両側Rogers-Ramanujanの恒等式
Rogers-Ramanujanの恒等式は以下のような恒等式である.
\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n^2}}{(q;q)_n}&=\frac 1{(q,q^4;q^5)_{\infty}}\\
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n^2+n}}{(q;q)_n}&=\frac 1{(q^2,q^3;q^5)_{\infty}}
\end{align}
比較的最近, その両側への拡張である以下の公式がSchlosserによって示されている.
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{q^{n^2}}{(zq;q)_n}z^{2n}&=\frac{(1/z;q)_{\infty}(q^5;q^5)_{\infty}}{(1/z^2,z^2q;q)_{\infty}}((z^5q^3,q^2/z^5;q^5)_{\infty}+z^{-1}(z^5q^2,q^3/z^5;q^5)_{\infty})\\ \sum_{n\in\ZZ}\frac{q^{n^2+n}}{(zq;q)_n}z^{2n}&=\frac{(1/z;q)_{\infty}(q^5;q^5)_{\infty}}{(1/z^2,z^2q;q)_{\infty}}((z^5q^4,q/z^5;q^5)_{\infty}+z^{-3}(z^5q,q^4/z^5;q^5)_{\infty}) \end{align}
これらの式で特に$z\to 1$とするとRogers-Ramanujanの恒等式が得られることが分かる.
Baileyによる${}_2\psi_2$の表示
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}\frac{(e,f;q)_n}{(aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac{aq}{ef}\right)^n&=\frac{(q/c,q/d,aq/e,aq/f;q)_{\infty}}{(a,q/a,aq/cd,aq/ef;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(1-aq^{2n})(c,d,e,f;q)_n}{(aq/c,aq/d,aq/e,aq/f;q)_n}\left(\frac{a^3q}{cdef}\right)^nq^{n^2}
\end{align}
において, $e,f\to\infty$とすると,
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}\frac{a^nq^{n^2}}{(aq/c,aq/d;q)_n}&=\frac{(q/c,q/d;q)_{\infty}}{(a,q/a,aq/cd;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(1-aq^{2n})(c,d;q)_n}{(aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac{a^3q^2}{cd}\right)^nq^{4\binom n2}
\end{align}
となる. さらに$d\to\infty$とすると,
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}\frac{a^nq^{n^2}}{(aq/c;q)_n}&=\frac{(q/c;q)_{\infty}}{(a,q/a;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(1-aq^{2n})(c;q)_n}{(aq/c;q)_n}\left(-\frac{a^3q^2}{c}\right)^nq^{5\binom n2}
\end{align}
となる. ここで, $c\mapsto a/z$とすると,
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}\frac{a^nq^{n^2}}{(zq;q)_n}&=\frac{(zq/a;q)_{\infty}}{(a,q/a;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(1-aq^{2n})(a/z;q)_n}{(zq;q)_n}\left(-a^2zq^2\right)^nq^{5\binom n2}
\end{align}
となる. ここで, $a=z^2$としてJacobiの三重積を用いると
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}\frac{q^{n^2}}{(zq;q)_n}z^{2n}&=\frac{(1-z)(q/z;q)_{\infty}}{(z^2,q/z^2;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}(1+zq^n)\left(-z^5q^2\right)^nq^{5\binom n2}\\
&=\frac{(1-z)(q/z;q)_{\infty}(q^5;q^5)_{\infty}}{(z^2,q/z^2;q)_{\infty}}((z^5q^2,q^3/z^5;q^5)_{\infty}+z(z^5q^3,q^2/z^5;q^5)_{\infty})\\
&=\frac{(1/z;q)_{\infty}(q^5;q^5)_{\infty}}{(z^2q,1/z^2;q)_{\infty}}(z^{-1}(z^5q^2,q^3/z^5;q^5)_{\infty}+(z^5q^3,q^2/z^5;q^5)_{\infty})
\end{align}
となり, 1つ目の式が得られる. また,
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}\frac{a^nq^{n^2}}{(zq;q)_n}&=\frac{(zq/a;q)_{\infty}}{(a,q/a;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(1-aq^{2n})(a/z;q)_n}{(zq;q)_n}\left(-a^2zq^2\right)^nq^{5\binom n2}
\end{align}
において$a=z^2q$としてJacobiの三重積を用いると,
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}\frac{q^{n^2+n}}{(zq;q)_n}z^{2n}&=\frac{(1/z;q)_{\infty}}{(z^2q,1/z^2;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}(1-z^2q^{2n+1})\left(-z^5q^4\right)^nq^{5\binom n2}\\
&=\frac{(1/z;q)_{\infty}(q^5;q^5)_{\infty}}{(z^2q,1/z^2;q)_{\infty}}((z^5q^4,q/z^5;q^5)_{\infty}-z^2q(z^5q^6,1/z^5q;q^5)_{\infty})\\
&=\frac{(1/z;q)_{\infty}(q^5;q^5)_{\infty}}{(z^2q,1/z^2;q)_{\infty}}((z^5q^4,q/z^5;q^5)_{\infty}+z^{-3}(z^5q,q^4/z^5;q^5)_{\infty})
\end{align}
となって2つ目の式が得られる.
他にも様々なRogers-Ramanujan型の恒等式が両側に拡張されることがSchlosserの論文で示されている.
