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大学数学基礎解説

東大数理院試過去問解答例(2024B01)

線型代数,代数,大学院入試
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ここでは東大数理の修士課程の院試の2024B01の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2024B01

整数$n\geq2$に対し$n$次正方行列の集合$M_n(\mathbb{R})$を考え、その巾ゼロ行列全体の為す集合$\mathcal{N}_n$を考える。ここで$\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$の部分群$G$について、$\mathcal{N}_n$に含まれる$G$-共役による共役類の個数を$c_n(G)$とおく。

  1. $c_4(\mathrm{GL}_4(\mathbb{R}))$の値を求めなさい。
  2. $n$が奇数のとき$c_n(\mathrm{GL}n(\mathbb{R}))=c_n(\mathrm{SL}_n(\mathbb{R}))$であることを示しなさい。
  3. $c_4(\mathrm{SL}_4(\mathbb{R}))$の値を求めなさい。
  1. まずこれらの同値類はジョルダン標準形で代表される。$n=4$のとき巾ゼロ行列は
    $$ A=\begin{pmatrix} 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&0\\ \end{pmatrix} $$
    $$ B=\begin{pmatrix} 0&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&0\\ \end{pmatrix} $$
    $$ C=\begin{pmatrix} 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&0\\ \end{pmatrix} $$
    $$ D=\begin{pmatrix} 0&1&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&0\\ \end{pmatrix} $$
    及び$0$で代表されるものに限られるから求める値は$\color{red}5$である。
  2. いま行列$M,N$が$g\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$を用いて$gMg^{-1}=N$と表されたとする。ここで$d=\det g$と置いたとき、$n$が奇数であることから実数$c=\sqrt[n]{d}$をとることができ、$h=c^{-1}g$とすればこれは$\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})$の元であり、しかも$hMh^{-1}=N$を満たす。以上から結果が従う。
  3. まず$B,C,0$については対角行列で一成分だけが$d$、それ以外の対角成分が$1$であるような行列で共役をとって不変であるから、これらを含む$\mathrm{GL}_4(\mathbb{R})$による共役類は$\mathrm{SL}_4(\mathbb{R})$による共役類になっている。次に$gMg^{-1}=A$であり、ここで$\det g=-d<0$であったとする。このときこの式の左辺から(1,1)成分が$d$,その他の対角成分が$1$であるような行列をかけることで$M$は行列
    $$ A'=\begin{pmatrix} 0&-1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} $$
    に共役になるから、$A$の$\mathrm{GL}_4(\mathbb{R})$-共役類の元は$A,A'$のいずれかに$\mathrm{SL}_4(\mathbb{R})$-共役である。同様に$D$の$\mathrm{GL}_4(\mathbb{R})$-共役類の元は$D$または
    $$ D'=\begin{pmatrix} 0&-1&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&0\\ \end{pmatrix} $$のいずれかに$\mathrm{SL}_4(\mathbb{R})$-共役である。また$A,A'$(resp.$D,D'$)に関して$A'=gAg^{-1}$(resp. $D'=gDg^{-1}$)になるような$g$について$\det g<0$であることが直接計算することでわかる。以上から共役類の個数は$1+1+1+2+2=\color{red}7$である。
投稿日：23日前

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佐々木藍
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佐々木藍(Ai Sasaki)です。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。X(旧Twitter)→＠sasaki_aiiro

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