Rogers多項式のPoisson核
$x=\cos\theta$とする. Rogers多項式は
\begin{align}
C_n(x;a|q)&=\sum_{k=0}^n\frac{(a;q)_k(a;q)_{n-k}}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}e^{i(n-2k)\theta}
\end{align}
によって定義される. 定義と$q$二項定理よりその母関数は
\begin{align}
\sum_{0\leq n}C_n(x;a|q)t^n&=\frac{(ate^{i\theta},ate^{-i\theta};q)_{\infty}}{(te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}}
\end{align}
と与えられる. 今回はそのPoisson核に関連する以下の公式を示す.
$x=\cos\theta,y=\cos\phi$とするとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(q;q)_n}{(a^2;q)_n}C_n(x;a|q)C_n(y;a|q)t^n\\
&=\frac{(a,t^2;q)_{\infty}}{(a^2,at^2;q)_{\infty}}\left|\frac{(ate^{i(\theta+\phi)},ate^{i(\theta-\phi)};q)_{\infty}}{(te^{i(\theta+\phi)},te^{i(\theta-\phi)};q)_{\infty}}\right|^2\\
&\qquad\cdot\Q87{at^2/q,t\sqrt{aq},-t\sqrt{aq},te^{i(\theta+\phi)},te^{-i(\theta+\phi)},te^{i(\theta-\phi)},te^{i(\phi-\theta)},a}{t\sqrt{a/q},-t\sqrt{a/q},ate^{-i(\theta+\phi)},ate^{i(\theta+\phi)},ate^{i(\phi-\theta)},ate^{i(\theta-\phi)},t^2}a
\end{align}
が成り立つ.
Rogers多項式の積公式
\begin{align}
C_n(x;a|q)C_n(y;a|q)&=\frac{(a^2;q)_n}{(q;q)_n}a^{-\frac n2}\int_{-1}^1K(x,y,z;a|q)C_n(z;a|q)\,dz\\
K(x,y,z;a|q)&:=\frac{(a,a,q;q)_{\infty}|(ae^{2i\theta},ae^{2i\phi};q)_{\infty}|^2}{2\pi(a^2;q)_{\infty}}w(z;\sqrt ae^{i(\theta+\phi)},\sqrt ae^{-i(\theta+\phi)},\sqrt ae^{i(\theta-\phi)},\sqrt ae^{i(\phi-\theta)})\\
w(z;a,b,c,d)&:=\left|\frac{(e^{2i\psi};q)_{\infty}}{(ae^{i\psi},be^{i\psi},ce^{\psi},de^{i\psi};q)_{\infty}}\right|^2\frac 1{\sqrt{1-z^2}}\qquad z=\cos\psi
\end{align}
より,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(q;q)_n}{(a^2;q)_n}C_n(x;a|q)C_n(y;a|q)t^n\\
&=\int_{-1}^1K(x,y,z;a|q)\sum_{0\leq n}C_n(z;a|q)\left(\frac{t}{\sqrt a}\right)^n\,dz\\
&=\int_{-1}^1K(x,y,z;a|q)\frac{(\sqrt ate^{i\psi},\sqrt ate^{-i\psi};q)_{\infty}}{(te^{i\psi}/\sqrt a,te^{-i\psi}/\sqrt a;q)_{\infty}}\,dz\\
&=\frac{(a,a,q;q)_{\infty}|(ae^{2i\theta},ae^{2i\phi};q)_{\infty}|^2}{2\pi(a^2;q)_{\infty}}\int_{-1}^1w(z;\sqrt ae^{i(\theta+\phi)},\sqrt ae^{-i(\theta+\phi)},\sqrt ae^{i(\theta-\phi)},\sqrt ae^{i(\phi-\theta)})\frac{(\sqrt ate^{i\psi},\sqrt ate^{-i\psi};q)_{\infty}}{(te^{i\psi}/\sqrt a,te^{-i\psi}/\sqrt a;q)_{\infty}}\,dz
\end{align}
ここで, Nassrallah-Rahman積分(
前の記事
の定理2)より,
\begin{align}
&\frac{(a,a,q;q)_{\infty}|(ae^{2i\theta},ae^{2i\phi};q)_{\infty}|^2}{2\pi(a^2;q)_{\infty}}\int_{-1}^1w(z;\sqrt ae^{i(\theta+\phi)},\sqrt ae^{-i(\theta+\phi)},\sqrt ae^{i(\theta-\phi)},\sqrt ae^{i(\phi-\theta)})\frac{(\sqrt ate^{i\psi},\sqrt ate^{-i\psi};q)_{\infty}}{(te^{i\psi}/\sqrt a,te^{-i\psi}/\sqrt a;q)_{\infty}}\,dz\\
&=\frac{(ate^{i(\theta+\phi)},ate^{-i(\theta+\phi)},ate^{i(\theta-\phi)},ate^{i(\phi-\theta)},t^2,a;q)_{\infty}}{(a^2,te^{i(\theta+\phi)},te^{-i(\theta+\phi)},te^{i(\theta-\phi)},te^{i(\phi-\theta)},at^2;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q87{at^2/q,t\sqrt{aq},-t\sqrt{aq},te^{i(\theta+\phi)},te^{-i(\theta+\phi)},te^{i(\theta-\phi)},te^{i(\phi-\theta)},a}{t\sqrt{a/q},-t\sqrt{a/q},ate^{-i(\theta+\phi)},ate^{i(\theta+\phi)},ate^{i(\phi-\theta)},ate^{i(\theta-\phi)},t^2}a
\end{align}
となるから示すべき等式が得られる.
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{1-aq^n}{1-a}C_n(z;a|q)t^n&=\frac 1{1-a}\frac{(ate^{i\psi},ate^{-i\psi};q)_{\infty}}{(te^{i\psi},te^{-i\psi};q)_{\infty}}-\frac a{1-a}\frac{(ate^{i\psi}q,ate^{-i\psi}q;q)_{\infty}}{(te^{i\psi}q,te^{-i\psi}q;q)_{\infty}}\\
&=\frac{(1-at^2)(ate^{i\psi}q,ate^{-i\psi}q;q)_{\infty}}{(te^{i\psi},te^{-i\psi};q)_{\infty}}
\end{align}
であることを用いると, 定理1の証明と全く同様に以下が得られる.
$x=\cos\theta,y=\cos\phi$とするとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(q;q)_n(1-aq^n)}{(a^2;q)_n(1-a)}C_n(x;a|q)C_n(y;a|q)t^n\\
&=\frac{(a,t^2;q)_{\infty}}{(a^2,at^2q;q)_{\infty}}\left|\frac{(ate^{i(\theta+\phi)},ate^{i(\theta-\phi)}q;q)_{\infty}}{(te^{i(\theta+\phi)},te^{i(\theta-\phi)};q)_{\infty}}\right|^2\\
&\qquad\cdot\Q87{at^2,t\sqrt{a}q,-t\sqrt{a}q,te^{i(\theta+\phi)}q,te^{-i(\theta+\phi)}q,te^{i(\theta-\phi)},te^{i(\phi-\theta)},a}{t\sqrt{a},-t\sqrt{a},ate^{-i(\theta+\phi)},ate^{i(\theta+\phi)},ate^{i(\phi-\theta)}q,ate^{i(\theta-\phi)}q,t^2q}a
\end{align}
が成り立つ.
これはRogers多項式のPoisson核を与えている.
