東大数理院試2025年度専門B問16解答
東大数理の院試（2025年度専門B問16）の解答です．
自分が作った解答は
ここ
に置いてあります．
$n$を$2$以上の整数，$q$を$|q| < 1$を満たす複素パラメータとする．以下の問に答えよ．
$x_1, x_2, \dots, x_n$と$y$を変数とする次の有理式の恒等式が成り立つことを示せ．
$$ \sum_{i = 1}^n \bigg( \frac{1}{1 - yx_i} \prod_{\substack{1 \leq j \leq n \\ j \not= i}} \frac{x_i}{x_i - x_j}\bigg) = \prod_{i = 1}^n \frac{1}{1 - yx_i} $$複素数$y$に対する次の等式を示せ．
$$ \prod_{i = 0}^\infty (1 - q^i y) = \sum_{i = 0}^\infty c_i y^i $$
ただし
$$ c_0 = 1, \quad c_i = \frac{(-1)^i q^{i(i - 1) / 2}}{\prod_{j = 1}^i (1 - q^j)} \quad (i \geq 1). $$$x_i$に関する$q$-差分作用素を$T_{q, x_i},$また$y$に関する$q$-差分作用素を$T_{q, y}$と記す．すなわち，$\CC^{n + 1}$上の有理型関数$f$に対して
\begin{align*} T_{q, x_i}f(x_1, \dots, x_i, \dots, x_n, y) &= f(x_1, \dots, qx_i, \dots, x_n, y) \qquad (i = 1, 2, \dots, n) \\ T_{q, y}f(x_1, \dots, x_n, y) &= f(x_1, \dots, x_n, qy) \end{align*}
と定める．方程式系
$$ T_{q, x_i} K(x_1, \dots, x_n, y) = \frac{1}{1 - yx_i} K(x_1, \dots, x_n, y) \qquad (i = 1, 2, \dots, n) $$
を満たすような関数$K(x_1, \dots, x_n, y) \not= 0$を一つ求めよ．また，この$K$に対して$T_{q, y}K(x_1, \dots, x_n, y)$を計算せよ．$x_1, \dots, x_n$の有理型関数に作用する$q$-差分作用素$H$を
$$ H = \sum_{i = 1}^n \bigg( \prod_{\substack{1 \leq j \leq n \\ j \not= i}} \frac{x_i}{x_i - x_j}\bigg) T_{q, x_i} $$
と定める．$m$を非負整数とする．$x_1, \dots, x_n$の$m$次斉次対称多項式$P_m = P_m(x_1, \dots, x_n) \not= 0$であって$HP_m = q^m P_m$を満たすものを一つ求め，(2)で定めた$c_i$を用いて表せ．
(1)
相異なる$x_1, \dots, x_n \in \CC \setminus \{ 0\}$を任意に固定し，左辺に$\prod_{i = 1}^n (1 - yx_i)$を掛けたものを$F(y)$とおく．$F \in \CC[y], \deg F \leq n - 1$だから，$F(1 / x_k) = 1 \, (k = 1, \dots, n)$を示せば十分．
$$
F(1 / x_k)
= \sum_{i = 1}^n \prod_{\substack{1 \leq j \leq n \\ j \not= i}} \frac{x_i(1 - x_j / x_k)}{x_i - x_j}
= \sum_{i = 1}^n \prod_{\substack{1 \leq j \leq n \\ j \not= i}} \frac{x_i(x_k - x_j)}{x_k(x_i - x_j)}
$$
は$i = k$の項が$1,$それ以外の項は$0$だから示された．
(2)
示すべき等式の左辺を$y$のべき級数に展開したものを$\sum_{i \geq 0} d_i y^i$とする．この時
\begin{align*}
\sum_{i \geq 0} d_i y^i
&= (1 - y)\prod_{i \geq 0} (1 - q^i \cdot qy)
= (1 - y)\sum_{i \geq 0} d_i (qy)^i \\
&= \sum_{i \geq 0} d_i q^i y^i - \sum_{i \geq 1} d_{i - 1} q^{i - 1} y^i
= d_0 + \sum_{i \geq 1} (d_i q^i - d_{i - 1}q^{i - 1})y^i
\end{align*}
と$d_0 = 1$より
$$
d_i
= \frac{-d_{i - 1}q^{i - 1}}{1 - q^i}
= \frac{(-1)^i q^{1 + 2 + \cdots + (i - 1)}}{\prod_{j = 1}^i (1 - q^j)}
= \frac{(-1)^i q^{i(i - 1) / 2}}{\prod_{j = 1}^i (1 - q^j)}
$$
であるから示された．
(3)
(2)で示した等式の左辺を$Q(y)$とする．$\sum_{i \geq 0} |q^i y| < \infty$より$Q(y)$は$\CC$上正則であることに注意する．
$$
K(x_1, \dots, x_n, y)
= \prod_{j = 1}^n Q(x_j y)
$$
とおく．この時
$$
T_{q, x_j} Q(x_j y)
= \prod_{i \geq 0} (1 - q^{i + 1} x_j y)
= \frac{Q(x_j y)}{1 - x_j y}
$$
なので，$K(x_1, \dots, x_n, y)$は方程式系の解である．また
$$
T_{q, y}K(x_1, \dots, x_n, y)
= \prod_{j = 1}^n T_{q, y}Q(x_j y)
= \prod_{j = 1}^n T_{q, x_j}Q(x_j y)
= \prod_{j = 1}^n \frac{Q(x_j y)}{1 - x_j y}
= \frac{K(x_1, \dots, x_n, y)}{\prod_{j = 1}^n (1 - x_j y)}.
$$
(4)
(1),(3)より
$$
HK(x_1, \dots, x_n, y)
= \frac{K(x_1, \dots, x_n, y)}{\prod_{i = 1}^n (1 - yx_i)}
= T_{q, y}K(x_1, \dots, x_n, y)
$$
であるから，$K(x_1, \dots, x_n, y)$を$y$について展開した$m$次の係数を$P_m(x_1, \dots, x_n)$とすれば$HP_m = q^m P_m$となる．$K$の定義に(2)を代入，展開して
$$
P_m(x_1, \dots, x_n)
= \sum_{\substack{j_1 + \cdots + j_n = m \\ j_1, \dots, j_n \geq 0}}
c_{j_1} \cdots c_{j_n} x_1^{j_1} \cdots x_n^{j_n}.
$$
これは$x_1, \dots, x_n$について$m$次斉次対称多項式だから，これが答え．
