圏Cが正則圏(regular category)であるとは,以下が成り立つことをいう.
正則圏Cの任意の射fに対して,あるモノ射iと正則エピ射pが存在してf=i∘pが成り立つ.
pをfの核対の余等化子とする.pの余等化子としての普遍性より,f=i∘pを満たす射iをとれる.p0″p1″⌟r0′p1′⌟pp0′r1′⌟r0r1⌟ipiとすると,(r0′∘p0″,r1′∘p1″)はfの核対であるからr0∘p0′∘p1″=p∘r0′∘p0″=p∘r1′∘p1″=r1∘p0′∘p1″.ここでp0′,p1″はエピ射であるからr0=r1となり,iがモノ射であることがわかる.
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