Chuによる無限積の三項関係式
$\langle x;q\rangle_{\infty}:=(x,q/x;q)_{\infty},\langle x_1,\dots,x_r;q\rangle_{\infty}:=\langle x_1;q\rangle_{\infty}\cdots \langle x_r;q\rangle_{\infty}$とする.
$A^2=bcde$のとき,
\begin{align}
\langle A/b,A/c,A/d,A/e;q\rangle_{\infty}-\langle b,c,d,e;q\rangle&=b\langle A,A/bc,A/bd,A/be;q\rangle_{\infty}
\end{align}
が成り立つ.
まず, 恒等式
\begin{align}
&(1-Aq^k/b)(1-Aq^k/c)(1-Aq^k/d)(1-Aq^k/e)\\
&-(1-bq^k)(1-cq^k)(1-dq^k)(1-eq^k)\\
&=bq^k(1-Aq^{2k})(1-A/bc)(1-A/bd)(1-A/be)
\end{align}
が成り立つことが直接計算によって確かめられる. これより,
\begin{align}
T_k:=\frac{(b,c,d,e;q)_k}{(A/b,A/c,A/d,A/e;q)_k}
\end{align}
としたとき,
\begin{align}
T_k-T_{k+1}&=(1-Aq^k/b)(1-Aq^k/c)(1-Aq^k/d)(1-Aq^k/e)\frac{(b,c,d,e;q)_k}{(A/b,A/c,A/d,A/e;q)_{k+1}}\\
&-(1-bq^k)(1-cq^k)(1-dq^k)(1-eq^k)\frac{(b,c,d,e;q)_k}{(A/b,A/c,A/d,A/e;q)_{k+1}}\\
&=bq^k(1-Aq^{2k})(1-A/bc)(1-A/bd)(1-A/be)\frac{(b,c,d,e;q)_k}{(A/b,A/c,A/d,A/e;q)_{k+1}}
\end{align}
と計算できる. よって,
\begin{align}
&\sum_{k=m}^{n-1}\frac{1-Aq^{2k}}{1-A}\frac{(b,c,d,e;q)_k}{(Aq/b,Aq/c,Aq/d,Aq/e;q)_k}q^k\\
&=\frac{(1-A/b)(1-A/c)(1-A/d)(1-A/e)}{b(1-A)(1-A/bc)(1-A/bd)(1-A/be)}(T_m-T_n)
\end{align}
$m\to-\infty, n\to\infty$として,
\begin{align}
&\BQ66{\sqrt Aq,-\sqrt Aq,b,c,d,e}{\sqrt A,-\sqrt A,Aq/b,Aq/c,Aq/d,Aq/e}{q}\\
&=\frac{(1-A/b)(1-A/c)(1-A/d)(1-A/e)}{b(1-A)(1-A/bc)(1-A/bd)(1-A/be)}\\
&\cdot\left(\frac{(bq/A,cq/A,dq/A,eq/A;q)_{\infty}}{(q/b,q/c,q/d,q/e;q)_{\infty}}-\frac{(b,c,d,e;q)_{\infty}}{(A/b,A/c,A/d,A/e;q)_{\infty}}\right)
\end{align}
を得る. ここで,
Baileyの${}_6\psi_6$和公式
より,
\begin{align}
&\BQ66{\sqrt Aq,-\sqrt Aq,b,c,d,e}{\sqrt A,-\sqrt A,Aq/b,Aq/c,Aq/d,Aq/e}{q}\\
&=\frac{(Aq,q/A,Aq/bc,Aq/bd,Aq/be,Aq/cd,Aq/ce,Aq/de;q)_{\infty}}{(Aq/b,Aq/c,Aq/d,Aq/e,q/b,q/c,q/d,q/e;q)_{\infty}}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\langle A/b,A/c,A/d,A/e;q\rangle_{\infty}-\langle b,c,d,e;q\rangle&=b\langle A,A/bc,A/bd,A/be;q\rangle_{\infty}
\end{align}
を得る.
$q\mapsto q^2$としてから, $b=c=d=e-q$として, 以下のJacobiによる公式を得る.
\begin{align} (-q;q^2)_{\infty}^8-(q;q^2)_{\infty}^8&=16q(-q^2;q^2)_{\infty}^8 \end{align}
定理1の証明途中に現れた等式
\begin{align}
&\BQ66{\sqrt Aq,-\sqrt Aq,b,c,d,e}{\sqrt A,-\sqrt A,Aq/b,Aq/c,Aq/d,Aq/e}{q}\\
&=\frac{(1-A/b)(1-A/c)(1-A/d)(1-A/e)}{b(1-A)(1-A/bc)(1-A/bd)(1-A/be)}\\
&\cdot\left(\frac{(bq/A,cq/A,dq/A,eq/A;q)_{\infty}}{(q/b,q/c,q/d,q/e;q)_{\infty}}-\frac{(b,c,d,e;q)_{\infty}}{(A/b,A/c,A/d,A/e;q)_{\infty}}\right),\qquad(A^2=bcde)
\end{align}
はGasper-Rahmanによる
bibasic超幾何級数の和公式
の特別な場合となっている.
追記
定理1は本質的にBaileyの1936年の論文で示されているようである.
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