準同型定理

$p$を$f$の核対の余等化子とする．$p$の余等化子としての普遍性より，$f=i\circ p$を満たす射$i$をとれる．
\begin{equation} \mat{ \ar[r]^{p''_0}\ar[d]_{p''_1}\ar@{}[dr]|(.3)\lrcorner & \ar[r]^{r'_0}\ar[d]|{p'_1}\ar@{}[dr]|(.3)\lrcorner & \ar[d]^p \\ \ar[r]|{p'_0}\ar[d]_{r'_1}\ar@{}[dr]|(.3)\lrcorner & \ar[r]|{r_0}\ar[d]|{r_1}\ar@{}[dr]|(.3)\lrcorner & \ar[d]^i\\ \ar[r]_p &\ar[r]_i & } \end{equation}
とすると，$(r'_0\circ p''_0,r'_1\circ p''_1)$は$f$の核対であるから
\begin{equation} r_0\circ p'_0\circ p''_1=p\circ r'_0\circ p''_0=p\circ r'_1\circ p''_1=r_1\circ p'_0\circ p''_1. \end{equation}
ここで$p'_0,p''_1$はエピ射であるから$r_0=r_1$となり，$i$がモノ射であることがわかる．