代数学メモ

$G$を群、$H$を$G$の空でない部分集合とする。このとき、以下は同値である:
(1)$H$は$G$の部分群である。
(2)$HH \subset H,H^{-1} \subset H$が成り立つ。
(3)$HH = H,H^{-1} = H$が成り立つ。
ただし、$HH \coloneqq \{h_1h_2 \mid h_1,h_2\in H\},H^{-1} \coloneqq \{h^{-1} \mid h\in H\}$である。

$G$を群、$x \in G$とする。このとき、
(1)$\langle x \rangle \coloneqq \{x^n\mid n \in \mathbb{Z}\}$は$G$の部分群である。
(2)$\textrm{ord} (x)=|\langle x \rangle|> 0$が成り立つ。

群$G=(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)\enspace (n \in \mathbb{N})$について、以下が成り立つ:
(1)$G$の単位元は$\overline{0}$である。
(2)$\overline{a} \in G$の逆元は$\overline{-a}$である。
(3)$\#G=n$である。特に、$G=\{\overline{0},\overline{1},\dots ,\overline{n-1}\}$である。
(4)任意の$n \in \mathbb{N}$に対し、$G$は巡回群である。
(5)$\overline{k} \in G$が$G$の生成元である$\Leftrightarrow$$\gcd(k,n)=1$
　特に、$\overline{1}$は生成元である。$\overline{0}$は生成元でない。
(6)$G$はAbel群である。
(7)$\overline{a} \in G$に対し、$n\overline{a}=\overline{0}$が成り立つ。
(8)$\overline{a} \in G$に対し、$\textrm{ord} (\overline{a})|n$が成り立つ。
　特に、$1\ \leq \textrm{ord} (\overline{a})\leq n$である。
(9)$\textrm{ord} (\overline{0})=\textrm{ord} (\overline{n})=1,\enspace\textrm{ord} (\overline{1})=n$である。
(10)$n$が素数ならば、任意の$\overline{a} \in G\setminus\{\overline{0}\}$は生成元である。
(11)$n$が素数ならば、任意の$\overline{a} \in G\setminus\{\overline{0}\}$に対し、$\textrm{ord} (\overline{a})=n$である。

$G=((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times},\times)\enspace (n \in \mathbb{N})$について、以下が成り立つ:
(1)$\overline{k} \in G \Leftrightarrow \gcd(k,n)=1$
　特に、$\overline{1}\in G,\overline{0} \notin G$である。
(2)$G$の単位元は$\overline{1}$である。
(3)$G=\{\overline{k} \in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)|\gcd(k,n)=1\}$である。
(4)$\overline{a} \in G$に対し、${\overline{a}}^n=\overline{1}$である。
(5)$\overline{a} \in G$に対し、$\textrm{ord} (\overline{a})|n$が成り立つ。
　特に、$1\ \leq \textrm{ord} (\overline{a})\leq n$である。
(6)$\textrm{ord} (\overline{1})=1$である。
(7)$n$が素数ならば、$G$は巡回群である。
(8)$n=4,6$のとき、$\#G=2$であるから、巡回群である。$n$が偶数で巡回群になるのはこれしかない。

$G=((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}),+,\times)\enspace (n \in \mathbb{N})$について、以下が成り立つ:
(1)$G$は環である。零元は$\overline{0}$、単位元は$\overline{1}$である。
(2)$n$が素数ならば、$G$は体である。

$G$を位数$n$の有限群$(\#G=n)$、$e$を$G$の単位元とする。このとき、以下が成り立つ:
(1)任意の$x \in G$に対し、$x^n=e$である。
(2)$n$が素数ならば、$G$は巡回群である。
(3)ある$x \in G$が存在し、$\textrm{ord} (x)=n$ならば、$G$は巡回群である。

$G$を巡回群、$e$を$G$の単位元とする。このとき、以下が成り立つ:
(1)ある$x \in G$が存在し、$G=\langle x \rangle$が成り立つ。
(2)ある$x \in G$が存在し、$\textrm{ord} (x) < \infty$ならば、$G$は有限群である。
(3)ある$x \in G\setminus\{0\},\,\,n \in \mathbb{N}$が存在し、$x^n=e$ならば,$G$は有限群である。

$G$を群、$e$を$G$の単位元とする。$x \in G$に対し、以下が成り立つ:
$\textrm{ord} (x)=|\langle x \rangle|=d \Rightarrow x^d=x^{\textrm{ord} (x)}=e\,\,\, (d \in \mathbb{N})$

$(\mathbb{Z},+)$は無限巡回群である。生成元は$1$である。

$G$を群、$e$を$G$の単位元とする。このとき、
(1)$G/\{e\} \simeq G$である。
(2)$G/G \simeq \{e\}$である。

巡回群はAbel群である。

$K$を環、$K^*\coloneqq K\setminus\{0\},\enspace K^{\times}\coloneqq \{a \in K\mid aは可逆元を持つ\}$とする。
このとき、$K$が体ならば$K^*=K^{\times}$である。
環では成り立たない。例えば$\mathbb{Z}^* \ne \mathbb{Z}^{\times}$など。

$\mathbb{K}$を体、$M_n(\mathbb{K})$を$\mathbb{K}$上の$n$次正方行列全体とする。このとき、$M_1(\mathbb{K})$と$\mathbb{K}$は体同型である。すなわち、$M_1(\mathbb{K}) \simeq \mathbb{K}$である。