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ランダム強制法はomega^{omega_1} boundingになりえる

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本記事ではランダム強制法が $ω^{ω_{1}}$ -boundingになりえることを示す．

ランダム強制法とは，
$B = {p \subseteq 2^{ω} : p はBorel集合で μ (p) > 0}$
で通常の包含関係で順序を入れた強制概念を指す．ここで $μ$ は $2^{ω}$ 上の通常の測度．

$κ, λ$ を無限基数とする．強制概念 $P$ が $κ^{λ}$ -boundingであるとは，
$⊩_{P} \forall f \in κ^{λ} \exists g \in κ^{λ} \cap V [f \leq g]$
を満たすことを言う．
ここに $κ^{λ}$ は $λ$ から $κ$ への関数の全体の集合で， $f \leq g$ は $\forall α \in λ [f (α) \leq g (α)]$ を意味する．

ランダム強制法が $ω^{ω}$ -boundingなことはよく知られている．証明はKunen [1]のLemma IV.7.34を参照せよ．

この記事では，次を示す．

次のことは無矛盾：ランダム強制法 $B$ は $ω^{ω_{1}}$ -boundingである．

次の定理は本記事では証明しない．証明はBartoszynski-Judahの本 [2]のTheorem 3.2.2に載っている。

$add (N)$ は次の基数に等しい： $B$ の部分代数 $B^{'}$ であって次の条件(*)を満たすものの濃度の最小．
(*) $B ∖ {0}$ の可算部分集合 $D$ であって， $B^{'}$ の $B$ 稠密部分集合ではない．

ここで $D$ が $B^{'}$ の $B$ 稠密部分集合であるとは， $\forall b \in B^{'} ∖ {0} \exists d \in D [d \leq b]$ を満たすことを意味する．

ここで， $add (N)$ は通常の測度 $μ$ が $κ$ 加法的でない最小の基数 $κ$ として定義される基数である．

$κ$ を $κ < add (N)$ なる非可算正則基数とする．このとき， $B$ は $κ$ -caliberを持つ．

すなわち，任意のconditionの $κ$ 列 $(p_{α} : α < κ)$ について，濃度 $κ$ を持つ $X \subseteq κ$ が存在して， $(p_{α} : α \in X)$ は共通下界を持つ．

conditionの $κ$ 列 $(p_{α} : α < κ)$ を任意にとる．
集合 ${p_{α} : α < κ}$ が生成する部分代数 $B^{'}$ を考えると，それは濃度 $κ$ 以下である．
仮定 $κ < add (N)$ と定理2より， $B^{'}$ は定理2の条件(*)を満たなさい．
すなわち， $B ∖ {0}$ の可算部分集合 $D$ が取れて， $B^{'}$ 稠密である．
ところが， $D$ の濃度が可算なので，鳩の巣原理により，ある $d \in D$ と濃度 $κ$ の $X \subseteq κ$ があって，どの $α < κ$ でも $d \leq p_{α}$ である． ■

$P$ を強制概念で $ω^{ω}$ -boundingかつ， $ω_{1}$ -caliberを持つものとする．
このとき $P$ は $ω^{ω_{1}}$ -boundingでもある．

$ω_{1}$ から $ω$ への関数の $P$ -nameを任意にとり $\dot{f}$ とする．
各 $α < ω_{1}$ について関数 $\dot{f} ↾ α : α \to ω$ は $P$ が $ω^{ω}$ -boundingなことよりある条件 $p_{α}$ とある関数 $g_{α} : α \to ω$ をもってして， $p_{α} ⊩ \dot{f} ↾ α \leq g_{α}$ とできる．
列 $(p_{α} : α < ω_{1})$ に対して， $ω_{1}$ -caliberの定義を使うと濃度 $ω_{1}$ を持つ $X \subseteq ω_{1}$ が存在して， $(p_{α} : α \in X)$ は共通下界 $q$ を持つ．
ここで
$g (α) = g_{β_{α}} (α)$
と定める．ただし $β_{α}$ は $α$ より大きく $X$ に属する最小の順序数である．
すると $q ⊩ \dot{f} \leq g$ を得る． ■