𝑝-adic distributionと拡張定理
はじめに
どうもこんにちは，🐟🍊みかん🍊🐟です。今回はp-進distributionの一般論について大まかに語っていきます。
$p$-adic distributionと同値な定義
Lebesgue積分においては単関数がかなり重要な役割を果たしました。まずは$p$進解析でそれに類似する役割を果たす概念である局所定数関数を定義します。
位相空間$X,Y$上の写像$f:X\to Y$が局所定数であるとは，任意の$x\in X$に対して$x$の開近傍$U$であって$f(U)$が一点になるようなものが存在することを言う。
ここ以降，この記事全体を通して，$X\subset\Q_p$を空でないコンパクト開集合とし，$K$を$\Q_p$を含む非Archimedean付値体とします。また，
\begin{align}
\mathcal C(X) &= \{U\subset X: U \text{ is compact-open}\}\\
\mathcal B(X) &= \{a+p^N\mathbb Z_p\subset X: a\in \Q_p, N\in \mathbb Z\}
\end{align}
と定義します。蛇足かもしれませんが，$\mathcal B(X)$は$X$上の$\Q_p\text {-ball}$全体と同一視できることがわかります。
さて，積分作用素としてdistributionを定義します。定義から測度より弱い概念であることはあまり明らかではないですが，次に示す補題によってそれが明らかになります。
$\mu$が$X$上の$K$値distributionであるとは，$X$上の局所定数関数のなす$K$ベクトル空間から$K$への$K$-線形写像であることを言う。
$f:X\to K$が局所定数関数であり，$\mu$がdistributionなら，$\mu(f)$の代わりに通常
\begin{equation}
\int_X fd\mu
\end{equation}
と書きます。さて，ここで次の補題を示します。
$X$上の$K$値distribution全体と，$X$のコンパクト開部分集合上の$K$値有限加法性を満たす写像の間には自然な全単射
\begin{align}
\mu\mapsto (U\mapsto \mu(1_U))
\end{align}
が存在する。
- distributionに対応する有限加法的関数がある
$\mu$をdistributionとする。コンパクト開集合$U\subset X$に対して定義関数$1_U$は局所定数関数になるため，$I(U)=\mu(1_U)$と定めれば，定義によって$U,V$がdisjointなら$I(U\cup V)=\mu(1_{U\cup V}) = \mu(1_U)+\mu(1_V)=I(U)+I(V)$となる。 - 有限加法的関数に対応するdistributionがある
$\nu$を有限加法的関数であるとし，局所定数関数$f$を任意にとる。$f$が局所定数で$X$がコンパクトであることから，$f(X)$は有限集合である。そこで$f(X) = \{c_1,\dots,c_r\}$とし各$i$に対して$U_i=f^{-1}(c_i)$と置けば，各$U_i$は局所定数性から，$U_i$は開，有限個のファイバーに分かれているので補集合も開，よって閉集合になり，コンパクト空間の閉部分集合となるから$U_i$はコンパクト開集合。
\begin{align} X=\bigsqcup_{i=1}^r U_i, \quad f=\sum_{i=1}^r c_i1_{U_i} \end{align}
という表示が得られ，
\begin{equation} \mu_\nu(f)=\sum_{i=1}^rc_i\nu(U_i) \end{equation}
と定めれば，この$\mu_\nu$はdistributionである。また簡単な確認によって(2)で用いた対応が補題の逆写像となっていることがわかる。
この補題によって，以降distribution$\mu$とコンパクト開集合上の有限加法性を持つ関数$U\mapsto \mu (1_U)$を同一視します。特に
\begin{equation}
\mu(U)=\mu(1_U)
\end{equation}
を意味することとします。また，ultrametric性，即ち交わる2つの球には包含関係があることと，およびコンパクト性によって次の補題が言えます。
任意の$U\in \mathcal C(X)$は有限個の互いに素な$p$-進球$B_i\in \mathcal B(X)$を用いて
\begin{align}
U = \bigsqcup_{i=1}^rB_i
\end{align}
と表せる。
拡張定理
この節では球上の"distribution relation"によって$X$上の$K$値distributionが得られることを見ます。まずはdistribtion relationなるものを定義しようと思います。まず，球の細分を導入します。$p$-進球$B$は適当な$a\in X, N\in \mathbb Z$を用いて
\begin{align}
B = a+p^N\mathbb Z_p
\end{align}
と表すことができることを思い出します。簡単な集合計算によって
\begin{equation}
B = \bigsqcup_{i=0}^{p-1}(a+ip^N+p^{N+1}\mathbb Z_p)
\end{equation}
であることがわかるので，distributionの有限加法性によって，distributionは次の関係性を満たします。
\begin{equation}
\mu(a+p^N\mathbb Z_p) = \sum_{i=0}^{p-1}\mu(a+ip^N+p^{N+1}\mathbb Z_p)
\end{equation}
これをdistribution relationと呼ぶことにします。distributionからその関係式が得られることがわかりましたが，実は逆もでき，即ちdistribution relationからdistributionを得ることができます。それを主張するのが次の定理です。
各$B\in\mathcal B(X)$に対して$m(B)\in K$が与えられているものとする。$m$がdistribution relationを満たす，即ち任意の$a+p^N\mathbb Z_p\in\mathcal B(X)$に対して
\begin{equation}
m(a+p^N\mathbb Z_p) = \sum_{i=0}^{p-1}m(a+ip^N+p^{N+1}\mathbb Z_p)
\end{equation}
を満たすならば，$\mu(B)=m(B)$を満たす$X$上の$K$値distributionが一意的に存在する。
コンパクト開集合$U$に対して球分解
\begin{align}
U = \bigsqcup_{i=1}^rB_i
\end{align}
に対して
\begin{equation}
\mu(U) = \sum_{i=1}^rm(B_i)
\end{equation}
と定めることができれば有限加法性は定義から直ちに従うので，この$\mu$がwell-definedであること，加えてこの$\mu$で一意的であることを言えばよい。まずはwell-defined性についてみる。$U$の異なる球分解
\begin{equation}
U = \bigsqcup_{i=1}^rB_i = \bigsqcup_{j=1}^s C_j
\end{equation}
を取る。ここで$B_i, C_j$らは有限個しかないため，十分大きな$M$に対して
\begin{align}
P_M(U) = \{a+p^M\mathbb Z_p\subset U: a\in U\}
\end{align}
とすれば$B_i, C_j$を細分することですべて$P_M(U)$の元の非交和で表すことができる($B_i, C_j$の表示に出てくる$p^N\mathbb Z_p$の$N$の部分の最大値を取ればよい)。従ってdistribution relationを反復的に適用することによって，
\begin{equation}
m(B_i) = \sum_{\substack{D\in P_M(U)\\D \subset B_i}}m(D)
\end{equation}
であって，$i$について足し合わせることによって
\begin{equation}
\sum_{i=1}^rm(B_i) = \sum_{D\in P_M(U)}m(D)
\end{equation}
となる。この右辺は元の球分解に依存せず，従って
\begin{equation}
\sum_{j=1}^sm(C_j) = \sum_{D\in P_M(U)}m(D)
\end{equation}
でもあるから，
\begin{equation}
\sum_{i=1}^rm(B_i) = \sum_{j=1}^sm(C_j)
\end{equation}
となり，$\mu(U)$が球分解によらない値であることがわかる。即ち，初めの$\mu$はwell-definedとなる。また一意性については，$\nu(B) = m(B)$を満たすdistributionなら
\begin{equation}
U = \bigsqcup_{i=1}^rB_i
\end{equation}
と球分解し，
\begin{equation}
\nu(U) = \sum_i\nu(B_i) = \sum_im(B_i) = \mu(U)
\end{equation}
なので，$\nu = \mu$であることからわかる。
具体例としてHaar distributionを構成する。まず
\begin{equation}
\mu_H(a+p^N\mathbb Z_p) = p^{-N}
\end{equation}
とする。
\begin{align}
\sum_{i=0}^{p-1}\mu_H(a+ip^N+p^{N+1}\mathbb Z_p)
&= \sum_{i=0}^{p-1}\frac1{p^{N+1}}\\
&= \frac1{p^N}\\
&= \mu_H(a+p^N\mathbb Z_p)
\end{align}
だから，定理によってこれはdistributionであることがわかる。
さて，$p$進解析といえばMathlogにも先駆者がいます。子葉さんです。多作ですね。子葉さんは以前に
p進数の解析学と実解析：積分編
という記事を書いており，そこではVolkenborn積分を定義していました。局所定数関数に関して言うならば，このVolkenborn積分と$\mu_H$による($\mathbb Z_p$上の)積分は一致します。実際，$X = \mathbb Z_p$とし，$f$を局所定数とするなら，ある$M\ge 0$が存在して各剰余類$a+p^M\mathbb Z_p$上定数であるから，
\begin{align}
\int_{\mathbb Z_p}fd\mu_H = \frac1{p^M}\sum_{i=0}^{p^M-1}f(i)
\end{align}
と書け，任意の$N\ge M$に対して
\begin{align}
\frac1{p^N}\sum_{i=0}^{p^M-1}\sum_{j=0}^{p^{N-M}-1}f(i+jp^M)
&=\frac1{p^M}\sum_{i=0}^{p^M-1}f(i)\\
&=\int_{\mathbb Z_p}fd\mu_H
\end{align}
より$N\ge M$に対して定数であるから，Volkenborn integralは存在して，
\begin{equation}
\int_{\mathbb Z_p}fd\mu_H = \int_{\mathbb Z_p}f(x)dx
\end{equation}
が成立することがわかります。なお，$\mu_H$は非有界であるため通常の$p$-進測度ではないことがわかります。しかしながら，Haar distributionによる積分は局所定数関数とは限らないより広い関数のクラスに対してもVolkenborn積分という極限が存在する場合があります。有界distribution以外の非有界distributionに対しても有用な積分論が存在する点は興味深い事実だと思います。
おわりに
今回は、球上の値がdistribution relationを満たせば、それが一意にdistributionへ拡張されることを見ました。次回はこの distribution relation を満たす球上の値をどのように構成するかを考えようと思います。
