アローの不可能性定理における独立性の定義

はじめに

アローの不可能性定理というものを勉強しています。これは「いくつかの条件をみたす社会的厚生関数は存在しない」という定理なのですが、その条件の一つに「無関係な選択肢からの独立性（または単に独立性）」というものがあります。この条件のお気持ちはすんなり理解できたのですが、厳密な定義を理解するのに時間がかかってしまいました。この記事では、同じような方のために、定義を読み解いた過程を記録しておきます。

参考書

1. Vohra, Mechanism Design: A Linear Programming Approach

想定知識

• 社会的厚生関数の定義

記法

参考書[1]から若干記法を変えています。

• $n\in \mathbb{N}$：エージェントの数
• $\mathcal{A}=\{a_1,...,a_n\}$：エージェントの集合
• $m\in \mathbb{N}$：選択肢の数
• $\mathrm{\Gamma }=\{{\gamma }_1,...,{\gamma }_m\}$：選択肢の集合
• $\mathrm{\Sigma }$：選好順序の集合（選択肢集合のすべての順列）
• $\mathrm{\Omega }\subseteq \mathrm{\Sigma }$：実行可能な選好順序の集合
• ${\prec }_i\in \mathrm{\Omega }$：エージェント$i\in \mathcal{A}$の選好順序
• $\prec \in {\mathrm{\Omega }}^n$：$n$人のエージェントの選好順序の集合（単に選好順序と呼ぶ）
• $x{\prec }_{i}y$：エージェント$i$は選択肢$x\in \mathrm{\Gamma }$よりも選択肢$y\in \mathrm{\Gamma }$の方が上位と評価
• $f:{\mathrm{\Omega }}^n\to \mathrm{\Sigma }$：社会的厚生関数
• $xf(\prec )y$：社会的厚生関数$f$は選択肢$x\in \mathrm{\Gamma }$よりも選択肢$y\in \mathrm{\Gamma }$の方が上位と評価

独立性の定義

では、始めていきます。

参考書[1]では社会的厚生関数の独立性を以下で定義しています。

直訳すると以下となります。

そして独立性のお気持ちとして以下が書かれていました。

The second axion states that the ranking of $x$ and $y$ by $f$ is not affected by how the agents rank the other alternatives.

"The second axion"とは独立性のことです。直訳すると以下となります。

私が躓いたポイントは二つあります。
(1) 「$x{\prec }_{i}y$のとき、かつ、そのときのみ、$x{\prec }_i^{\prime }y$」の意味
（同様に「$xf(\prec )y$のとき、かつ、そのときのみ、$xf({\prec }^{\prime })y$」の意味）
(2) 定義に「他の選択肢」に関する記述が出てこないこと

以上を一つずつ読み解いていきます。

(1) 「$x{\prec }_{i}y$のとき、かつ、そのときのみ、$x{\prec }_i^{\prime }y$」の意味

真偽表を書いてみると、「$x{\prec }_{i}y$のとき、かつ、そのときのみ、$x{\prec }_i^{\prime }y$」は、「($x{\prec }_{i}y$かつ$x{\prec }_i^{\prime }y$) または ($x{\succ }_{i}y$かつ$x{\succ }_i^{\prime }y$)」と同値だと分かります。言い換えると「$\prec ,{\prec }^{\prime }$で$x,y$の評価が等しい」ということです。

したがって、定義は以下のように書き換えられます。

(2) 定義に「他の選択肢」に関する記述が出てこないこと

定義には「他の選択肢」に関する記述は明示的には出てきません。ただ、(1)解決後の定義によれば、$\prec ,{\prec }^{\prime }$には$x,y$の評価が等しいことのみが求められるのですから、他の選択肢の評価が異なっていても良いことになります。したがって、定義は以下のように書き換えられます。

ここまで読み解けると、お気持ちの記載と同義になりますので、理解完了となりました。

おわりに

特に(1)で躓いていたのですが、論理演算の習熟度が低いからですね。。精進します。