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Chuによる無限積の三項関係式

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$⟨ x; q ⟩_{\infty} := (x, q / x; q)_{\infty}, ⟨ x_{1}, \dots, x_{r}; q ⟩_{\infty} := ⟨ x_{1}; q ⟩_{\infty} \dots ⟨ x_{r}; q ⟩_{\infty}$ とする.

Chu(1992)

$A^{2} = b c d e$ のとき,
$\begin{aligned} ⟨ A / b, A / c, A / d, A / e; q ⟩_{\infty} - ⟨ b, c, d, e; q ⟩ & = b ⟨ A, A / b c, A / b d, A / b e; q ⟩_{\infty} \end{aligned}$
が成り立つ.

まず, 恒等式
$\begin{aligned} (1 - A q^{k} / b) (1 - A q^{k} / c) (1 - A q^{k} / d) (1 - A q^{k} / e) \\ - (1 - b q^{k}) (1 - c q^{k}) (1 - d q^{k}) (1 - e q^{k}) \\ = b q^{k} (1 - A q^{2 k}) (1 - A / b c) (1 - A / b d) (1 - A / b e) \end{aligned}$
が成り立つことが直接計算によって確かめられる. これより,
$\begin{array}{r} T_{k} := \frac{(b, c, d, e; q)_{k}}{(A / b, A / c, A / d, A / e; q)_{k}} \end{array}$
としたとき,
$\begin{aligned} T_{k} - T_{k + 1} & = (1 - A q^{k} / b) (1 - A q^{k} / c) (1 - A q^{k} / d) (1 - A q^{k} / e) \frac{(b, c, d, e; q)_{k}}{(A / b, A / c, A / d, A / e; q)_{k + 1}} \\ - (1 - b q^{k}) (1 - c q^{k}) (1 - d q^{k}) (1 - e q^{k}) \frac{(b, c, d, e; q)_{k}}{(A / b, A / c, A / d, A / e; q)_{k + 1}} \\ = b q^{k} (1 - A q^{2 k}) (1 - A / b c) (1 - A / b d) (1 - A / b e) \frac{(b, c, d, e; q)_{k}}{(A / b, A / c, A / d, A / e; q)_{k + 1}} \end{aligned}$
と計算できる. よって,
$\begin{aligned} \sum_{k = m}^{n - 1} \frac{1 - A q^{2 k}}{1 - A} \frac{(b, c, d, e; q)_{k}}{(A q / b, A q / c, A q / d, A q / e; q)_{k}} q^{k} \\ = \frac{(1 - A / b) (1 - A / c) (1 - A / d) (1 - A / e)}{b (1 - A) (1 - A / b c) (1 - A / b d) (1 - A / b e)} (T_{m} - T_{n}) \end{aligned}$
$m \to - \infty, n \to \infty$ として,
$\begin{aligned} _{6} ψ_{6} [\begin{array}{c} \sqrt{A} q, - \sqrt{A} q, b, c, d, e \\ \sqrt{A}, - \sqrt{A}, A q / b, A q / c, A q / d, A q / e \end{array}; q] \\ = \frac{(1 - A / b) (1 - A / c) (1 - A / d) (1 - A / e)}{b (1 - A) (1 - A / b c) (1 - A / b d) (1 - A / b e)} \\ \cdot (\frac{(b q / A, c q / A, d q / A, e q / A; q)_{\infty}}{(q / b, q / c, q / d, q / e; q)_{\infty}} - \frac{(b, c, d, e; q)_{\infty}}{(A / b, A / c, A / d, A / e; q)_{\infty}}) \end{aligned}$
を得る. ここで, Baileyの $_{6} ψ_{6}$ 和公式より,
$\begin{aligned} _{6} ψ_{6} [\begin{array}{c} \sqrt{A} q, - \sqrt{A} q, b, c, d, e \\ \sqrt{A}, - \sqrt{A}, A q / b, A q / c, A q / d, A q / e \end{array}; q] \\ = \frac{(A q, q / A, A q / b c, A q / b d, A q / b e, A q / c d, A q / c e, A q / d e; q)_{\infty}}{(A q / b, A q / c, A q / d, A q / e, q / b, q / c, q / d, q / e; q)_{\infty}} \end{aligned}$
であるから,
$\begin{aligned} ⟨ A / b, A / c, A / d, A / e; q ⟩_{\infty} - ⟨ b, c, d, e; q ⟩ & = b ⟨ A, A / b c, A / b d, A / b e; q ⟩_{\infty} \end{aligned}$
を得る.

$q \mapsto q^{2}$ としてから, $b = c = d = e - q$ として, 以下のJacobiによる公式を得る.

$\begin{aligned} (- q; q^{2})_{\infty}^{8} - (q; q^{2})_{\infty}^{8} & = 16 q (- q^{2}; q^{2})_{\infty}^{8} \end{aligned}$

定理1の証明途中に現れた等式
$\begin{aligned} _{6} ψ_{6} [\begin{array}{c} \sqrt{A} q, - \sqrt{A} q, b, c, d, e \\ \sqrt{A}, - \sqrt{A}, A q / b, A q / c, A q / d, A q / e \end{array}; q] \\ = \frac{(1 - A / b) (1 - A / c) (1 - A / d) (1 - A / e)}{b (1 - A) (1 - A / b c) (1 - A / b d) (1 - A / b e)} \\ \cdot (\frac{(b q / A, c q / A, d q / A, e q / A; q)_{\infty}}{(q / b, q / c, q / d, q / e; q)_{\infty}} - \frac{(b, c, d, e; q)_{\infty}}{(A / b, A / c, A / d, A / e; q)_{\infty}}), (A^{2} = b c d e) \end{aligned}$
はGasper-Rahmanによる bibasic超幾何級数の和公式の特別な場合となっている.