ランダム強制法はomega^{omega_1} boundingになりえる
本記事ではランダム強制法が$\omega^{\omega_1}$-boundingになりえることを示す．
ランダム強制法とは，
$$
\mathbb{B} = \{ p \subseteq 2^\omega : p\text{はBorel集合で }\mu(p) > 0 \}
$$
で通常の包含関係で順序を入れた強制概念を指す．ここで$\mu$は$2^\omega$上の通常の測度．
$\kappa, \lambda$を無限基数とする．強制概念$P$が$\kappa^\lambda$-boundingであるとは，
$$\forces_P \forall f \in \kappa^\lambda\ \exists g \in \kappa^\lambda \cap V\ [f \le g]$$
を満たすことを言う．
ここに$\kappa^\lambda$は$\lambda$から$\kappa$への関数の全体の集合で，$f \le g$は$\forall \alpha \in \lambda\ [f(\alpha) \le g(\alpha)]$を意味する．
ランダム強制法が$\omega^\omega$-boundingなことはよく知られている．証明はKunen [1]のLemma IV.7.34を参照せよ．
この記事では，次を示す．
次のことは無矛盾：ランダム強制法$\mathbb{B}$は$\omega^{\omega_1}$-boundingである．
次の定理は本記事では証明しない．証明はBartoszynski-Judahの本 [2]のTheorem 3.2.2に載っている。
$\mathrm{add}(\mathcal{N})$は次の基数に等しい： $\mathbb{B}$の部分代数$\mathbb{B}'$であって次の条件(*)を満たすものの濃度の最小．
(*) $\mathbb{B} \setminus \{ 0\}$の可算部分集合$D$であって，$\mathbb{B}'$の$\mathbb{B}$稠密部分集合ではない．
ここで$D$が$\mathbb{B}'$の$\mathbb{B}$稠密部分集合であるとは，$\forall b \in \mathbb{B}' \setminus \{ 0\} \ \exists d \in D\ [d \le b]$を満たすことを意味する．
ここで，$\mathrm{add}(\mathcal{N})$は通常の測度$\mu$が$\kappa$加法的でない最小の基数$\kappa$として定義される基数である．
$\kappa$を$\kappa < \mathrm{add}(\mathcal{N})$なる非可算正則基数とする．このとき，$\mathbb{B}$は$\kappa$-caliberを持つ．
すなわち，任意のconditionの$\kappa$列$(p_\alpha : \alpha < \kappa)$について，濃度$\kappa$を持つ$X \subseteq \kappa$が存在して，$(p_\alpha : \alpha \in X)$は共通下界を持つ．
conditionの$\kappa$列$(p_\alpha : \alpha < \kappa)$を任意にとる．
集合$\{ p_\alpha : \alpha < \kappa \}$が生成する部分代数$\mathbb{B}'$を考えると，それは濃度$\kappa$以下である．
仮定$\kappa < \mathrm{add}(\mathcal{N})$と定理2より，$\mathbb{B}'$は定理2の条件(*)を満たなさい．
すなわち，$\mathbb{B} \setminus \{0\}$の可算部分集合$D$が取れて，$\mathbb{B}'$稠密である．
ところが，$D$の濃度が可算なので，鳩の巣原理により，ある$d \in D$と濃度$\kappa$の$X \subseteq \kappa$があって，どの$\alpha < \kappa$でも$d \le p_\alpha$である． ■
$P$を強制概念で$\omega^\omega$-boundingかつ，$\omega_1$-caliberを持つものとする．
このとき$P$は$\omega^{\omega_1}$-boundingでもある．
$\omega_1$から$\omega$への関数の$P$-nameを任意にとり$\dot{f}$とする．
各$\alpha < \omega_1$について関数$\dot{f} \restriction \alpha \colon \alpha \to \omega$は$P$が$\omega^\omega$-boundingなことよりある条件$p_\alpha$とある関数$g_\alpha \colon \alpha \to \omega$をもってして，$p_\alpha \forces \dot{f} \restriction \alpha \le g_\alpha$とできる．
列$(p_\alpha : \alpha < \omega_1)$に対して，$\omega_1$-caliberの定義を使うと濃度$\omega_1$を持つ$X \subseteq \omega_1$が存在して，$(p_\alpha : \alpha \in X)$は共通下界$q$を持つ．
ここで
$$g(\alpha) = g_{\beta_\alpha}(\alpha)$$
と定める．ただし$\beta_\alpha$は$\alpha$より大きく$X$に属する最小の順序数である．
すると$q \forces \dot{f} \le g$を得る． ■
以上を総括すると次を得る．
$\mathrm{add}(\mathcal{N}) > \omega_1$とする．
このときランダム強制法$\mathbb{B}$は$\omega^{\omega_1}$-boundingである．
命題1，命題3と命題4による． ■
$\mathrm{add}(\mathcal{N}) > \omega_1$はZFCから相対的に無矛盾であるので，結局，「ランダム強制法$\mathbb{B}$は$\omega^{\omega_1}$-bounding」という主張はZFCから相対的に無矛盾である．
$\mathrm{add}(\mathcal{N}) > \omega_1$がZFCから相対的に無矛盾である理由は「これがマーティンの公理から従うから」「アメーバ強制法の反復でこれを強制できるから」など．
次は読者への演習とする．
$\mathbb{B}$は$\omega^{\mathfrak{c}}$-boundingにはなりえない．ここに$\mathfrak{c}$は連続体濃度．
よって，CHを仮定すると，$\mathbb{B}$は$\omega^{\omega_1}$-boundingではない．