代数学メモ

$G$を群、$H$を$G$の空でない部分集合とする。このとき、以下は同値である:
(1)$H$は$G$の部分群である。
(2)$HH\subset H,H^{-1}\subset H$が成り立つ。
(3)$HH=H,H^{-1}=H$が成り立つ。
ただし、$HH:=\{h_1{h}_2\mid h_1,h_2\in H\},H^{-1}:=\{h^{-1}\mid h\in H\}$である。

$G$を群、$x\in G$とする。このとき、
(1)$⟨x⟩:=\{x^n\mid n\in \mathbb{Z}\}$は$G$の部分群である。
(2)$\text{ord}(x)=|⟨x⟩|>0$が成り立つ。

群$G=(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)(n\in \mathbb{N})$について、以下が成り立つ:
(1)$G$の単位元は$\bar{0}$である。
(2)$\bar{a}\in G$の逆元は$\overline{-a}$である。
(3)$\mathrm{\#}G=n$である。特に、$G=\{\bar{0},\bar{1},\dots ,\overline{n-1}\}$である。
(4)任意の$n\in \mathbb{N}$に対し、$G$は巡回群である。
(5)$\bar{k}\in G$が$G$の生成元である$\iff$$gcd(k,n)=1$
　特に、$\bar{1}$は生成元である。$\bar{0}$は生成元でない。
(6)$G$はAbel群である。
(7)$\bar{a}\in G$に対し、$n\bar{a}=\bar{0}$が成り立つ。
(8)$\bar{a}\in G$に対し、$\text{ord}(\bar{a})|n$が成り立つ。
　特に、$1\le \text{ord}(\bar{a})\le n$である。
(9)$\text{ord}(\bar{0})=\text{ord}(\bar{n})=1,\text{ord}(\bar{1})=n$である。
(10)$n$が素数ならば、任意の$\bar{a}\in G\setminus \{\bar{0}\}$は生成元である。
(11)$n$が素数ならば、任意の$\bar{a}\in G\setminus \{\bar{0}\}$に対し、$\text{ord}(\bar{a})=n$である。

$G=((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times },\times )(n\in \mathbb{N})$について、以下が成り立つ:
(1)$\bar{k}\in G\iff gcd(k,n)=1$
　特に、$\bar{1}\in G,\bar{0}\notin G$である。
(2)$G$の単位元は$\bar{1}$である。
(3)$G=\{\bar{k}\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)|gcd(k,n)=1\}$である。
(4)$\bar{a}\in G$に対し、${\bar{a}}^n=\bar{1}$である。
(5)$\bar{a}\in G$に対し、$\text{ord}(\bar{a})|n$が成り立つ。
　特に、$1\le \text{ord}(\bar{a})\le n$である。
(6)$\text{ord}(\bar{1})=1$である。
(7)$n$が素数ならば、$G$は巡回群である。
(8)$n=4,6$のとき、$\mathrm{\#}G=2$であるから、巡回群である。$n$が偶数で巡回群になるのはこれしかない。

$G=((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}),+,\times )(n\in \mathbb{N})$について、以下が成り立つ:
(1)$G$は環である。零元は$\bar{0}$、単位元は$\bar{1}$である。
(2)$n$が素数ならば、$G$は体である。

$G$を位数$n$の有限群$(\mathrm{\#}G=n)$、$e$を$G$の単位元とする。このとき、以下が成り立つ:
(1)任意の$x\in G$に対し、$x^n=e$である。
(2)$n$が素数ならば、$G$は巡回群である。
(3)ある$x\in G$が存在し、$\text{ord}(x)=n$ならば、$G$は巡回群である。

$G$を巡回群、$e$を$G$の単位元とする。このとき、以下が成り立つ:
(1)ある$x\in G$が存在し、$G=⟨x⟩$が成り立つ。
(2)ある$x\in G$が存在し、$\text{ord}(x)<\mathrm{\infty }$ならば、$G$は有限群である。
(3)ある$x\in G\setminus \{0\},n\in \mathbb{N}$が存在し、$x^n=e$ならば,$G$は有限群である。

$G$を群、$e$を$G$の単位元とする。$x\in G$に対し、以下が成り立つ:
$\text{ord}(x)=|⟨x⟩|=d\Rightarrow x^d=x^{\text{ord}(x)}=e(d\in \mathbb{N})$

$(\mathbb{Z},+)$は無限巡回群である。生成元は$1$である。

$G$を群、$e$を$G$の単位元とする。このとき、
(1)$G/\{e\}\simeq G$である。
(2)$G/G\simeq \{e\}$である。

巡回群はAbel群である。

$K$を環、$K^{\ast }:=K\setminus \{0\},K^{\times }:=\{a\in K\mid aは可逆元を持つ\}$とする。
このとき、$K$が体ならば$K^{\ast }=K^{\times }$である。
環では成り立たない。例えば${\mathbb{Z}}^{\ast }\ne {\mathbb{Z}}^{\times }$など。

$\mathbb{K}$を体、$M_n(\mathbb{K})$を$\mathbb{K}$上の$n$次正方行列全体とする。このとき、$M_1(\mathbb{K})$と$\mathbb{K}$は体同型である。すなわち、$M_1(\mathbb{K})\simeq \mathbb{K}$である。