大学数学基礎解説

文献あり

平面の重心座標系における距離の公式

平面幾何,距離,重心座標

前書き

平面の重心座標系における距離の公式を紹介します。

この記事は重心座標について既に知っている人向けです。
重心座標そのものについての説明は行いません。

この記事における約束事

基準三角形

重心座標系の基準となる三角形を $△ A B C$ とし、辺 $B C, C A, A B$ の長さをそれぞれ $a, b, c$ とおきます。

$S_{A} = \frac{1}{2} (b^{2} + c^{2} - a^{2}), S_{B} = \frac{1}{2} (c^{2} + a^{2} - b^{2}), S_{C} = \frac{1}{2} (a^{2} + b^{2} - c^{2})$ とします。

重心座標

重心座標が正規化されている必要がある箇所はその旨を記載します。
記載がなければ正規化された重心座標である必要はありません。

この記事では、座標は原則として $(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ や $(p_{1}, p_{2}, p_{3})$ のように添え字 $1, 2, 3$ を使用し、3つの数をまとめて $x$ や $p$ のように太字で書くことにします。

点 $P$ の座標のひとつが $p$ であること(座標 $p$ が指し示す点が $P$ であること)を、点 $P (p)$ のように書き表します。

座標に対して、ベクトルと同様の演算(和と定数倍)を定義します。
つまり、 $k p + l q = (k p_{1} + l q_{1}, k p_{2} + l q_{2}, k p_{3} + l q_{3})$ とします。

距離の公式(基本形)

2点 $P (p), Q (q)$ 間の距離 $P Q$ の公式は様々な形があります。(作ろうと思えば無限に作れます。)
まずは私が基本の形だと思っている式から載せます。

距離の公式 (基本形)

$P Q^{2} = \frac{a^{2} (p_{2} q_{3} - p_{3} q_{2})^{2} + b^{2} (p_{3} q_{1} - p_{1} q_{3})^{2} + c^{2} (p_{1} q_{2} - p_{2} q_{1})^{2} - 2 S_{A} (p_{3} q_{1} - p_{1} q_{3}) (p_{1} q_{2} - p_{2} q_{1}) - 2 S_{B} (p_{1} q_{2} - p_{2} q_{1}) (p_{2} q_{3} - p_{3} q_{2}) - 2 S_{C} (p_{2} q_{3} - p_{3} q_{2}) (p_{3} q_{1} - p_{1} q_{3})}{(p_{1} + p_{2} + p_{3})^{2} (q_{1} + q_{2} + q_{3})^{2}}$

はい、長いですね。
ですが、次のように見ればそれほど難しくはありません。
座標 $p, q$ をベクトルだと思って、その外積(クロス積,ベクトル積)を $u = p \times q$ とおきます。( $u$ は行ベクトルとします。)
また、行列 $A$ を
$A = (\begin{matrix} a^{2} & - S_{C} & - S_{B} \\ - S_{C} & b^{2} & - S_{A} \\ - S_{B} & - S_{A} & c^{2} \end{matrix})$
で定義します。
すると、fmlBasicの分子は $u A^{t} u$ となります。とても簡単ですね。

なお、 $p, q$ が正規化された重心座標である場合にはfmlBasicの分母が1になり、よりシンプルになります。

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式の簡略化のため、
$T_{p} = p_{1} + p_{2} + p_{3}, T_{q} = q_{1} + q_{2} + q_{3}$
および
$u_{1} = p_{2} q_{3} - p_{3} q_{2}, u_{2} = p_{3} q_{1} - p_{1} q_{3}, u_{3} = p_{1} q_{2} - p_{2} q_{1}$
とおいておきます。
すると、fmlBasicの右辺は
$\frac{1}{T_{p}^{2} T_{q}^{2}} (a^{2} u_{1}^{2} + b^{2} u_{2}^{2} + c^{2} u_{3}^{2} - 2 S_{A} u_{2} u_{3} - 2 S_{B} u_{3} u_{1} - 2 S_{C} u_{1} u_{2})$
となります。

点 $O$ をユークリッド平面上の(つまり無限遠点ではない)任意の点とすると、重心座標の性質により、
$\vec{O P} = \frac{p_{1}}{p_{1} + p_{2} + p_{3}} \vec{O A} + \frac{p_{2}}{p_{1} + p_{2} + p_{3}} \vec{O B} + \frac{p_{3}}{p_{1} + p_{2} + p_{3}} \vec{O C}$ および
$\vec{O Q} = \frac{q_{1}}{q_{1} + q_{2} + q_{3}} \vec{O A} + \frac{q_{2}}{q_{1} + q_{2} + q_{3}} \vec{O B} + \frac{q_{3}}{q_{1} + q_{2} + q_{3}} \vec{O C}$ が成り立ちます。

$P Q^{2}$ をベクトルで計算すると次のようになります。
$\begin{aligned} | \vec{P Q} |^{2} \\ = & | \vec{O Q} - \vec{O P} |^{2} \\ = & | (\frac{q_{1}}{q_{1} + q_{2} + q_{3}} \vec{O A} + \frac{q_{2}}{q_{1} + q_{2} + q_{3}} \vec{O B} + \frac{q_{3}}{q_{1} + q_{2} + q_{3}} \vec{O C}) \\ - (\frac{p_{1}}{p_{1} + p_{2} + p_{3}} \vec{O A} + \frac{p_{2}}{p_{1} + p_{2} + p_{3}} \vec{O B} + \frac{p_{3}}{p_{1} + p_{2} + p_{3}} \vec{O C}) |^{2} \\ = & | (\frac{q_{1}}{q_{1} + q_{2} + q_{3}} - \frac{p_{1}}{p_{1} + p_{2} + p_{3}}) \vec{O A} \\ + (\frac{q_{2}}{q_{1} + q_{2} + q_{3}} - \frac{p_{2}}{p_{1} + p_{2} + p_{3}}) \vec{O B} \\ + (\frac{q_{3}}{q_{1} + q_{2} + q_{3}} - \frac{p_{3}}{p_{1} + p_{2} + p_{3}}) \vec{O C} |^{2} \\ = & | \frac{q_{1} (p_{1} + p_{2} + p_{3}) - p_{1} (q_{1} + q_{2} + q_{3})}{(p_{1} + p_{2} + p_{3}) (q_{1} + q_{2} + q_{3})} \vec{O A} \\ + \frac{q_{2} (p_{1} + p_{2} + p_{3}) - p_{2} (q_{1} + q_{2} + q_{3})}{(p_{1} + p_{2} + p_{3}) (q_{1} + q_{2} + q_{3})} \vec{O B} \\ + \frac{q_{3} (p_{1} + p_{2} + p_{3}) - p_{3} (q_{1} + q_{2} + q_{3})}{(p_{1} + p_{2} + p_{3}) (q_{1} + q_{2} + q_{3})} \vec{O C} |^{2} \\ = & \frac{1}{(p_{1} + p_{2} + p_{3})^{2} (q_{1} + q_{2} + q_{3})^{2}} \\ \times | ((p_{3} q_{1} - p_{1} q_{3}) - (p_{1} q_{2} - p_{2} q_{1})) \vec{O A} \\ + ((p_{1} q_{2} - p_{2} q_{1}) - (p_{2} q_{3} - p_{3} q_{2})) \vec{O B} \\ + ((p_{2} q_{3} - p_{3} q_{2}) - (p_{3} q_{1} - p_{1} q_{3})) \vec{O C} |^{2} \\ = & \frac{1}{T_{p}^{2} T_{q}^{2}} | (u_{2} - u_{3}) \vec{O A} + (u_{3} - u_{1}) \vec{O B} + (u_{1} - u_{2}) \vec{O C} |^{2} \\ = & \frac{1}{T_{p}^{2} T_{q}^{2}} {(u_{2} - u_{3})^{2} | \vec{O A} |^{2} + (u_{3} - u_{1})^{2} | \vec{O B} |^{2} + (u_{1} - u_{2})^{2} | \vec{O C} |^{2} \\ + 2 (u_{3} - u_{1}) (u_{1} - u_{2}) \vec{O B} \cdot \vec{O C} + 2 (u_{1} - u_{2}) (u_{2} - u_{3}) \vec{O C} \cdot \vec{O A} + 2 (u_{2} - u_{3}) (u_{3} - u_{1}) \vec{O A} \cdot \vec{O B}} \\ = & \frac{1}{T_{p}^{2} T_{q}^{2}} \begin{aligned} { & (| \vec{O B} |^{2} + | \vec{O C} |^{2} - 2 \vec{O B} \cdot \vec{O C}) u_{1}^{2} \\ + & (| \vec{O C} |^{2} + | \vec{O A} |^{2} - 2 \vec{O C} \cdot \vec{O A}) u_{2}^{2} \\ + & (| \vec{O A} |^{2} + | \vec{O B} |^{2} - 2 \vec{O A} \cdot \vec{O B}) u_{3}^{2} \\ - & (2 | \vec{O A} |^{2} + 2 \vec{O B} \cdot \vec{O C} - 2 \vec{O C} \cdot \vec{O A} - 2 \vec{O A} \cdot \vec{O B}) u_{2} u_{3} \\ - & (2 | \vec{O B} |^{2} - 2 \vec{O B} \cdot \vec{O C} + 2 \vec{O C} \cdot \vec{O A} - 2 \vec{O A} \cdot \vec{O B}) u_{3} u_{1} \\ - & (2 | \vec{O C} |^{2} - 2 \vec{O B} \cdot \vec{O C} - 2 \vec{O C} \cdot \vec{O A} + 2 \vec{O A} \cdot \vec{O B}) u_{1} u_{2}} \end{aligned} \\ = & \frac{1}{T_{p}^{2} T_{q}^{2}} \begin{aligned} { & (| \vec{O B} |^{2} - 2 \vec{O B} \cdot \vec{O C} + | \vec{O C} |^{2}) u_{1}^{2} \\ + & (| \vec{O C} |^{2} - 2 \vec{O C} \cdot \vec{O A} + | \vec{O A} |^{2}) u_{2}^{2} \\ + & (| \vec{O A} |^{2} - 2 \vec{O A} \cdot \vec{O B} + | \vec{O B} |^{2}) u_{3}^{2} \\ - & ((| \vec{O C} |^{2} - 2 \vec{O C} \cdot \vec{O A} + | \vec{O A} |^{2}) + (| \vec{O A} |^{2} - 2 \vec{O A} \cdot \vec{O B} + | \vec{O B} |^{2}) - (| \vec{O B} |^{2} - 2 \vec{O B} \cdot \vec{O C} + | \vec{O C} |^{2})) u_{2} u_{3} \\ - & ((| \vec{O A} |^{2} - 2 \vec{O A} \cdot \vec{O B} + | \vec{O B} |^{2}) + (| \vec{O B} |^{2} - 2 \vec{O B} \cdot \vec{O C} + | \vec{O C} |^{2}) - (| \vec{O C} |^{2} - 2 \vec{O C} \cdot \vec{O A} + | \vec{O A} |^{2})) u_{3} u_{1} \\ - & ((| \vec{O B} |^{2} - 2 \vec{O B} \cdot \vec{O C} + | \vec{O C} |^{2}) + (| \vec{O C} |^{2} - 2 \vec{O C} \cdot \vec{O A} + | \vec{O A} |^{2}) - (| \vec{O A} |^{2} - 2 \vec{O A} \cdot \vec{O B} + | \vec{O B} |^{2})) u_{1} u_{2}} \end{aligned} \\ = & \frac{1}{T_{p}^{2} T_{q}^{2}} \begin{aligned} { & | \vec{O C} - \vec{O B} |^{2} u_{1}^{2} + | \vec{O A} - \vec{O C} |^{2} u_{2}^{2} + | \vec{O B} - \vec{O A} |^{2} u_{3}^{2} \\ - & (| \vec{O A} - \vec{O C} |^{2} + | \vec{O B} - \vec{O A} |^{2} - | \vec{O C} - \vec{O B} |^{2}) u_{2} u_{3} \\ - & (| \vec{O B} - \vec{O A} |^{2} + | \vec{O C} - \vec{O B} |^{2} - | \vec{O A} - \vec{O C} |^{2}) u_{3} u_{1} \\ - & (| \vec{O C} - \vec{O B} |^{2} + | \vec{O A} - \vec{O C} |^{2} - | \vec{O B} - \vec{O A} |^{2}) u_{1} u_{2}} \end{aligned} \\ = & \frac{1}{T_{p}^{2} T_{q}^{2}} {| \vec{B C} |^{2} u_{1}^{2} + | \vec{C A} |^{2} u_{2}^{2} + | \vec{A B} |^{2} u_{3}^{2} \\ - (| \vec{C A} |^{2} + | \vec{A B} |^{2} - | \vec{B C} |^{2}) u_{2} u_{3} - (| \vec{A B} |^{2} + | \vec{B C} |^{2} - | \vec{C A} |^{2}) u_{3} u_{1} - (| \vec{B C} |^{2} + | \vec{C A} |^{2} - | \vec{A B} |^{2}) u_{1} u_{2}} \\ = & \frac{1}{T_{p}^{2} T_{q}^{2}} (a^{2} u_{1}^{2} + b^{2} u_{2}^{2} + c^{2} u_{3}^{2} - (b^{2} + c^{2} - a^{2}) u_{2} u_{3} - (c^{2} + a^{2} - b^{2}) u_{3} u_{1} - (a^{2} + b^{2} - c^{2}) u_{1} u_{2}) \\ = & \frac{1}{T_{p}^{2} T_{q}^{2}} (a^{2} u_{1}^{2} + b^{2} u_{2}^{2} + c^{2} u_{3}^{2} - 2 S_{A} u_{2} u_{3} - 2 S_{B} u_{3} u_{1} - 2 S_{C} u_{1} u_{2}) \end{aligned}$
これでfmlBasicが示されました。

距離の公式(円の式の活用形)

その他の距離の公式は円の式を利用したもので、正規化された重心座標を使います。

まず、正規化された重心座標について説明します。

無限遠点ではない点 $P (p)$ は $p_{1} + p_{2} + p_{3} \neq 0$ を満たします。
そこで、 $p^{'} = \frac{1}{p_{1} + p_{2} + p_{3}} p$ とおくと $p_{1}^{'} + p_{2}^{'} + p_{3}^{'} = 1$ が成り立ちます。
このように、 $p_{1}^{'} + p_{2}^{'} + p_{3}^{'} = 1$ を満たす重心座標 $p^{'}$ を正規化された重心座標といいます。

一般の円の式を使用する場合

円の式を利用した距離の公式について、まずは一般の円の場合です。
ここで使う円の式は実円または虚円または点円を表すものならば何でもいいので、公式はいくらでも作れることになります。
(実円・虚円・点円などの広義の円に関しては下の方に付録を書いたので参考にしてください。)

$d_{1}, d_{2}, d_{3}, e_{1}, e_{2}, e_{3} \in R$ として、 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ の関数 $g$ を
$g (x) = d_{1} x_{1}^{2} + d_{2} x_{2}^{2} + d_{3} x_{3}^{2} + 2 e_{1} x_{2} x_{3} + 2 e_{2} x_{3} x_{1} + 2 e_{3} x_{1} x_{2}$
とします。
$x$ を重心座標として $g (x) = 0$ が広義の円を表している場合、
$\frac{1}{a^{2}} g (0, 1, - 1) = \frac{1}{b^{2}} g (- 1, 0, 1) = \frac{1}{c^{2}} g (1, - 1, 0)$
が成り立つので、この値を $K_{g}$ とおくことにします。
$g (x) = 0$ が実円または虚円または点円ならば $K_{g} \neq 0$ になります。

距離の公式 (円の式の活用形)

$g (x) = 0$ は実円または虚円または点円を表す式であるとし、 $K_{g}$ を上に書いたように定めます。

$p^{'} = \frac{1}{p_{1} + p_{2} + p_{3}} p$ および $q^{'} = \frac{1}{q_{1} + q_{2} + q_{3}} q$ とします。

このとき、距離の公式は次のようになります。
$P Q^{2} = \frac{1}{K_{g}} g (q^{'} - p^{'})$

クリックして詳細をチェック

式の簡略化のため、
$T_{p} = p_{1} + p_{2} + p_{3}, T_{q} = q_{1} + q_{2} + q_{3}$
および
$u_{1} = p_{2} q_{3} - p_{3} q_{2}, u_{2} = p_{3} q_{1} - p_{1} q_{3}, u_{3} = p_{1} q_{2} - p_{2} q_{1}$
とおいておきます。

$g (q^{'} - p^{'})$ を計算すると、
$\begin{aligned} g (q^{'} - p^{'}) \\ = & g (\frac{1}{T_{q}} q - \frac{1}{T_{p}} p) \\ = & d_{1} (\frac{q_{1}}{T_{q}} - \frac{p_{1}}{T_{p}})^{2} + d_{2} (\frac{q_{2}}{T_{q}} - \frac{p_{2}}{T_{p}})^{2} + d_{3} (\frac{q_{3}}{T_{q}} - \frac{p_{3}}{T_{p}})^{2} \\ + 2 e_{1} (\frac{q_{2}}{T_{q}} - \frac{p_{2}}{T_{p}}) (\frac{q_{3}}{T_{q}} - \frac{p_{3}}{T_{p}}) + 2 e_{2} (\frac{q_{3}}{T_{q}} - \frac{p_{3}}{T_{p}}) (\frac{q_{1}}{T_{q}} - \frac{p_{1}}{T_{p}}) + 2 e_{3} (\frac{q_{1}}{T_{q}} - \frac{p_{1}}{T_{p}}) (\frac{q_{2}}{T_{q}} - \frac{p_{2}}{T_{p}}) \\ = & \frac{1}{T_{p}^{2} T_{q}^{2}} {d_{1} (q_{1} T_{p} - p_{1} T_{q})^{2} + d_{2} (q_{2} T_{p} - p_{2} T_{q})^{2} + d_{3} (q_{3} T_{p} - p_{3} T_{q})^{2} \\ + 2 e_{1} (q_{2} T_{p} - p_{2} T_{q}) (q_{3} T_{p} - p_{3} T_{q}) + 2 e_{2} (q_{3} T_{p} - p_{3} T_{q}) (q_{1} T_{p} - p_{1} T_{q}) + 2 e_{3} (q_{1} T_{p} - p_{1} T_{q}) (q_{2} T_{p} - p_{2} T_{q})} \\ = & \frac{1}{T_{p}^{2} T_{q}^{2}} \begin{aligned} { & d_{1} ((p_{3} q_{1} - p_{1} q_{3}) - (p_{1} q_{2} - p_{2} q_{1}))^{2} \\ + & d_{2} ((p_{1} q_{2} - p_{2} q_{1}) - (p_{2} q_{3} - p_{3} q_{2}))^{2} \\ + & d_{3} ((p_{2} q_{3} - p_{3} q_{2}) - (p_{3} q_{1} - p_{1} q_{3}))^{2} \\ + & 2 e_{1} ((p_{1} q_{2} - p_{2} q_{1}) - (p_{2} q_{3} - p_{3} q_{2})) ((p_{2} q_{3} - p_{3} q_{2}) - (p_{3} q_{1} - p_{1} q_{3})) \\ + & 2 e_{2} ((p_{2} q_{3} - p_{3} q_{2}) - (p_{3} q_{1} - p_{1} q_{3})) ((p_{3} q_{1} - p_{1} q_{3}) - (p_{1} q_{2} - p_{2} q_{1})) \\ + & 2 e_{3} ((p_{3} q_{1} - p_{1} q_{3}) - (p_{1} q_{2} - p_{2} q_{1})) ((p_{1} q_{2} - p_{2} q_{1}) - (p_{2} q_{3} - p_{3} q_{2}))} \end{aligned} \\ = & \frac{1}{T_{p}^{2} T_{q}^{2}} {d_{1} (u_{2} - u_{3})^{2} + d_{2} (u_{3} - u_{1})^{2} + d_{3} (u_{1} - u_{2})^{2} \\ + 2 e_{1} (u_{3} - u_{1}) (u_{1} - u_{2}) + 2 e_{2} (u_{1} - u_{2}) (u_{2} - u_{3}) + 2 e_{3} (u_{2} - u_{3}) (u_{3} - u_{1})} \\ = & \frac{1}{T_{p}^{2} T_{q}^{2}} {(d_{2} + d_{3} - 2 e_{1}) u_{1}^{2} + (d_{3} + d_{1} - 2 e_{2}) u_{2}^{2} + (d_{1} + d_{2} - 2 e_{3}) u_{3}^{2} \\ + 2 (- d_{1} - e_{1} + e_{2} + e_{3}) u_{2} u_{3} + 2 (- d_{2} - e_{2} + e_{3} + e_{1}) u_{3} u_{1} + 2 (- d_{3} - e_{3} + e_{1} + e_{2}) u_{1} u_{2}} \\ = & \frac{1}{T_{p}^{2} T_{q}^{2}} \begin{aligned} { & (d_{2} + d_{3} - 2 e_{1}) u_{1}^{2} + (d_{3} + d_{1} - 2 e_{2}) u_{2}^{2} + (d_{1} + d_{2} - 2 e_{3}) u_{3}^{2} \\ - & ((d_{3} + d_{1} - 2 e_{2}) + (d_{1} + d_{2} - 2 e_{3}) - (d_{2} + d_{3} - 2 e_{1})) u_{2} u_{3} \\ - & ((d_{1} + d_{2} - 2 e_{3}) + (d_{2} + d_{3} - 2 e_{1}) - (d_{3} + d_{1} - 2 e_{2})) u_{3} u_{1} \\ - & ((d_{2} + d_{3} - 2 e_{1}) + (d_{3} + d_{1} - 2 e_{2}) - (d_{1} + d_{2} - 2 e_{3})) u_{1} u_{2}} \end{aligned} \end{aligned}$
となって、 $g (x) = 0$ が広義の円を表しているときは
$d_{2} + d_{3} - 2 e_{1} = g (0, 1, - 1) = a^{2} K_{g}$ および
$d_{3} + d_{1} - 2 e_{2} = g (- 1, 0, 1) = b^{2} K_{g}$ および
$d_{2} + d_{3} - 2 e_{1} = g (1, - 1, 0) = c^{2} K_{g}$ が成り立つので、
$\begin{aligned} = & \frac{1}{T_{p}^{2} T_{q}^{2}} {a^{2} K_{g} u_{1}^{2} + b^{2} K_{g} u_{2}^{2} + c^{2} K_{g} u_{3}^{2} \\ - (b^{2} K_{g} + c^{2} K_{g} - a^{2} K_{g}) u_{2} u_{3} - (c^{2} K_{g} + a^{2} K_{g} - b^{2} K_{g}) u_{3} u_{1} - (a^{2} K_{g} + b^{2} K_{g} - c^{2} K_{g}) u_{1} u_{2}} \\ = & \frac{K_{g}}{T_{p}^{2} T_{q}^{2}} (a^{2} u_{1}^{2} + b^{2} u_{2}^{2} + c^{2} u_{3}^{2} - 2 S_{A} u_{2} u_{3} - 2 S_{B} u_{3} u_{1} - 2 S_{C} u_{1} u_{2}) \\ = & K_{g} \cdot P Q^{2} \end{aligned}$
と式変形されます。(最後の等号はfmlBasicによります。)

$g (x) = 0$ が実円または虚円または点円を表す式である場合は $K_{g} \neq 0$ なので、 $g (q^{'} - p^{'}) = K_{g} \cdot P Q^{2}$ の両辺を $K_{g}$ で割ると、fmlGCが得られます。

特別な円の式を使用する場合

次に、基準三角形によって決まる円の式を使ってfmlGCの距離の公式の具体例を求めてみます。

基準三角形の外接円を使用

$△ A B C$ の外接円の式は $a^{2} x_{2} x_{3} + b^{2} x_{3} x_{1} + c^{2} x_{1} x_{2} = 0$ です。
$K_{g}$ の値は $- 1$ になります。

距離の公式 (外接円の式の活用形)

$p^{'} = \frac{1}{p_{1} + p_{2} + p_{3}} p$ および $q^{'} = \frac{1}{q_{1} + q_{2} + q_{3}} q$ とします。
$P Q^{2} = - a^{2} (q_{2}^{'} - p_{2}^{'}) (q_{3}^{'} - p_{3}^{'}) - b^{2} (q_{3}^{'} - p_{3}^{'}) (q_{1}^{'} - p_{1}^{'}) - c^{2} (q_{1}^{'} - p_{1}^{'}) (q_{2}^{'} - p_{2}^{'})$

基準三角形の極円の式を使用

$△ A B C$ の極円の式は $S_{A} x_{1}^{2} + S_{B} x_{2}^{2} + S_{C} x_{3}^{2} = 0$ です。
$K_{g}$ の値は $1$ になります。

距離の公式 (極円の式の活用形)

$p^{'} = \frac{1}{p_{1} + p_{2} + p_{3}} p$ および $q^{'} = \frac{1}{q_{1} + q_{2} + q_{3}} q$ とします。
$P Q^{2} = S_{A} (q_{1}^{'} - p_{1}^{'})^{2} + S_{B} (q_{2}^{'} - p_{2}^{'})^{2} + S_{C} (q_{3}^{'} - p_{3}^{'})^{2}$

基準三角形の頂点の点円の式を使用

点 $A, B, C$ の点円の式はそれぞれ
$c^{2} x_{2}^{2} + b^{2} x_{3}^{2} + 2 S_{A} x_{2} x_{3} = 0$ ,
$a^{2} x_{3}^{2} + c^{2} x_{1}^{2} + 2 S_{B} x_{3} x_{1} = 0$ ,
$b^{2} x_{1}^{2} + a^{2} x_{2}^{2} + 2 S_{C} x_{1} x_{2} = 0$
です。
$K_{g}$ の値はいずれも $1$ になります。

距離の公式 (頂点

A

の点円の式の活用形)

$p^{'} = \frac{1}{p_{1} + p_{2} + p_{3}} p$ および $q^{'} = \frac{1}{q_{1} + q_{2} + q_{3}} q$ とします。
$P Q^{2} = c^{2} (q_{2}^{'} - p_{2}^{'})^{2} + b^{2} (q_{3}^{'} - p_{3}^{'})^{2} + 2 S_{A} (q_{2}^{'} - p_{2}^{'}) (q_{3}^{'} - p_{3}^{'})$

距離の公式 (頂点

B

の点円の式の活用形)

$p^{'} = \frac{1}{p_{1} + p_{2} + p_{3}} p$ および $q^{'} = \frac{1}{q_{1} + q_{2} + q_{3}} q$ とします。
$P Q^{2} = a^{2} (q_{3}^{'} - p_{3}^{'})^{2} + c^{2} (q_{1}^{'} - p_{1}^{'})^{2} + 2 S_{B} (q_{3}^{'} - p_{3}^{'}) (q_{1}^{'} - p_{1}^{'})$

距離の公式 (頂点

C

の点円の式の活用形)

$p^{'} = \frac{1}{p_{1} + p_{2} + p_{3}} p$ および $q^{'} = \frac{1}{q_{1} + q_{2} + q_{3}} q$ とします。
$P Q^{2} = b^{2} (q_{1}^{'} - p_{1}^{'})^{2} + a^{2} (q_{2}^{'} - p_{2}^{'})^{2} + 2 S_{C} (q_{1}^{'} - p_{1}^{'}) (q_{2}^{'} - p_{2}^{'})$

ブロカール点の証明に用いる円の式を使用

$△ A B C$ の1頂点を通り別の1頂点で辺に接する円の式は
$a^{2} x_{3}^{2} + (a^{2} - b^{2}) x_{3} x_{1} - c^{2} x_{1} x_{2} = 0$ ,
$b^{2} x_{1}^{2} + (b^{2} - c^{2}) x_{1} x_{2} - a^{2} x_{2} x_{3} = 0$ ,
$c^{2} x_{2}^{2} + (c^{2} - a^{2}) x_{2} x_{3} - b^{2} x_{3} x_{1} = 0$ ,
$a^{2} x_{2}^{2} - b^{2} x_{3} x_{1} + (a^{2} - c^{2}) x_{1} x_{2} = 0$ ,
$b^{2} x_{3}^{2} - c^{2} x_{1} x_{2} + (b^{2} - a^{2}) x_{2} x_{3} = 0$ ,
$c^{2} x_{1}^{2} - a^{2} x_{2} x_{3} + (c^{2} - b^{2}) x_{3} x_{1} = 0$
です。
$K_{g}$ の値はいずれも $1$ になります。

距離の公式 (ブロカール点の証明に用いる円の式の活用形)

$p^{'} = \frac{1}{p_{1} + p_{2} + p_{3}} p$ および $q^{'} = \frac{1}{q_{1} + q_{2} + q_{3}} q$ とします。
$P Q^{2} = a^{2} (q_{3}^{'} - p_{3}^{'})^{2} + (a^{2} - b^{2}) (q_{3}^{'} - p_{3}^{'}) (q_{1}^{'} - p_{1}^{'}) - c^{2} (q_{1}^{'} - p_{1}^{'}) (q_{2}^{'} - p_{2}^{'})$
$P Q^{2} = b^{2} (q_{1}^{'} - p_{1}^{'})^{2} + (b^{2} - c^{2}) (q_{1}^{'} - p_{1}^{'}) (q_{2}^{'} - p_{2}^{'}) - a^{2} (q_{2}^{'} - p_{2}^{'}) (q_{3}^{'} - p_{3}^{'})$
$P Q^{2} = c^{2} (q_{2}^{'} - p_{2}^{'})^{2} + (c^{2} - a^{2}) (q_{2}^{'} - p_{2}^{'}) (q_{3}^{'} - p_{3}^{'}) - b^{2} (q_{3}^{'} - p_{3}^{'}) (q_{1}^{'} - p_{1}^{'})$
$P Q^{2} = a^{2} (q_{2}^{'} - p_{2}^{'})^{2} - b^{2} (q_{3}^{'} - p_{3}^{'}) (q_{1}^{'} - p_{1}^{'}) + (a^{2} - c^{2}) (q_{1}^{'} - p_{1}^{'}) (q_{2}^{'} - p_{2}^{'})$
$P Q^{2} = b^{2} (q_{3}^{'} - p_{3}^{'})^{2} - c^{2} (q_{1}^{'} - p_{1}^{'}) (q_{2}^{'} - p_{2}^{'}) + (b^{2} - a^{2}) (q_{2}^{'} - p_{2}^{'}) (q_{3}^{'} - p_{3}^{'})$
$P Q^{2} = c^{2} (q_{1}^{'} - p_{1}^{'})^{2} - a^{2} (q_{2}^{'} - p_{2}^{'}) (q_{3}^{'} - p_{3}^{'}) + (c^{2} - b^{2}) (q_{3}^{'} - p_{3}^{'}) (q_{1}^{'} - p_{1}^{'})$

付録：広義の円

広義の円という用語は一般には反転幾何でよく用いられます。
しかし、ここでは射影幾何における広義の円を考えるので、混同しないようにしてください。

この記事で説明する広義の円は反転幾何に出てくる広義の円とは少し異なります！

広義の円錐曲線

$d_{1}, d_{2}, d_{3}, e_{1}, e_{2}, e_{3} \in R$ として、 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ の関数 $g$ を
$g (x) = d_{1} x_{1}^{2} + d_{2} x_{2}^{2} + d_{3} x_{3}^{2} + 2 e_{1} x_{2} x_{3} + 2 e_{2} x_{3} x_{1} + 2 e_{3} x_{1} x_{2}$
とします。つまり $g (x)$ は $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ の2次斉次多項式です。
座標 $x$ が $g (x) = 0$ を満たす点 $X (x)$ の集合を広義の円錐曲線(広義の二次曲線)といいます。

行列 $(\begin{matrix} d_{1} & e_{3} & e_{2} \\ e_{3} & d_{2} & e_{1} \\ e_{2} & e_{1} & d_{3} \end{matrix})$ を用いると広義の円錐曲線 $g (x) = 0$ を次の5つに分類できます。

実円錐曲線 (行列が正則かつ不定値)
虚円錐曲線 (行列が正定値または負定値)
1点 (行列がRank2半正定値またはRank2半負定値)
2直線 (行列がRank2不定値)
1直線 (行列がRank1)

i.の実円錐曲線は通常の円錐曲線で楕円・放物線・双曲線があります。
ii.の虚円錐曲線は平面上に図形は現れず空集合になります。ただし、座標が虚数になる虚点というものを考えれば、式を満たす虚点の集合として図形が存在することになります。
iii.の1点は実平面上ではただの1点です。ただし、虚点の範囲まで考えれば複素共役な2本の虚直線になります。
iv.の2直線は、交差する2直線・平行な2直線・通常の直線と無限遠直線を合わせた2直線という3種があります。
v.はiv.の2直線が近づいて同じ直線になったものと思ってください。つまり2本の直線が重なって1直線になったものです。

広義の円

再掲

この記事で説明する広義の円は反転幾何に出てくる広義の円とは少し異なります！

2つの虚円点を通る広義の円錐曲線を(射影幾何における)広義の円といいます。(この名称や定義が一般的に使用されているかどうかはわかりませんが、私はそう呼んでいます。)
その条件を整理すると、 $g (x)$ の各項の係数が
$\frac{d_{2} + d_{3} - 2 e_{1}}{a^{2}} = \frac{d_{3} + d_{1} - 2 e_{2}}{b^{2}} = \frac{d_{1} + d_{2} - 2 e_{3}}{c^{2}}$
を満たすような広義の円錐曲線 $g (x) = 0$ が広義の円になります。

広義の円には次の5種類があり、広義の円錐曲線の5分類と対応しています。

実円
虚円
点円
無限遠直線と別の直線を合わせた2直線
無限遠直線

i.の実円はいわゆる通常の円です。広義の円に対する言葉としての狭義の円がこの実円になります。
ii.の虚円は平面上に図形は現れず空集合になります。ただし、座標が虚数になる虚点というものを考えれば、式を満たす虚点の集合が存在します。
iii.の点円は平面上の1点です。これは円の半径が0になったものと考えてください。
iv.は円の半径が無限大になったものとみなせます。反転幾何においては直線が広義の円に含まれますが、射影幾何においては無限遠直線を含めた2直線になることに注意してください。
v.はiv.における"別の直線"が"同じ無限遠直線"になったものと思ってください。つまり無限遠直線2つが重なったものです。

$g (x) = 0$ が広義の円ならば次の等式も成り立ちます。
$\frac{1}{a^{2}} g (a^{2}, - S_{C}, - S_{B}) = \frac{1}{b^{2}} g (- S_{C}, b^{2}, - S_{A}) = \frac{1}{c^{2}} g (- S_{B}, - S_{A}, c^{2}) = \frac{S^{2}}{a^{2}} g (0, 1, - 1) = \frac{S^{2}}{b^{2}} g (- 1, 0, 1) = \frac{S^{2}}{c^{2}} g (1, - 1, 0)$
ただし、 $S = 2 \cdot △ A B C = \frac{1}{2} \sqrt{2 (b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2} + a^{2} b^{2}) - (a^{4} + b^{4} + c^{4})}$ です。