)_n}\frac{1-aq^n}{1-a}\left(\frac qa\right)^{\frac n2}C_n(\cos\theta;a|q)C_n(\cos\phi;a|q)D_n(\cos\psi;a|q)\\ &=\frac{(a,aq;q)_{\infty}}{2(q,a^2;q)_{\infty}}\Im\left(\frac{(ae^{2i\psi},e^{-2i\psi}q/a,\sqrt{aq}e^{i(\theta+\phi-\psi)},\sqrt{aq}e^{-i(\theta+\psi+\psi)},\sqrt{aq}e^{i(\theta-\phi-\psi)},\sqrt{aq}e^{i(\phi-\theta-\psi)};q)_{\infty}}{(e^{2i\psi},e^{-2i\psi}q,\sqrt{q/a}e^{i(\theta+\phi-\psi)},\sqrt{q/a}e^{-i(\theta+\phi+\psi)},\sqrt{q/a}e^{i(\theta-\phi-\psi)},\sqrt{q/a}e^{i(\phi-\theta-\psi)};q)_{\infty}}\right) \end{align}
も示されている.

定理1の右辺の古典極限がどうなるのかはそれほど明らかではないと思われる. そのため定理1から古典的な超球多項式の3つの積の和
\begin{align} \sum_{0\leq n}\left(\frac{n!}{(2a)_n}\right)^2\frac{n+a}aC_n^{(a)}(\cos\theta)C_n^{(a)}(\cos\phi)C_n^{(a)}(\cos\psi) \end{align}
の明示式を得ることができるかどうかは少なくともすぐには分からないところである.