準同型定理

正則圏

圏 $C$ が正則圏（regular category）であるとは，以下が成り立つことをいう．

$C$ は有限極限を持つ．
$C$ の射の核対は常に余等化子を持つ．
$C$ の正則エピ射の引き戻しは常に正則エピ射である．

準同型定理

正則圏 $C$ の任意の射 $f$ に対して，あるモノ射 $i$ と正則エピ射 $p$ が存在して $f = i \circ p$ が成り立つ．

$p$ を $f$ の核対の余等化子とする． $p$ の余等化子としての普遍性より， $f = i \circ p$ を満たす射 $i$ をとれる．
$p_{0}^{″} p_{1}^{″} ⌟ r_{0}^{'} p_{1}^{'} ⌟ p p_{0}^{'} r_{1}^{'} ⌟ r_{0} r_{1} ⌟ i p i$
とすると， $(r_{0}^{'} \circ p_{0}^{″}, r_{1}^{'} \circ p_{1}^{″})$ は $f$ の核対であるから
$r_{0} \circ p_{0}^{'} \circ p_{1}^{″} = p \circ r_{0}^{'} \circ p_{0}^{″} = p \circ r_{1}^{'} \circ p_{1}^{″} = r_{1} \circ p_{0}^{'} \circ p_{1}^{″} .$
ここで $p_{0}^{'}, p_{1}^{″}$ はエピ射であるから $r_{0} = r_{1}$ となり， $i$ がモノ射であることがわかる．