Slaterの変換公式の例
前の記事 で, 両側超幾何級数に関するSlaterの変換公式を示した.
$ d=\dfrac{a_1\cdots a_r}{c_1\cdots c_r}$とするとき,
\begin{align}
&\frac{(b_1,\dots,b_r,q/a_1,\dots,q/a_r,dz,q/dz;q)_{\infty}}{(c_1,\dots,c_r,q/c_1,\dots,q/c_{r};q)_{\infty}}\BQ{r}{r}{a_1,\dots,a_r}{b_1,\dots,b_r}{z}\\
&=\frac{q}{c_1}\frac{(b_1q/c_1,\dots,b_rq/c_1,c_1/a_1,\dots,c_1/a_r,c_1dz/q,q^2/c_1dz;q)_{\infty}}{(c_2q/c_1,\dots,c_rq/c_1,c_1/c_2,\dots,c_1/c_r,c_1,q/c_1;q)_{\infty}}\BQ{r}{r}{a_1q/c_1,\dots,a_rq/c_1}{b_1q/c_1,\dots,b_rq/c_1}{z}\\
&\qquad+\mathrm{idem}(c_1;c_2,\dots,c_{r})
\end{align}
が成り立つ.
まず, $r=2$の場合, $a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2$を$a,b,c,d,e,f$として,
\begin{align}
&\frac{(c,d,q/a,q/b,abz/ef,efq/abz;q)_{\infty}}{(e,f,q/e,q/f;q)_{\infty}}\BQ22{a,b}{c,d}z\\
&=\frac qe\frac{(cq/e,dq/e,e/a,e/b,abz/fq,fq^2/abz;q)_{\infty}}{(fq/e,e/f,e,q/e;q)_{\infty}}\BQ22{aq/e,bq/e}{cq/e,dq/e}{z}\\
&\qquad+\frac qf\frac{(cq/f,dq/f,f/a,f/b,abz/eq,eq^2/abz;q)_{\infty}}{(eq/f,f/e,f,q/f;q)_{\infty}}\BQ22{aq/f,bq/f}{cq/f,dq/f}{z}
\end{align}
を得る. 特に, $f=d$とすると,
\begin{align}
&\frac{(c,q/a,q/b,abz/de,deq/abz;q)_{\infty}}{(e,q/e,q/d;q)_{\infty}}\BQ22{a,b}{c,d}z\\
&=\frac qe\frac{(cq/e,dq/e,e/a,e/b,abz/dq,dq^2/abz;q)_{\infty}}{(dq/e,e/d,e,q/e;q)_{\infty}}\BQ22{aq/e,bq/e}{cq/e,dq/e}{z}\\
&\qquad+\frac qd\frac{(cq/d,q,d/a,d/b,abz/eq,eq^2/abz;q)_{\infty}}{(eq/d,d/e,d,q/d;q)_{\infty}}\Q21{aq/d,bq/d}{cq/d}{z}
\end{align}
と片方が${}_2\phi_1$となる. ここで, $z=\dfrac{cd}{abq}$とすれば, Heineの和公式より,
\begin{align}
&\frac{(c,q/a,q/b,c/eq,eq^2/c;q)_{\infty}}{(e,q/e,q/d;q)_{\infty}}\BQ22{a,b}{c,d}{\frac{cd}{abq}}\\
&=\frac qe\frac{(cq/e,e/a,e/b,c/q^2,q^3/c;q)_{\infty}}{(e/d,e,q/e;q)_{\infty}}\BQ22{aq/e,bq/e}{cq/e,dq/e}{\frac{cd}{abq}}\\
&\qquad+\frac qd\frac{(cq/d,q,d/a,d/b,cd/eq^2,eq^3/cd;q)_{\infty}}{(eq/d,d/e,d,q/d;q)_{\infty}}\Q21{aq/d,bq/d}{cq/d}{\frac{cd}{abq}}\\
&=\frac qe\frac{(cq/e,e/a,e/b,c/q^2,q^3/c;q)_{\infty}}{(e/d,e,q/e;q)_{\infty}}\BQ22{aq/e,bq/e}{cq/e,dq/e}{\frac{cd}{abq}}\\
&\qquad+\frac qd\frac{(cq/d,q,d/a,d/b,cd/eq^2,eq^3/cd;q)_{\infty}}{(eq/d,d/e,d,q/d;q)_{\infty}}\frac{(c/a,c/b;q)_{\infty}}{(cq/d,cdq/ab;q)_{\infty}}
\end{align}
となる. よって,
\begin{align}
&\BQ22{a,b}{c,d}{\frac{cd}{abq}}-\frac{(e,q/e,q/d;q)_{\infty}}{(c,q/a,q/b,c/eq,eq^2/c;q)_{\infty}}\frac qe\frac{(cq/e,e/a,e/b,c/q^2,q^3/c;q)_{\infty}}{(e/d,e,q/e;q)_{\infty}}\BQ22{aq/e,bq/e}{cq/e,dq/e}{\frac{cd}{abq}}\\
&=\frac{(e,q/e,q/d;q)_{\infty}}{(c,q/a,q/b,c/eq,eq^2/c;q)_{\infty}}\frac qd\frac{(cq/d,q,d/a,d/b,cd/eq^2,eq^3/cd;q)_{\infty}}{(eq/d,d/e,d,q/d;q)_{\infty}}\frac{(c/a,c/b;q)_{\infty}}{(cq/d,cd/abq;q)_{\infty}}
\end{align}
つまり, 以下を得る
\begin{align} &\BQ22{a,b}{c,d}{\frac{cd}{abq}}-\frac eq\frac{(e/a,e/b,q/c,q/d;q)_{\infty}}{(q/a,q/b,e/c,e/d;q)_{\infty}}\BQ22{aq/e,bq/e}{cq/e,dq/e}{\frac{cd}{abq}}\\ &=\frac{(q,e,q/e,c/a,c/b,d/a,d/b,cd/eq,eq^2/cd;q)_{\infty}}{(c,d,q/a,q/b,c/e,eq/c,d/e,eq/d,cd/abq;q)_{\infty}} \end{align}
これは Dougallの${}_2H_2$和公式 の$q$類似である. $d=q$の場合としてHeineの和公式を含んでいる.
\begin{align}
\BQ22{a,b}{c,d}{\frac{cd}{abq}}&=\BQ22{q/c,q/d}{q/a,q/d}q
\end{align}
などを用いて書き換えると,
\begin{align}
&\BQ22{q/c,q/d}{q/b,q/a}{q}-\frac eq\frac{(e/a,e/b,q/c,q/d;q)_{\infty}}{(q/a,q/b,e/c,e/d;q)_{\infty}}\BQ22{e/c,e/d}{e/a,e/b}{q}\\
&=\frac{(q,e,q/e,c/a,c/b,d/a,d/b,cd/eq,eq^2/cd;q)_{\infty}}{(c,d,q/a,q/b,c/e,eq/c,d/e,eq/d,cd/abq;q)_{\infty}}
\end{align}
となる. $a,b,c,d$を$q/c,q/d,q/a,q/b$と置き換えると以下の形に書き換えられる.
\begin{align} &\BQ22{a,b}{c,d}{q}-\frac eq\frac{(ce/q,de/q,a,b;q)_{\infty}}{(c,d,ae/q,be/q;q)_{\infty}}\BQ22{ae/q,be/q}{ce/q,de/q}{q}\\ &=\frac{(q,e,q/e,c/a,c/b,d/a,d/b,q/abe,abe;q)_{\infty}}{(c,d,q/a,q/b,q/ae,ae,q/be,be,cd/abq;q)_{\infty}} \end{align}
very-well-poised$q$超幾何級数に関するSlaterの変換公式
前の記事 でvery-well-poised両側超幾何級数のSlaterの変換公式を示した. それは以下のようなものである.
\begin{align} &\frac{(aq/b_1,\dots,aq/b_{2r},q/b_1,\dots,q/b_{2r};q)_{\infty}}{(aq,q/a,a_1,\dots,a_r,q/a_1,\dots,q/a_{r-1},aq/a_1,\dots,aq/a_{r-1},a_1/a,\dots,a_{r-1}/a;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\BQ{2r+2}{2r+2}{\sqrt aq,-\sqrt aq,b_1,\dots,b_{2r}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b_1,\dots,aq/b_{2r}}{\frac{a^rq^{r-1}}{b_1\cdots b_{2r}}}\\ &=\frac{(a_1q/b_1,\dots,a_1q/b_{2r},aq/a_1b_1,\dots,aq/a_1b_{2r};q)_{\infty}}{(a_1,q/a_1,aq/a_1,a_1/a,a_1^2q/a,aq/a_1^2,a_2/a_1,\dots,a_{r-1}/a_1,a_1q/a_2,\dots,a_1q/a_{r-1};q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{1}{(a_1a_2/a,\dots,a_1a_{r-1}/a,aq/a_1a_2,\dots,aq/a_1a_{r-1};q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\BQ{2r+2}{2r+2}{a_1q/\sqrt a,-a_1q/\sqrt a,a_1b_1/a,\dots,a_1b_{2r}/a}{a_1/\sqrt a,-a_1/\sqrt a,a_1q/b_1,\dots,a_1q/b_{2r}}{\frac{a^rq^{r-1}}{b_1\cdots b_{2r}}}\\ &\qquad+\mathrm{idem}(a_1;a_2,\dots,a_{r-1}) \end{align}
まず, $r=2$の場合,
\begin{align}
&\frac{(aq/b_1,aq/b_2,aq/b_3,aq/b_4,q/b_1,q/b_2,q/b_3,q/b_4;q)_{\infty}}{(aq,q/a,a_1,q/a_1,aq/a_1,a_1/a;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\BQ{6}{6}{\sqrt aq,-\sqrt aq,b_1,b_2,b_3,b_4}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b_1,aq/b_2,aq/b_3,aq/b_4}{\frac{a^2q}{b_1b_2b_3b_{4}}}\\
&=\frac{(a_1q/b_1,a_1/b_2,a_1q/b_3,a_1q/b_4,aq/a_1b_1,aq/a_1b_2,aq/a_1b_3,aq/a_1b_4;q)_{\infty}}{(a_1,q/a_1,aq/a_1,a_1/a,a_1^2q/a,aq/a_1^2;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\BQ66{a_1q/\sqrt a,-a_1q/\sqrt a,a_1b_1/a,a_1b_2/a,a_1b_3/a,a_1b_4/a}{a_1/\sqrt a,-a_1/\sqrt a,a_1q/b_1,a_1q/b_2,a_1q/b_3,a_1q/b_4}{\frac{a^2q}{b_1b_2b_3b_4}}
\end{align}
$a_1=b_1$とすると, 右辺は${}_6\phi_5$になり, それはRogersの和公式からガンマ関数で書ける. これは
Baileyの${}_6\psi_6$和公式
を与える.
次に, $r=3$の場合, $b_1,\dots,b_6$を$b,c,d,e,f,g$として, $a_1,a_2$を$f,g$とすると, 以下を得る.
\begin{align} &\frac{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,q/b,q/c,q/d,q/e;q)_{\infty}}{(aq,q/a,f,g,f/a,g/a;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\BQ88{\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,f,g}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g}{\frac{a^3q^2}{bcdefg}}\\ &=\frac{(fq/b,fq/c,fq/d,fq/e,q,aq/bf,aq/cf,aq/df,aq/ef;q)_{\infty}}{(f,q/f,aq/f,f/a,f^2q/a,g/f,fg/a;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q87{f^2/a,fq/\sqrt a,-fq/\sqrt a,bf/a,cf/a,df/a,ef/a,gf/a}{f/\sqrt a,-f/\sqrt a,fq/b,fq/c,fq/d,fq/e,fq/g}{\frac{a^3q^2}{bcdefg}}\\ &\qquad+\mathrm{idem}(f;g) \end{align}
同様に, $r=5$とするとvery-well-poised${}_{10}\psi_{10}$を3つのvery-well-poised${}_{10}\phi_9$で表す公式が得られる.
