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現代数学解説
文献あり

Baileyの2ψ2変換公式

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$$\newcommand{bk}[0]{\boldsymbol{k}} \newcommand{bl}[0]{\boldsymbol{l}} \newcommand{BQ}[5]{{}_{#1}\psi_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{calA}[0]{\mathcal{A}} \newcommand{calS}[0]{\mathcal{S}} \newcommand{CC}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{F}[5]{{}_{#1}F_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{ol}[0]{\overline} \newcommand{Q}[5]{{}_{#1}\phi_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{QQ}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{ZZ}[0]{\mathbb{Z}} $$

次はBaileyによって1950年に示された公式である. $2$つ目の等式が特に対称的で美しい形をしている.

Baileyの${}_2\psi_2$変換公式

\begin{align} \BQ22{a,b}{c,d}{x}&=\frac{(dq/abx,c/b,ax,d/a;q)_{\infty}}{(cd/abx,q/b,x,d;q)_{\infty}}\BQ22{a,abx/d}{ax,c}{\frac da}\\ &=\frac{(ax,bx,cq/abx,dq/abx;q)_{\infty}}{(q/a,q/b,c,d;q)_{\infty}}\BQ22{abx/c,abx/d}{ax,bx}{\frac{cd}{abx}} \end{align}

\begin{align} \Q10{a}{-}x\BQ11{b}c{ax} \end{align}
$x^n$の係数は, Heineの和公式 より,
\begin{align} \sum_{0\leq k}\frac{(a;q)_k(b;q)_{n-k}}{(q;q)_k(c;q)_{n-k}}a^{n-k}&=\frac{(b;q)_na^n}{(c;q)_n}\Q21{a,q^{1-n}/c}{q^{1-n}/b}{\frac c{ab}}\\ &=\frac{(b;q)_n}{(c;q)_n}a^n\frac{(q^{1-n}/ab,c/b;q)_{\infty}}{(c/ab,q^{1-n}/b;q)_{\infty}}\\ &=\frac{(ab;q)_n}{(c;q)_n}\frac{(q/ab,c/b;q)_{\infty}}{(c/ab,q/b;q)_{\infty}} \end{align}
と表される. よって,
\begin{align} \Q10{a}{-}x\BQ11{b}c{ax}&=\frac{(q/ab,c/b;q)_{\infty}}{(c/ab,q/b;q)_{\infty}}\BQ11{ab}c{x} \end{align}
が成り立つ. これより,
\begin{align} \BQ11{b}c{ax}\BQ11{ab'}{c'}x&=\frac{(q/ab,c/b,c'/ab',q/b';q)_{\infty}}{(q/ab',c'/b',c/ab,q/b;q)_{\infty}}\BQ11{b'}{c'}{ax}\BQ11{ab}{c}{x} \end{align}
ここで, 両辺の$x$に関する定数項を比較すると,
\begin{align} \BQ22{b,q/c'}{c,q/ab'}{\frac{c'}{b'}}&=\frac{(q/ab,c/b,c'/ab',q/b';q)_{\infty}}{(q/ab',c'/b',c/ab,q/b;q)_{\infty}}\BQ22{b',q/c}{c',q/ab}{\frac cb} \end{align}
を得る. ここで, 変数を$q/c'\mapsto a, q/ab'\mapsto d, c'/b'\mapsto x$と置き換えれば,
\begin{align} \BQ22{a,b}{c,d}{x}=\frac{(dq/abx,c/b,ax,d/a;q)_{\infty}}{(cd/abx,q/b,x,d;q)_{\infty}}\BQ22{q/ax,q/c}{q/a,dq/abx}{\frac cb} \end{align}
ここで, 足し合わせる順番を逆向きにすることによって得られる変換
\begin{align} \BQ22{a,b}{c,d}{x}&=\BQ22{q/c,q/d}{q/a,q/b}{\frac{cd}{abx}} \end{align}
を右辺に適用して, 一つ目の等号を得る.
\begin{align} \BQ22{a,b}{c,d}{x}&=\frac{(dq/abx,c/b,ax,d/a;q)_{\infty}}{(cd/abx,q/b,x,d;q)_{\infty}}\BQ22{a,abx/d}{ax,c}{\frac da} \end{align}
の右辺に対して, もう一度この公式を用いると,
\begin{align} \BQ22{abx/d,a}{ax,c}{\frac da}&=\frac{(cq/abx,x,bx,cd/abx;q)_{\infty}}{(c/b,q/a,d/a,c;q)_{\infty}}\BQ22{abx/d,abx/c}{bx,ax}{\frac{cd}{abx}} \end{align}
であるから, $2$つ目の等号が得られる.

Baileyは${}_2\psi_2$をwell-poisedの形に書き換える以下のような公式も得ている.

Bailey(1950)

\begin{align} \BQ22{e,f}{aq/c,aq/d}{\frac{aq}{ef}}&=\frac{(q/c,q/d,aq/e,aq/f;q)_{\infty}}{(a,q/a,aq/cd,aq/ef;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(1-aq^{2n})(c,d,e,f;q)_n}{(aq/c,aq/d,aq/e,aq/f;q)_n}\left(\frac{a^3q}{cdef}\right)^nq^{n^2} \end{align}

Watsonの${}_8\phi_7$変換公式
\begin{align} &\sum_{k=0}^{2n}\frac{1-aq^{2k}}{1-a}\frac{(a,c,d,e,f,q^{-2n};q)_k}{(q,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq^{2n+1};q)_k}\left(\frac{a^2q^{2n+2}}{cdef}\right)^k\\ &=\frac{(aq,aq/ef;q)_{2n}}{(aq/e,aq/f;q)_{2n}}\sum_{k=0}^{2n}\frac{(aq/cd,e,f,q^{-2n};q)_k}{(q,aq/c,aq/d,efq^{-2n}/a;q)_k}q^k \end{align}
において, 両辺を$k\mapsto k+n$と置き換えて, $a,c,d,e,f$をそれぞれ$aq^{-2n},cq^{-n},dq^{-n},eq^{-n},fq^{-n}$とすると,
\begin{align} &\frac 1{1-aq^{-2n}}\frac{(aq^{-2n},cq^{-n},dq^{-n},eq^{-n},fq^{-n},q^{-2n};q)_n}{(q,aq^{1-n}/c,aq^{1-n}/d,aq^{1-n}/e,aq^{1-n}/f,aq;q)_n}\left(\frac{a^2q^{2n+2}}{cdef}\right)^n\\ &\cdot\sum_{k=-n}^n\frac{(1-aq^{2k})(aq^{-n},c,d,e,f,q^{-n};q)_k}{(q^{n+1},aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq^{n+1};q)_k}\left(\frac{a^2q^{2n+2}}{cdef}\right)^k\\ &=\frac{(aq^{1-2n},aq/ef;q)_{2n}(aq/cd,eq^{-n},fq^{-n},q^{-2n};q)_n}{(aq^{1-n}/e,aq^{1-n}/f;q)_{2n}(q,aq^{1-n}/c,aq^{1-n}/d,efq^{-2n}/a;q)_n}q^n\\ &\cdot\sum_{k=-n}^n\frac{(aq^{n+1}/cd,e,f,q^{-n};q)_k}{(q^{n+1},aq/c,aq/d,efq^{-2n}/a;q)_k}q^k \end{align}
より,
\begin{align} &\sum_{k=-n}^n\frac{(aq^{n+1}/cd,e,f,q^{-n};q)_k}{(q^{n+1},aq/c,aq/d,efq^{-n}/a;q)_k}q^k\\ &=\frac{(aq/e,aq/f,aq^{-2n},cq^{-n},dq^{-n},efq^{-2n}/a;q)_n}{(1-aq^{-2n})(aq^{1-2n},aq/ef;q)_{2n}(aq,aq/cd;q)_n}\left(\frac{a^2q^{2n+1}}{cdef}\right)^{n}\\ &\cdot \sum_{k=-n}^n\frac{(1-aq^{2k})(aq^{-n},c,d,e,f,q^{-n};q)_k}{(q^{n+1},aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq^{n+1};q)_k}\left(\frac{a^2q^{2n+2}}{cdef}\right)^k\\ &=\frac{(aq/e,aq/f,cq^{-n},dq^{-n},efq^{-2n}/a;q)_n}{(1-a)(aq^{-n},aq^{n+1}/ef,aq,aq/cd,aq/ef;q)_n}\left(\frac{a^2q^{2n+1}}{cdef}\right)^{n}\\ &\cdot \sum_{k=-n}^n\frac{(1-aq^{2k})(aq^{-n},c,d,e,f,q^{-n};q)_k}{(q^{n+1},aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq^{n+1};q)_k}\left(\frac{a^2q^{2n+2}}{cdef}\right)^k\\ &=\frac{(q/c,q/d,aq/e,aq/f;q)_n}{(1-a)(aq,q/a,aq/cd,aq/ef;q)_n}\sum_{k=-n}^n\frac{(1-aq^{2k})(aq^{-n},c,d,e,f,q^{-n};q)_k}{(q^{n+1},aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq^{n+1};q)_k}\left(\frac{a^2q^{2n+2}}{cdef}\right)^k\\ \end{align}
を得る. $n\to\infty$とすれば,
\begin{align} \BQ22{e,f}{aq/c,aq/d}{\frac{aq}{ef}}&=\frac{(q/c,q/d,aq/e,aq/f;q)_{\infty}}{(a,q/a,aq/cd,aq/ef;q)_{\infty}}\sum_{k\in\ZZ}\frac{(1-aq^{2k})(c,d,e,f;q)_k}{(aq/c,aq/d,aq/e,aq/f;q)_k}\left(\frac{a^3q}{cdef}\right)^kq^{k^2} \end{align}
となって定理が示される.

参考文献

[1]
W. N. Bailey, On the basic bilateral hypergeometric series 2Ψ2, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 1950, 194-198
投稿日:11日前
更新日:11日前
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Wataru
Wataru
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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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