Very-well-poised 8ψ8のq-Mellin-Barnes積分表示

前の記事 で示したNassrallah-Rahman積分は以下のようなものだった.

$t\to f, At\to g$として書き換えると,
\begin{align} &\frac{(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)_{\infty}}{2\pi(abcd;q)_{\infty}} \int_0^{\pi}\left|\frac{(e^{2i\theta},ge^{i\theta};q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},de^{i\theta},fe^{i\theta};q)_{\infty}}\right|^2\,d\theta\\ &=\frac{(acdf,ag,cg,dg;q)_{\infty}}{(acdg,af,cf,df;q)_{\infty}}\Q87{acdg/q,q\sqrt{acdg/q},-q\sqrt{acdg/q},g/b,g/f,ac,ad,cd}{\sqrt{acdg/q},-\sqrt{acdg/q},abcd,acdf,ag,cg,dg}{bf} \end{align}
右辺に ${}_8\phi_7$の2項変換公式
\begin{align} &\Q87{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,f}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f}{\frac{a^2q^2}{bcdef}}\\ &=\frac{(aq,aq/ef,wq/e,wq/f;q)_{\infty}}{(aq/e,aq/f,wq,wq/ef;q)_{\infty}}\Q87{w,\sqrt wq,-\sqrt wq,wb/a,wc/a,wd/a,e,f}{\sqrt w,-\sqrt w,aq/b,aq/c,aq/d,wq/e,wq/f}{\frac{aq}{ef}}\qquad w=a^2q/bcd \end{align}
を適用すると,
\begin{align} &\Q87{acdg/q,q\sqrt{acdg/q},-q\sqrt{acdg/q},g/b,g/f,ac,ad,cd}{\sqrt{acdg/q},-\sqrt{acdg/q},abcd,acdt,ag,cg,dg}{bf}\\ &=\frac{(acdg,abcdf/g,bg,fg;q)_{\infty}}{(abcd,acdf,g^2,bf;q)_{\infty}}\Q87{g^2/q,q\sqrt{g^2/q},-q\sqrt{g^2/q},g/b,g/f,g/a,g/c,g/d}{\sqrt{g^2/q},-\sqrt{g^2/q},bg,fg,ag,cg,dg}{\frac{abcdf}g} \end{align}
となる. よってこれを代入して
\begin{align} &\frac{(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)_{\infty}}{2\pi(abcd;q)_{\infty}} \int_{-1}^1\left|\frac{(e^{2i\theta},ge^{i\theta};q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},de^{i\theta},fe^{i\theta};q)_{\infty}}\right|^2\,dx\\ &=\frac{(acdf,ag,cg,dg;q)_{\infty}}{(acdg,af,cf,df;q)_{\infty}}\frac{(acdg,abcdf/g,bg,fg;q)_{\infty}}{(abcd,acdf,g^2,bf;q)_{\infty}}\Q87{g^2/q,q\sqrt{g^2/q},-q\sqrt{g^2/q},g/b,g/f,g/a,g/c,g/d}{\sqrt{g^2/q},-\sqrt{g^2/q},bg,fg,ag,cg,dg}{\frac{abcdf}g}\\ &=\frac{(ag,bg,cg,dg,fg,abcdf/g;q)_{\infty}}{(abcd,af,bf,cf,df,g^2;q)_{\infty}}\Q87{g^2/q,q\sqrt{g^2/q},-q\sqrt{g^2/q},g/a,g/b,g/c,g/d,g/f}{\sqrt{g^2/q},-\sqrt{g^2/q},ag,bg,cg,dg,fg}{\frac{abcdf}g} \end{align}
つまり, 以下を得る.

これは元の定理1よりも対称的な形である. 前の記事 で示したM. Jacksonの${}_8\psi_8$変換公式は以下のようなものである.

これは$a\mapsto \alpha^2, b\mapsto \alpha b, c\mapsto\alpha c,d\mapsto \alpha d, e\mapsto \alpha a,f\mapsto \alpha f,g\mapsto \alpha g$と置き換えると
\begin{align} &\frac{(\alpha q/a,\alpha q/b,\alpha q/c,\alpha q/d,q/\alpha a,q/\alpha b,q/\alpha c,q/\alpha d;q)_{\infty}}{(\alpha^2q,q/\alpha^2,\alpha f,\alpha g,f/\alpha ,g/\alpha;q)_{\infty}}\\ &\BQ88{\alpha q,-\alpha q,\alpha a,\alpha b,\alpha c,\alpha d,\alpha f,\alpha g}{\alpha ,-\alpha ,\alpha q/a,\alpha q/b,\alpha q/c,\alpha q/d,\alpha q/f,\alpha q/g}{\frac{q^2}{bcdefg}}\\ &=\frac{(fq/a,fq/b,fq/c,fq/d,q,q/af,q/bf,q/cf,q/df;q)_{\infty}}{(\alpha f,q/\alpha f,\alpha q/f,f/\alpha,f^2q,g/f,fg;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q87{f^2,fq,-fq,af,bf,cf,df,gf}{f,-f,fq/a,fq/b,fq/c,fq/d,fq/g}{\frac{q^2}{bcdefg}}\\ &\qquad+\mathrm{idem}(f;g) \end{align}
となる. さらに$a\mapsto q^{\frac 12}/a,b\mapsto q^{\frac 12}/b,c\mapsto q^{\frac 12}/c,d\mapsto q^{\frac 12}/d,f\mapsto q^{\frac 12}/f,g\mapsto q^{\frac 12}/g$として定理2を適用すると,
\begin{align} &\frac{(\alpha aq^{\frac 12},\alpha bq^{\frac 12},\alpha cq^{\frac 12},\alpha dq^{\frac 12},aq^{\frac 12}/\alpha ,bq^{\frac 12}/\alpha,cq^{\frac 12}/\alpha,dq^{\frac 12}/\alpha;q)_{\infty}}{(\alpha^2q,q/\alpha^2,\alpha q^{\frac 12}/f,\alpha q^{\frac 12}/g,q^{\frac 12}/\alpha f,q^{\frac 12}/\alpha g;q)_{\infty}}\\ &\BQ88{\alpha q,-\alpha q,\alpha q^{\frac 12}/a,\alpha q^{\frac 12}/b,\alpha q^{\frac 12}/c,\alpha q^{\frac 12}/d,\alpha q^{\frac 12}/f,\alpha q^{\frac 12}g}{\alpha ,-\alpha ,\alpha aq^{\frac 12},\alpha bq^{\frac 12},\alpha cq^{\frac 12},\alpha dq^{\frac 12},\alpha fq^{\frac 12},\alpha gq^{\frac 12}}{\frac{bcdefg}{q}}\\ &=\frac{(aq/f,bq/f,cq/f,dq/f,q,af,bf,cf,df;q)_{\infty}}{(\alpha q^{\frac 12}/f,fq^{\frac 12}/\alpha,\alpha fq^{\frac 12},q^{\frac 12}/\alpha f,q^2/f^2,f/g,q/fg;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q87{q/f^2,q^{\frac 32}/f,-q^{\frac 32}/f,q/af,q/bf,q/cf,q/df,q/gf}{q^{\frac 12}/f,-q^{\frac 12}/f,aq/f,bq/f,cq/f,dq/f,gq/f}{\frac{bcdefg}{q}}\\ &\qquad+\mathrm{idem}(f;g)\\ &=\frac{(aq/f,bq/f,cq/f,dq/f,q,af,bf,cf,df;q)_{\infty}}{(\alpha q^{\frac 12}/f,fq^{\frac 12}/\alpha,\alpha fq^{\frac 12},q^{\frac 12}/\alpha f,q^2/f^2,f/g,q/fg;q)_{\infty}}\\ &\cdot\frac{(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd,ag,bg,cg,dg,q^2/f^2;q)_{\infty}}{2\pi(aq/f,bq/f,cq/f,dq/f,gq/f,abcdfg/q;q)_{\infty}} \int_0^{\pi}\left|\frac{(e^{2i\theta},e^{i\theta}q/f;q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},de^{i\theta},ge^{i\theta};q)_{\infty}}\right|^2\,d\theta\\ &\qquad+\mathrm{idem}(f;g)\\ &=\frac{(q,q,ab,ac,ad,bc,bd,cd,af,bf,cf,df,ag,bg,cg,dg;q)_{\infty}}{2\pi(q/fg,abcdfg/q;q)_{\infty}}\\ &\cdot\left(\frac{1}{(\alpha q^{\frac 12}/f,fq^{\frac 12}/\alpha,\alpha fq^{\frac 12},q^{\frac 12}/\alpha f,f/g,gq/f;q)_{\infty}}\int_0^{\pi}\left|\frac{(e^{2i\theta},e^{i\theta}q/f;q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},de^{i\theta},ge^{i\theta};q)_{\infty}}\right|^2\,d\theta+\mathrm{idem}(f;g)\right) \end{align}
ここで,
\begin{align} &\frac{1}{(\alpha q^{\frac 12}/f,fq^{\frac 12}/\alpha,\alpha fq^{\frac 12},q^{\frac 12}/\alpha f,f/g,gq/f;q)_{\infty}}\int_0^{\pi}\left|\frac{(e^{2i\theta},e^{i\theta}q/f;q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},de^{i\theta},ge^{i\theta};q)_{\infty}}\right|^2\,d\theta+\mathrm{idem}(f;g)\\ &=\frac 1{(f/g,gq/f;q)_{\infty}}\frac{1}{(\alpha q^{\frac 12}/f,fq^{\frac 12}/\alpha,\alpha fq^{\frac 12},q^{\frac 12}/\alpha f;q)_{\infty}}\int_0^{\pi}\left|\frac{(e^{2i\theta},e^{i\theta}q/f;q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},de^{i\theta},ge^{i\theta};q)_{\infty}}\right|^2\,d\theta\\ &\qquad-\frac 1{(f/g,gq/f;q)_{\infty}}\frac fg\frac{1}{(\alpha q^{\frac 12}/g,gq^{\frac 12}/\alpha,\alpha gq^{\frac 12},q^{\frac 12}/\alpha g;q)_{\infty}}\int_0^{\pi}\left|\frac{(e^{2i\theta},e^{i\theta}q/g;q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},de^{i\theta},fe^{i\theta};q)_{\infty}}\right|^2\,d\theta\\ &=\frac 1{(f/g,gq/f;q)_{\infty}}\int_0^{\pi}\left|\frac{(e^{2i\theta};q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},de^{i\theta},fe^{i\theta},ge^{i\theta};q)_{\infty}}\right|^2\,d\theta\\ &\qquad\cdot\left(\frac{(fe^{i\theta},fe^{-i\theta},e^{i\theta}q/f,e^{-i\theta}q/f;q)_{\infty}}{(\alpha q^{\frac 12}/f,fq^{\frac 12}/\alpha,\alpha fq^{\frac 12},q^{\frac 12}/\alpha f;q)_{\infty}}-\frac fg\frac{(ge^{i\theta},ge^{-i\theta},e^{i\theta}q/g,e^{-i\theta}q/g;q)_{\infty}}{(\alpha q^{\frac 12}/g,gq^{\frac 12}/\alpha,\alpha gq^{\frac 12},q^{\frac 12}/\alpha g;q)_{\infty}}\right) \end{align}
ここで, 無限積の3項関係式 より, $\langle x;q\rangle_{\infty}:=(x,q/x;q)_{\infty},\quad \langle x_1,\dots,x_r;q\rangle_{\infty}:=\langle x_1;q\rangle_{\infty}\cdots\langle x_r;q\rangle_{\infty}$として,
\begin{align} &\frac{(fe^{i\theta},fe^{-i\theta},e^{i\theta}q/f,e^{-i\theta}q/f;q)_{\infty}}{(\alpha q^{\frac 12}/f,fq^{\frac 12}/\alpha,\alpha fq^{\frac 12},q^{\frac 12}/\alpha f;q)_{\infty}}-\frac fg\frac{(ge^{i\theta},ge^{-i\theta},e^{i\theta}q/g,e^{-i\theta}q/g;q)_{\infty}}{(\alpha q^{\frac 12}/g,gq^{\frac 12}/\alpha,\alpha gq^{\frac 12},q^{\frac 12}/\alpha g;q)_{\infty}}\\ &=\frac{\langle fe^{i\theta},fe^{-i\theta},gq^{\frac 12}/\alpha,\alpha gq^{\frac 12};q\rangle_{\infty}-\frac fg\langle ge^{i\theta},ge^{-i\theta},fq^{\frac 12}/\alpha,\alpha fq^{\frac 12};q\rangle_{\infty}}{\langle\alpha q^{\frac 12}/f,\alpha fq^{\frac 12},\alpha q^{\frac 12}/g,\alpha gq^{\frac 12};q\rangle_{\infty}}\\ &=-fe^{i\theta}\frac{\langle fe^{i\theta}q,fe^{-i\theta},gq^{\frac 12}/\alpha,\alpha gq^{\frac 12};q\rangle_{\infty}-\langle ge^{i\theta}q,ge^{-i\theta},fq^{\frac 12}/\alpha,\alpha fq^{\frac 12};q\rangle_{\infty}}{\langle\alpha q^{\frac 12}/f,\alpha fq^{\frac 12},\alpha q^{\frac 12}/g,\alpha gq^{\frac 12};q\rangle_{\infty}}\\ &=-fg\frac{\langle fgq,f/g,\alpha e^{i\theta}q^{\frac 12},e^{i\theta}q^{\frac 12}/\alpha;q\rangle_{\infty}}{\langle\alpha q^{\frac 12}/f,\alpha fq^{\frac 12},\alpha q^{\frac 12}/g,\alpha gq^{\frac 12};q\rangle_{\infty}}\\ &=\frac{\langle fg,f/g,\alpha e^{i\theta}q^{\frac 12},e^{i\theta}q^{\frac 12}/\alpha;q\rangle_{\infty}}{\langle\alpha q^{\frac 12}/f,\alpha fq^{\frac 12},\alpha q^{\frac 12}/g,\alpha gq^{\frac 12};q\rangle_{\infty}}\\ \end{align}
であるから, これを代入すると,
\begin{align} &\frac{(\alpha aq^{\frac 12},\alpha bq^{\frac 12},\alpha cq^{\frac 12},\alpha dq^{\frac 12},aq^{\frac 12}/\alpha ,bq^{\frac 12}/\alpha,cq^{\frac 12}/\alpha,dq^{\frac 12}/\alpha;q)_{\infty}}{(\alpha^2q,q/\alpha^2,\alpha q^{\frac 12}/f,\alpha q^{\frac 12}/g,q^{\frac 12}/\alpha f,q^{\frac 12}/\alpha g;q)_{\infty}}\\ &\BQ88{\alpha q,-\alpha q,\alpha q^{\frac 12}/a,\alpha q^{\frac 12}/b,\alpha q^{\frac 12}/c,\alpha q^{\frac 12}/d,\alpha q^{\frac 12}/f,\alpha q^{\frac 12}g}{\alpha ,-\alpha ,\alpha aq^{\frac 12},\alpha bq^{\frac 12},\alpha cq^{\frac 12},\alpha dq^{\frac 12},\alpha fq^{\frac 12},\alpha gq^{\frac 12}}{\frac{bcdefg}{q}}\\ &=\frac{(q,q,ab,ac,ad,bc,bd,cd,af,bf,cf,df,ag,bg,cg,dg;q)_{\infty}}{2\pi(q/fg,abcdfg/q;q)_{\infty}}\\ &\cdot\left(\frac 1{(f/g,gq/f;q)_{\infty}}\int_0^{\pi}\left|\frac{(e^{2i\theta};q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},de^{i\theta},fe^{i\theta},ge^{i\theta};q)_{\infty}}\right|^2\,d\theta\frac{\langle fg,f/g,\alpha e^{i\theta}q^{\frac 12},e^{i\theta}q^{\frac 12}/\alpha;q\rangle_{\infty}}{\langle\alpha q^{\frac 12}/f,\alpha fq^{\frac 12},\alpha q^{\frac 12}/g,\alpha gq^{\frac 12};q\rangle_{\infty}}\right)\\ &=\frac{(q,q,ab,ac,ad,bc,bd,cd,af,bf,cf,df,ag,bg,cg,dg,fg;q)_{\infty}}{2\pi(abcdfg/q;q)_{\infty}\langle\alpha q^{\frac 12}/f,\alpha fq^{\frac 12},\alpha q^{\frac 12}/g,\alpha gq^{\frac 12};q\rangle_{\infty}}\int_0^{\pi}\left|\frac{(e^{2i\theta},\alpha e^{i\theta}q^{\frac 12},e^{i\theta}q^{\frac 12}/\alpha;q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},de^{i\theta},fe^{i\theta},ge^{i\theta};q)_{\infty}}\right|^2\,d\theta \end{align}
を得る. ${}_8\psi_8$に関して整理すると,

\begin{align} &\BQ88{\alpha q,-\alpha q,\alpha q^{\frac 12}/a,\alpha q^{\frac 12}/b,\alpha q^{\frac 12}/c,\alpha q^{\frac 12}/d,\alpha q^{\frac 12}/f,\alpha q^{\frac 12}g}{\alpha ,-\alpha ,\alpha aq^{\frac 12},\alpha bq^{\frac 12},\alpha cq^{\frac 12},\alpha dq^{\frac 12},\alpha fq^{\frac 12},\alpha gq^{\frac 12}}{\frac{bcdefg}{q}}\\ &=\frac{(\alpha^2q,q/\alpha^2,\alpha q^{\frac 12}/f,\alpha q^{\frac 12}/g,q^{\frac 12}/\alpha f,q^{\frac 12}/\alpha g;q)_{\infty}}{(\alpha aq^{\frac 12},\alpha bq^{\frac 12},\alpha cq^{\frac 12},\alpha dq^{\frac 12},aq^{\frac 12}/\alpha ,bq^{\frac 12}/\alpha,cq^{\frac 12}/\alpha,dq^{\frac 12}/\alpha;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(q,q,ab,ac,ad,bc,bd,cd,af,bf,cf,df,ag,bg,cg,dg,fg;q)_{\infty}}{2\pi(abcdfg/q;q)_{\infty}\langle\alpha q^{\frac 12}/f,\alpha fq^{\frac 12},\alpha q^{\frac 12}/g,\alpha gq^{\frac 12};q\rangle_{\infty}}\int_0^{\pi}\left|\frac{(e^{2i\theta},\alpha e^{i\theta}q^{\frac 12},e^{i\theta}q^{\frac 12}/\alpha;q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},de^{i\theta},fe^{i\theta},ge^{i\theta};q)_{\infty}}\right|^2\,d\theta\\ &=\frac{(\alpha^2q,q/\alpha^2;q)_{\infty}}{(\alpha aq^{\frac 12},\alpha bq^{\frac 12},\alpha cq^{\frac 12},\alpha dq^{\frac 12},\alpha fq^{\frac 12},\alpha gq^{\frac 12},aq^{\frac 12}/\alpha ,bq^{\frac 12}/\alpha,cq^{\frac 12}/\alpha,dq^{\frac 12}/\alpha,fq^{\frac 12}/\alpha,gq^{\frac 12}/\alpha;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(q,q,ab,ac,ad,bc,bd,cd,af,bf,cf,df,ag,bg,cg,dg,fg;q)_{\infty}}{2\pi(abcdfg/q;q)_{\infty}}\int_0^{\pi}\left|\frac{(e^{2i\theta},\alpha e^{i\theta}q^{\frac 12},e^{i\theta}q^{\frac 12}/\alpha;q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta},de^{i\theta},fe^{i\theta},ge^{i\theta};q)_{\infty}}\right|^2\,d\theta \end{align}

となる. これは非常に対称性が高い形をしており, $a,b,c,d,e,f$を$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$とすると以下のようにまとめられる.

これは定理2の直接的な一般化になっている.

諸事情でGustafsonの1987年の論文にはアクセスできていないので, 今回の記事を書くにあたってはRahmanの1996年の論文を参考にした.