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大学数学基礎解説
文献あり

log f(z)の分枝を正しく定められるようになろう(log f(z)はlogとf(z)の合成ではない!)

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この記事では、次の問題を通して、複素対数関数について理解を深めたいと思います。

a<b,実軸上の有界閉区間を[a,b]とする。一次変換をf(z)=zbzaとする。このとき、対数関数logf(z)
が領域Ω=C[a,b]上の正則関数として定義できることを示せ。

よく知られているように、単連結領域D上で定義された0を値に取らない正則関数f:DCに対し、そのD上正則な対数関数は、pDに対しf(p)=ecなるcCを取ると、logf(z)=pzf(ζ)f(ζ)dζ+cと定義できますね。ただしここで積分は、D内でpzにつなぐ曲線に沿った積分です。この積分値がそのような曲線の取り方に依って変わらないためには、Dが単連結であるという仮定が重要で、ホモトピー型のコーシーの積分定理から成り立つのでした。つまり、単連結領域上の正則関数は原始関数を持つという重要な事実を用いていることに注意しましょう。

一方で、上の問題で考える領域Ω=C[a,b]は単連結ではないので、この結果をそのまま適用することは出来ません。
そこで、まずは単純にf(z)=zbzalogzを合成できないか考えてみます。

f(z)=zbzaをリーマン球面C^上の関数と考えると、f(Ω)=C((,0]{1})であることを示せ。

一次変換は、相異なる三点の行き先を決めれば一意に決まり、さらにリーマン球面内の円を円にうつすことを使うと簡単である。

f()=1,f(b)=0,f(a)=であるから、f(R{})=R{}である。したがって、f([a,b])=(,0]{}であるから、f(Ω)=C^((,0]{1}{})=C((,0]{1})となる。(証明終)

以上より、負の実軸を除いた複素平面上で定義される正則な対数の主値をfと合成することで、logfを定めることが出来ます。

しかし、単連結領域上のfに対してlogf(z)を定めるとき、一般にfの像が上のような都合の良い領域になるとは限らないので、flogを合成して定義したわけではないのでした。
そこで、今度は原始関数を積分を用いて定める方針でやってみましょう。

問題1再考

a<b,実軸上の有界閉区間を[a,b]とする。一次変換をf(z)=zbzaとする。このとき、対数関数logf(z)
が領域Ω=C[a,b]上の正則関数として定義できる。

Ω内の閉曲線γに対し、γ(1ζb1ζa)dζ=0が成り立つことが最大のポイントである。

回転数の定義より上の積分は、γ(1ζb1ζa)dζ=2πin(γ,b)2πin(γ,a)となる。ここで、n(γ,z)γzγまわりの回転数である。
いま、γC[a,b]の閉曲線であるから、γは線分[a,b]を横切ることはない。したがって、線分[a,b]上でγの回転数は変化しないから、上の積分は0になる。
よって、ホモトピー型のコーシーの積分定理より、F(z)=1zb1zaは、Ω上で正則な原始関数G(z)をもつ。
あとは、eG(z)=zbzaを示せばよい。G(z)=F(z)より、
(zazbeG(z))=(zb)eG(z)(1+(za)G(z))(za)eG(z)(zb)2=0である。よって、定数C0により、eG(z)=Czbzaとなる。そこで、ec=Cなるcを取り、G(z)G(z)cと取り直せば、eG(z)=zbzaが成り立つ。したがって、G(z)=logzbzaであり、これはΩ=C[a,b]上の正則な関数である。(証明終)

なお、上の結果を使うと次のことも簡単に分かります。

a<b,実軸上の有界閉区間を[a,b]とする。このとき、(za)(zb)が領域Ω=C[a,b]上の正則関数として定義できる。

定理1の証明のG(z)=logzbzaを用いる!

H(z)=(za)eG(z)/2とおくと、これはΩ上の正則関数であり、H2(z)=(za)2eG(z)=(za)(zb)である。よって、H(z)=(za)(zb)である。(証明終)

今回はこれで終わりたいと思います。お疲れ様でした。

参考文献

投稿日:20231113
更新日:20231118
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